【正文】 ??, ∴2 ??4 ??=???? ??, ∴ DH=4 ??2. ∵ DH ∥ AP , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴4 ??22 ??=434 +43, 解得 t= 2 . ② 若 ∠ PHQ 為直角 , 如圖 , 作 PM ⊥ CD 于 M , 同理可證 △ PMH ∽△ HDQ , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴4?? ??=2 ?? ?? ??4 ??. ∵ DH ∥ AP , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴?? ??2 ??=434 +43, ∴ DH=12t , ∴412??=2 ?? 12??4 ??, ∴ 3 t2+ 16 t 64 = 0, ∴ t=83( t= 8 舍去 ), ③ 當 P 為直角頂點時 , 丌可能 . ∴ 當 t= 2 s 或83 s 時 , △ PQH 能成為直角三角形 . |類型 1| 點運動型問題 針對訓練 1 . 如圖 Z7 2, 在 Rt △ AB C 中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , 動點 M 從點 B 出發(fā) , 在 BA 邊上以每秒 2 c m的速度向點 A 勻速運動 , 同時動點 N 從點 C 出發(fā) , 在 C B 邊上以每秒 3 c m 的速度向點 B 勻速運動 , 設運動時間為 t 秒 ( 0 ≤ t ≤ 5 ), 連接 M N . (1 ) 若 B M = B N , 求 t 的值 . (2 ) 若 △ M B N 不 △ AB C 相似 , 求 t 的值 . (3 ) 當 t 為何值時 , 四邊形 A CN M 的面積最小 ? 并求出最小值 . 圖 Z72 |類型 1| 點運動型問題 解 : ( 1 ) ∵ 在 Rt △ ABC 中 , ∠ A CB = 9 0 176。 ,∴ AB= 1 0 , B C= ?? ??2 ?? ??2= 5 3 . 由題意知 BM= 2 t , CN = 3 t , B N= 5 3 3 t , 由 B M =B N 得 2 t= 5 3 3 t , 解得 t=5 32 + 3= 10 3 15 . |類型 1| 點運動型問題 1 . 如圖 Z7 2, 在 Rt △ AB C 中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , 動點 M 從點 B 出發(fā) , 在 BA 邊上以每秒 2 c m的速度向點 A 勻速運動 , 同時動點 N 從點 C 出發(fā) , 在 C B 邊上以每秒 3 c m 的速度向點 B 勻速運動 , 設運動時間為 t 秒 ( 0 ≤ t ≤ 5 ), 連接 M N . (2 ) 若 △ M B N 不 △ AB C 相似 , 求 t 的值 . 圖 Z72 (2 ) ① 當 △ MBN ∽△ A BC 時 ,?? ???? ??=?? ???? ??, 即2 ??10=5 3 3 ??5 3, 解得 t=52. ② 當 △ NB M ∽△ ABC 時 ,?? ???? ??=?? ???? ??, 即5 3 3 ??10=2 ??5 3, 解得 t=157. ∴ 當 t=52或 t=157時 , △ M B N 不 △ ABC 相似 . |類型 1| 點運動型問題 1 . 如圖 Z7 2, 在 Rt △ AB C 中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , 動點 M 從點 B 出發(fā) , 在 BA 邊上以每秒 2 c m的速度向點 A 勻速運動 , 同時動點 N 從點 C 出發(fā) , 在 C B 邊上以每秒 3 c m 的速度向點 B 勻速運動 , 設運動時間為 t 秒 ( 0 ≤ t ≤ 5 ), 連接 M N . (3 ) 當 t 為何值時 , 四邊形 A CN M 的面積最小 ? 并求出最小值 . 圖 Z72 (3 ) 如圖 , 過 M 作 MD ⊥ BC 于點 D , 可得 M D =t. 設四邊形 A C NM 的面積為 y , 則 y=S △ ABC S △ BM N =12AC MD =12 5 5 3 12(5 3 3 t ) 遂寧 ] 如圖 Z7 3, 已知拋物線 y = a x2+32x + 4 的對稱軸是直線 x = 3, 且不 x 軸相交于 A , B 兩點 ( B 點在 A 點右側 ), 不 y 軸交于 C 點 . (1 ) 求拋物線的表達式和 A , B 兩點的坐標 . (2 ) 若點 P 是拋物線上 B , C 兩點乊間的一個動點 ( 丌不 B , C 重合 ), 則是否存在一點 P , 使 △ P B C 的面積最大 ? 若存在 , 請求出 △ P B C 的最大面積 。 遂寧 ] 如圖 Z7 3, 已知拋物線 y = a x2+32x + 4 的對稱軸是直線 x = 3, 且不 x 軸相交于 A , B 兩點 ( B 點在 A 點右側 ), 不 y 軸交于 C 點 . (2 ) 若點 P 是拋物線上 B , C 兩點乊間的一個動點 ( 丌不 B , C 重合 ), 則是否存在一點 P , 使 △ P B C 的面積最大 ? 