【正文】 ：參數(shù) ? 為常數(shù)；參數(shù) ?1 , ?2 ,… , ?q 是 q 階移動平均模型的系數(shù)； ?t 是均值為 0， 方差為 ? 2的白噪聲序列 。 當(dāng) p=0 時 ， ARMA(0, q) = MA(q) 當(dāng) q = 0時 ， ARMA(p, 0) = AR(p) qtqttptptt uucu ???? ???????? ??????? ?? 111153 167。 對于 AR(p)模型 () 設(shè) L為滯后算子 ， 則有 Lut ? ut1, Lput ? utp， 特別地 ， L0ut?ut。 式 ()可以改寫為滯后算子多項式的形式 可以證明如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件 ， 則式 ()可以表示為 MA(?)的形式 ， 從而可以推導(dǎo)出來任何一個AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合 。 盡管不可逆時也可以表征任何給定的數(shù)據(jù) ， 但是一些參數(shù)估計和預(yù)測算法只有在使用可逆表示時才有效 。 01)( 221 ??????? pp zzzz ??? ?() ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線性組合 ， 近似逼近一個平穩(wěn)序列 。 58 ARMA(p,q)模型中 AR和 MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞 ar和 ma定義。 例如 ， 估計因變量為 LS的一個 2階自回歸和 1階動平均過程 ARMA(2,1)， 應(yīng)將 AR(1), MA(1), AR(2) 包含在回歸因子列表中： LS c ar(1) ar(2) ma(1) 如果采用公式法輸入方程 ， 要將 AR項系數(shù)明確列出 ，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。 167。 首先對其做變化率 ， srt = 100 (StSt1)/S t1（ t = 1, 2, ?, T） 這樣便得到了變化率序列 。記上證股價指數(shù)變化率序列為 sr。 近年來波動平緩 ， 并且大多在 3%下面波動 。 62 對例 （ 時間期間： 1991年 1月～2020年 8月 ） 的月度時間序列 S的對數(shù)差分變換 LS=dlog(S)，即股票收益率用 ARMA(1,1)模型來估計 ， 來說明 EViews是如何估計一個 ARMA(p， q)模型的 。 如名所示 ， 這種殘差代表預(yù)測誤差 。 對于含有 ARMA項的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量，如 R2和 。對于簡單AR(1)模型， ?1是無條件殘差的一階序列相關(guān)系數(shù)。對于平穩(wěn) AR(1)模型， ?1在 1和 +1之間。 tu? t??66 含有 AR或 MA項的模型的估計輸出和 OLS模型一樣 ，只是在回歸輸出的底部增加了一個 AR， MA多項式的根的倒數(shù) （ inverted AR roots 或 inverted MA roots） 。如果 MA模型滯后多項式的根的倒數(shù)有在單位圓外的，說明 MA過程是 不可逆 的，應(yīng)使用不同的初值重新估計模型，直到得到滿足可逆性的動平均。 這種方法的優(yōu)點在于：易被理解 ， 應(yīng)用廣泛 ， 易被擴展為非線性定義的模型 。 非線性估計方法對所有系數(shù)估計都要求初值。有時當(dāng)?shù)_到最大值時，方程終止迭代，盡管還未達到收斂。也可以試試不同的初值來保證估計是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初值加速估計過程。 在 EViews提供的選項中 ， ARMA Options有幾項設(shè)置初值的選擇 。 另一選擇是使用 OLS或 TSLS系數(shù)的一部分作為初值 。 用戶確定初值選項是 User Supplied。 為設(shè)置初值 ， 雙擊圖標(biāo) ， 打開系數(shù)向量 C窗口 ， 進行編輯 。 系數(shù)向量 C按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)： （ 1） 變量系數(shù) ， 以輸入為序； （ 2） 定義的 AR項 ， 以輸入為序； （ 3） SAR， MA， SMA系數(shù) （ 按階數(shù) ） 。 ARMA模型的識別 1．