【正文】 [2022 (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點(diǎn) , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過 △ OAB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點(diǎn) , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過 △ OAB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 若 C 為線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之 和最大時(shí) , 求 ∠ BOC 的大小及點(diǎn) C 的坐標(biāo) . 圖 Z8 3 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 如圖所示 , 過點(diǎn) A 作 AD ⊥ OC 于點(diǎn) D , 過點(diǎn) B 作 BE ⊥ OC 于點(diǎn) E. ∵ S △ A O B =S △ A O C +S △ B O C =12OC BE ,∴ AD+B E=2 ??△ ?? ?? ???? ??. 欲使點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之和最大 , 則 OC 必須最小 , 當(dāng)且僅當(dāng) OC ⊥ AB 時(shí) , OC 最小 , 此時(shí) D , E , C 重合 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 根據(jù)題意 , 易得 O A= 2, OB= 2 3 , AB= 4 . ∵ OA2+OB2= 16, AB2= 16, ∴ OA2+OB2=AB2.∴ △ OAB 是直角三角形 . ∵ S △ A O B =12OA AB ,∴ OC=?? ?? . 過點(diǎn) C 作 CM ⊥ x 軸于點(diǎn) M. ∵ tan ∠ BOM= 33,∴∠ BOM= 3 0176。 30176。 . ∴ CM= sin ∠ COM OC=32.∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是32, 32. 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 3 [2022 (2)當(dāng) b=2時(shí) ,M(m,y1),N(2,y2)是拋物線上的兩點(diǎn) ,且 y1y2,求實(shí)數(shù) m的取值范圍 。龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (3)若拋物線上的點(diǎn) P(s,t),滿足 1≤s≤1時(shí) ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 分三種情況討論 : ① 當(dāng) ??2 1, 即 b 2 時(shí) , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 3 ,?? = 3 . ② 當(dāng) 1 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 2 時(shí) , x= ??2時(shí) , 函數(shù)值 y 取最小值 . ( ⅰ ) 若 0 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 0 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ??1= 4 2 6 ,??1= 11 4 6 , ??2= 4 + 2 6 ,??2= 11 + 4 6 ( 舍去 ) . ( ⅱ ) 若 1 ≤ ??2 0, 即 0 b ≤ 2 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 177。 深圳 ] 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點(diǎn) B 32,2 , 點(diǎn) C52,2 . (1 ) 求拋物線的解析式 。 (3 ) 如圖 ② , 點(diǎn) Q 是折線 A B C 上一點(diǎn) , 過點(diǎn) Q 作 QN ∥ y 軸 , 過點(diǎn) E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點(diǎn) N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN1, 若點(diǎn) N1落在 x 軸上 , 請直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 圖 Z8 4 解 :(1 ) 將 B 32,2 代入 y=a ?? 12 2 2, 得 2 =a 32 12 2 2 . 解得 a= 1 . ∴ 拋物線的 解析式為 y= ?? 12 2 2 =x 2 x 74. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (2) ∵ 拋物線的解析式為 y= ?? 12 2 2, ∴ 頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為12, 2 . 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b. 將 A12, 2 , B 32,2 代入 y=k x+b , 得 2 =12?? + ?? ,2 = 32?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 直線 AB 的解析式為 y= 2 x 1, 當(dāng) x= 0 時(shí) , y= 2 0 1 = 1 . ∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (0, 1), ∴ OE= 1 . 當(dāng) y= 0 時(shí) ,0 = 2 x 1, 解得 x= 12.∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 12,0 . ∵ 拋物線的解析式為 y=x2 x 74,∴ 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 0, 74,∴ FE= 1 74=34. ∵∠ O PM= ∠ M AF , 即 ∠ O PE= ∠ EAF , 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 又 ∵∠ O EP= ∠ AEF ,∴ △ OPE ∽△ FAE .∴?? ???? ??=?? ???? ??=134=43.∴ OP=43FA. 又 ∵ AF= 12 0 2+ 2 +74 2= 14+116= 54, ∴ OP=43AF= 5443= 53. 設(shè)點(diǎn) P ( t , 2 t 1), 則 OP= ??2+ ( 2 ?? 1 )2= 53, 解得 t 1 = 215, t 2 = 23. ∵ 當(dāng) t 1 = 215時(shí) , S △ POE =12OE |x P |=12 1 23=13,∴ △ POE 的面積為115戒13. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 例 2 [2022 4 ?? 1 , x2= ( m177。 2 m 4 ?? 1 . 由 ② 得 x2=m2 1, ∴ m2 4 m 1 177。 5 , x2= ( n177。 2 5 n+ 5 . 由 ② 得 x2=n2 1, ∴ n2177。3 55. ∴ 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為3 55,2 戒 3 55,2 . 綜上所述 , 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 54,32戒3 55,2 戒 3 55,2 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 【分層分析】 (1) 用待定系數(shù)法 , 將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可得出 a 值 , 設(shè)直線 AB 的表達(dá)式為 y=kx+b , 代入點(diǎn) A , B 的坐標(biāo) , 得一個(gè)關(guān)于 k 和 b 的二元一次方程組 , 解之即可得直線 AB 的表達(dá)式 . (2) 從直線 AB 的表達(dá)式 , 結(jié)合題意 , 得 E (0, 1), F 0, 74, M 12,0 , 根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì) , 得OP=43FA=43 (12 0 ) 2+ ( 2 +74) 2= 53, 設(shè)點(diǎn) P ( t , 2 t 1), 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得 t 值 , 再由三角形面積公式求得 △ POE 的面積 . (3) 由 (2) 知直線 AB 的表達(dá)式為 : y= 2 x 1, E (0, 1), 設(shè) Q ( m , 2 m 1), N 1 ( n ,0), 從而得 N ( m , 1), 根據(jù)翻折的性質(zhì)知NN 1 的中點(diǎn)坐標(biāo)為?? + ??2, 1 + 02且在直線 AB 上 , 將此中 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線 AB 的表達(dá)式可得 n= 12 m , 即 N 1 12 m ,0 , 再根據(jù)翻折的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式 , 得 m2= 12 m2+ 1, 解之即可得點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? 圖 Z8 5 (2) 由拋物線的對稱性 , 得 BE=OA=t ,∴ AB= 10 2 t. 當(dāng) x=t 時(shí) , y= 14t2+52t. ∴ 矩形 ABC D 的周長 = 2( AB+AD ) = 2 ( 10 2 ?? ) + ( 14??2+52?? ) = 12t2+t+ 20 = 12( t 1)2+412. ∵ 12 0,0 1 10, ∴ 當(dāng) t= 1 時(shí) , 矩形 ABC D 的周長有最大值 , 最大值是412. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時(shí) , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 解 :(1 ) 在 y= x+ 1 中 , 令 x= 0, 得 y= 1 . ∴ B (0 ,1) . 令 y= 0, 得 x= 1, ∴ A (1 ,0) .∴ OA= OB= 1, AB= 2 . ∴ △ AOB 的周長為 2 + 2 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 . (2) 設(shè) AQ=t 0, 試用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (2) ∵ OA=OB ,∴ ∠ ABO= ∠ BA O= 45176。 . 令 ∠ POB =x , 則 ∠ O PB = ∠ AO Q= 13 5176。 = 45176。?? ???? ??=1??. 過點(diǎn) P 作 PH ⊥ OB 交 OB 的延長線于點(diǎn) H , 則 △ PHB 為等腰直角三角形 . ∵ PB=1??,∴ PH=HB= 22 ??. ∴ P 22 ??,1 + 22 ??. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 . (3) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P , Q 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)到使 △ AOQ 不 △ BPO 的周長相等時(shí) , 記 tan ∠ AOQ= m , 若過點(diǎn) A 的二次函數(shù)y= ax2+bx +c 同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件 : ① 6 a+ 3 b+ 2 c= 0。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (1)求拋物線的解析式 ,幵求點(diǎn) A的坐標(biāo) . 【分層分析】 把 B