【正文】 CP在平面ABC上的射影，：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時(shí)，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運(yùn)用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識.(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對角線A1C⊥平面C1BD．證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個(gè)步驟，—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C證明：取A1B1的中點(diǎn)D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點(diǎn)評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點(diǎn)評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”練習(xí)：⊥a于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。BC204。254。PAAB為直徑222。254。239。253。面PAC239。239。AF^PC239。222。PB204。222。254。254。PB^AEFcos208。BAC為銳角，同理DABC為銳角D。BC204。253。254。BC^面APQ252。AQ204。254。BC^AQ239。222。AC^BQ239。222。253。AB^面PQC222。AB^PC同理A、208。AAA162。確定平面ba199。B162。252。AB204。253。AB//AB162。239。239。254。222。239。253。AB^面AA162。^A162。239。239。AB^AC239。222。B162。A222。B162。222。CA162。為直角證明面面垂直例4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡單，此時(shí)“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)uuuuruuur(1)AD=(0,2,0),D1F=(1,0,2)uuuruuuur\ ADD1F=01+21+0(2)=0, \AD⊥D1Fuuuruuuuruuuuruuur（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，2），|AE|=，|D1F|=設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1=2180。0+1180。（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，\D1F⊥平面AED，∵D1F204。平面A1ACC1，∴A1O⊥DB（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD204。+45176。即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時(shí)，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4點(diǎn)評：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，22∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90176。PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可∵∠BAC=60176。cos60176。sin60176。=2B∴PM=PC2+CM2=+12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時(shí)，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結(jié)為a為何值時(shí)，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形4第三篇：線面垂直教案課題：直線與平面垂直授課教師：伍良云【教學(xué)目標(biāo)】知識與技能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、態(tài)度與價(jià)值觀在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、“感性認(rèn)識”到“理性認(rèn)識”直線與平面垂直的定義及判定定理教學(xué)方法：啟發(fā)式與試驗(yàn)探究式相結(jié)合?！窘虒W(xué)過程】一、實(shí)例引入，理解概念1．通過復(fù)習(xí)空間直線與平面的位置關(guān)系，讓學(xué)生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關(guān)系，其中最特殊、最常見的一種就是線面的垂直關(guān)系，從而引出課題． 2．讓學(xué)生從與生活有關(guān)的直線與平面垂直現(xiàn)象的實(shí)例中抽象歸納出直線與平面垂直的定義，并給出學(xué)生非常熟悉的旗桿，引導(dǎo)他們觀察旗桿與地面位置關(guān)系，驗(yàn)證直線與平面垂直的定義，引出直線與平面垂直的定義．即：如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面a互相垂直．記作：l⊥，平面a叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們