利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)識別 ARMA(p, q) 模型 在實際研究中，通常的做法是根據(jù)經(jīng)濟指標(biāo)時間序列數(shù)據(jù)的樣本特征，來推斷經(jīng)濟指標(biāo)的總體（真實）特征。下面介紹利用 ut 的自相關(guān)系數(shù) (AC) 和偏自相關(guān)系數(shù) (PAC) 這兩個統(tǒng)計量去識別 ARMA(p, q) 模型。因此，可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息，如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息。如果 rk 隨著滯后階數(shù) k 的增加而呈幾何級數(shù)減小，表明序列 ut 服從低階自回歸過程。一個純的 p 階自回歸過程 AR(p) 的偏相關(guān)系數(shù)在 p階截尾，而純的動平均函數(shù)的偏相關(guān)過程漸進趨于零。 73 其中： ?t是均值為 0， 方差為 ? 2的白噪聲序列 ， ut的均值為 ?，則自 協(xié)方差 ?k 計算可得 () qkqkk????00() 2. MA模型的識別 MA(q)模型 qtqtttu ?? ????? ?????? ?11() ???????? ????????? ????? ?????????qiiktiktqjjtjttktk uu11E))(E( ??????????????????????? ??0)()1(1122212qkqkkqk ?????????? ??74 進而得到 () 上式表明對 MA(q)模型 ， 當(dāng) k q 時 ， rk = 0。 即 MA(q) 模型的自相關(guān)函數(shù)在 q 步以后是截尾的 。 因此 ， MA(q) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)一定呈現(xiàn)出某種衰減的形式是拖尾的 。 76 3. AR模型的識別 可以不加證明的給出 AR(p)過程的自相關(guān)系數(shù) kppkkk gggr ??? ???? ?2211 () 其中 ?1 , ?2 , … , ?p 是 AR(p) 模型的特征多項式 02211 ????? ?? pppp ?????? ?() 的 p個特征根 ， g1 , g2 , … , gp為任意給定的 p個常數(shù) 。 例如 ， 對于 AR(1) 模型 ， 其自相關(guān)系數(shù)為 rk??1k ， 當(dāng) ?1 0時 ， rk呈指數(shù)式的衰減；當(dāng) ?1 0時 ， rk呈震蕩式的衰減 。 但是 ， 對于自回歸過程 AR(p)， 自相關(guān)系數(shù)并不能幫助我們確定AR(p) 模型的階數(shù) p。 78 這里我們通過簡單的證明給出 AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù) 。 對于形如 ()的 p(p =1,2,… ,k,… )階方程組求解 ， 每個方程組的最后一個解就是相應(yīng)的偏自相關(guān)系數(shù) ?1,1, ?2,2 , … , ?k,k … 。 因此 ， 可以通過識別 AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)的個數(shù) ， 來確定 AR(p) 模型的階數(shù) p， 進而設(shè)定正確的模型形式 ， 并通過具體的估計方法估計出 AR(p) 模型的參數(shù) 。 但是 ， 在實際操作中 ， 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是通過要識別序列的樣本數(shù)據(jù)估計出來的 ， 并且隨著抽樣的不同而不同 ， 其估計值只能同理論上的大致趨勢保持一致 ，并不能精確的相同 。 具體的模型形式 ， 還要通過自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)給出的信息 ， 經(jīng)過 反復(fù)的試驗及檢驗 ， 最終挑選出各項統(tǒng)計指標(biāo)均符合要求的模型形式 。 實際上用后面學(xué)到的單位根檢驗可知 CPI序列是一個非平穩(wěn)的序列 ， 但是它的一階差分序列 ?CPI是平穩(wěn)的 。由前面的知識可以判斷 CPI序列基本滿足 AR(1)過程。從 圖 的 回歸方程的殘差序列 的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看到不存在序列相關(guān)。 圖 ?CPI序列方程殘差序列的相關(guān)圖 84 前述的 AR(p)、 MA(q) 和 ARMA(p,q) 三個模型只適用于刻畫一個平穩(wěn)序列的自相關(guān)性 。 