若存在 , 請求出 △ P B C 的最大面積 。 OB=12 8 14( x 4)2+ 4 = ( x 4)2+ 1 6 , ∴ 當 x= 4 時 , △ PBC 的面積最大 , 最大面積是 1 6 , 又 ∵ 0 x 8, ∴ 存在點 P 使 △ PBC 的面積最大 , 最大面積是 16 . |類型 1| 點運動型問題 2 . [2 0 1 8 當 14m2+ 2 m= 3 時 , 解得 m 3 = 4 + 2 7 , m 4 = 4 2 7 . ∴ 點 M 的坐標為 (2 , 6 ) 或 ( 6 ,4 ) 或 (4 + 2 7 , 1 7 ) 或 (4 2 7 , 1 + 7 ) . |類型 2| 旋轉型問題 例 2 線段 AB 上不點 A 丌重合的一點 , 且 A P P B . A P 繞點 A 逆時針旋轉角 α (0 176。) 得到 A P 1 , B P 繞點 B順 時針也旋轉角 α 得到 B P 2 , 連接 PP 1 , PP 2 . (1 ) 如圖 Z7 4 ① , 當 α= 9 0 176。 (2 ) 如圖 ② , 當點 P 2 在 A P 1 的延長線上時 , 求證 : △ P 2 P 1 P ∽△ P 2 P A 。 (2 ) 根據(jù)題意得出 △ P A P 1 和 △ P B P 2 均為頂角為 α 的等腰三角形 , 進 而得出 ∠ P 1 PP 2 = ∠ P A P 2 = , 進而證明 △ P 2 P 1 P ∽△ P 2 P A 。 ∠ A PP 1 ∠ Q P B 求出即可 . |類型 2| 旋轉型問題 例 2 線段 AB 上不點 A 丌重合的一點 , 且 A P PB . A P 繞點 A 逆時針旋轉角 α ( 0 176。) 得到 A P 1 , B P 繞點 B順時針也旋轉角 α 得到 B P 2 , 連接 PP 1 , PP 2 . (1 ) 如圖 Z7 4 ① , 當 α= 9 0 176。 圖 Z74 解 : ( 1 ) 由旋轉的性質 得 A P =A P 1 , B P =B P 2 . ∵ α= 9 0 176。 , ∴ ∠ P 1 PP 2 = 1 8 0 176。 . |類型 2| 旋轉型問題 例 2 線段 AB 上不點 A 丌重合的一點 , 且 A P PB . A P 繞點 A 逆時針旋轉角 α (0 176。) 得到 A P 1 , B P 繞點 B順時針也旋轉角 α 得到 B P 2 , 連接 PP 1 , PP 2 . (2 ) 如圖 ② , 當點 P 2 在 A P 1 的延長線上時 , 求證 : △ P 2 P 1 P ∽△ P 2 P A 。 ??2, ∴ ∠ P 1 PP 2 = 1 8 0 176。 2 9 0 176。 α ≤9 0 176。 ??2, ∴ ∠ P 1 PQ= 1 8 0 176。 9 0 176。 , 即 P 1 P ⊥ PQ. |類型 2| 旋轉型問題 針對訓練 1 . [2 0 1 8 D F 39。 C , F 39。 α 1 8 0 176。 α ∠ B D C , 即 D F 39。 C ∽△ D F 39。 B 能否為直角三角形 ? 如 果 能 , 試求出此時 t an ∠ D B F 39。 如果丌能 , 請說明理由 . 圖 Z75 |類型 2| 旋轉型問題 解 : ( 1 ) 證明 : 在矩形 A B CD 中 , AD ∥ BC , ∵ PF ∥ BC , ∴ PF ∥ AD , ∴ ∠ ADB= ∠ DFP. ∵ 將 △ PDF 沿對角線 BD 翻折得到 △ QDF , ∴ ∠ DFE= ∠ DFP , ∴ ∠ A D B = ∠ DFE , ∴ D E = E F , ∴ △ DEF 是等腰三角形 . |類型 2| 旋轉型問題 1 . [2 0 1 8 D F 39。 C , F 39。 α 1 8 0 176。 α ∠ B D C , 即 D F 39。 C ∽△ D F 39。 B 能否為直角三角形 ? 如 果能 , 試求出此時 t an ∠ D B F 39。 如果丌能 , 請說明理由 . 圖 Z75 |類型 2| 旋轉型問題 (2 ) ① 證明 : ∵ △ PDF 繞點 D 按逆時針方向旋轉得到 △ P 39。 , ∴ ∠ B D F 39。 , D P 39。. ∵ PF ∥ BC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴?? ?? 39。?? ??, ∴?? ?? 39。=?? ???? ??, ∴ △ D P 39。B . ② 由 ① 知 △ D P 39。B , ∴ ∠ D B F 39。 , ∠ D F 39。C. ∵ 點 P 是 CD 的中點 , ∴ DP=12D C. ∵ △ PDF 繞點 D 逆時針方向旋轉得到 △ P 39。 , ∴ ∠ B D F 39。 , D P 39。B = 9 0 176。C= 9 0 176。=12DC , ∴ ∠ D CP 39。 , 故 t an ∠ D B F 39。= t a n 3 0 176。 當 ∠ B D F 39。 時 , 有 ∠ CD P 39。 , D P =D P 39。= t a n ∠ D CP 39。= 33或12. |類型 2| 旋轉型問題 2 . [2 0 1 8 ② 推斷 :?? ???? ??的值為 . (2 ) 探究不證明 : 將正方形 CE G F 繞點