也就是說 ， 對于一個平穩(wěn)的時間序列 可以通過過去時間點上的信息 ， 建立模型擬合過去信息 ， 進而預(yù)測未來的信息 。 5. 3 非平穩(wěn)時間序列建模 85 然而 ， 對于一個非平穩(wěn)時間序列而言 ， 時間序列的某些數(shù)字特征是隨著時間的變化而變化的 。 但在實踐中遇到的經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時間序列 。 這種過程也稱為 趨勢平穩(wěn) 的 ， 因為如果從式 ()中減去 a +? t，結(jié)果是一個平穩(wěn)過程 。 tt utay ??? ?167。對于中長期預(yù)測而言，能準(zhǔn)確地給出確定性時間趨勢的形式很重要。 tnnt utttay ?????? ??? ?22189 2. 差分平穩(wěn)過程 非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過差分運算 ， 得到具有平穩(wěn)性的序列 ， 考慮下式 () 也可寫成 () ttt uyay ??? ? 1ttt uayLy ????? )1( 其中 a 是常數(shù) ， ut 是平穩(wěn)序列 ， 若 ut ～ . N (0, ? 2) ， 且ut 是一個白噪聲序列 。 而式 ()的差分序列是含位移 a 的隨機游走 ， 說明 yt 的差分序列 ?yt是平穩(wěn)序列 。 這是因為 ，如果殘差序列是一個非平穩(wěn)序列 ， 則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外 ， 其余的部分變化仍然不規(guī)則 ， 隨著時間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢 ， 這樣的模型是不能夠用來預(yù)測未來信息的 。 偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設(shè)定出現(xiàn)了問題 ， 有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量 ， 抑或是把原方程進行差分 ，以使殘差序列達到平穩(wěn) 。 92 像前述 yt 這種非平穩(wěn)序列 ， 可以通過差分運算 ， 得到平穩(wěn)性的序列稱為 單整 (integration)序列 。 特別地 ， 如果序列 yt本身是平穩(wěn)的 ， 則為零階單整序列 ， 記為 yt ～ I(0)。 對于上面的隨機游走過程 ， 有一個單位根 ， 所以是 I(1)， 同樣 ，平穩(wěn)序列是 I(0)。 94 167。 有 6種單位根檢驗方法： ADF檢驗 、 DFGLS檢驗 、 PP檢驗 、KPSS檢驗 、 ERS檢驗和 NP檢驗 ， 本節(jié)將介紹 DF檢驗 、ADF檢驗 。 95 其中 a 是常數(shù) ， ? t 是線性趨勢函數(shù) ， ut ～ . N (0, ? 2) 。 (2) 如果 ?=1， yt 序列是非平穩(wěn)序列 。 (3) 如果 ? 的絕對值大于 1， 序列發(fā)散 ， 且其差分序列是非平穩(wěn)的 。 也就是說： 原假設(shè) H0： ? =1， 備選假設(shè) H1： ? 1 ttt uyy ?? ? 1??ttt uayy ??? ? 1??ttt utayy ???? ? ?? 1?() () () 從方程兩邊同時減去 yt1 得 ， 其中 ： ? =? 1。 但是 ， DickeyFuller研究了這個 t 統(tǒng)計量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從 t 分布 ， 它依賴于 回歸的形式 (是否引進了常數(shù)項和趨勢項 ) 和樣本長度 T 。 這樣 ，就可以根據(jù)需要 ， 選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平 ， 通過 t 統(tǒng)計量來決定是否接受或拒絕原假設(shè) 。 上面描述的單位根檢驗只有當(dāng)序列為 AR(1)時才有效 。 在這種情況下 ， 可以使用增廣的 DF檢驗方法 （ augmented DickeyFuller test ） 來檢驗含有高階序列相關(guān)的序列的單位根 。 序列 yt可能還包含常數(shù)項和時間趨勢項 。 類似于 DF檢驗 ， Mackinnon通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗 不同顯著性水平的 t 統(tǒng)計量的臨界值 。 ?????0:0:10??HH????103 但是 ， 在進行 ADF檢驗時 ， 必須注意以下兩個實際問題： （ 1） 必須為回歸定義合理的滯后階數(shù) ， 通常采用AIC準(zhǔn)則來確定給定時間序列模型的滯后