排列組合經(jīng)典例題-在線瀏覽
2025-05-12 02:36本頁面
【正文】 此，a3=a1+a2=3,a4=a+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=。 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種．解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問題．=35（種） 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同的走法．解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階，6個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問題．=924（種）． 求（a+b+c）10的展開式的項(xiàng)數(shù)．解 展開使的項(xiàng)為aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排列問題．=66（種） 亞、歐乒乓球?qū)官?，各?duì)均有5名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解 設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為a1,a2，…,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為b1，b2，…，b5，下標(biāo)表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序．比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列，最后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員，所以比賽過程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為=252（種）十二．轉(zhuǎn)化命題法圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有=1365（個(gè)）十三．概率法一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個(gè)？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個(gè)？ 解（1）（2）十五．錯(cuò)位排列例20 同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，則不同的分配方法有 種（9）公式 1） n=4時(shí)a4=3(a3+a2)=9種 即三個(gè)人有兩種錯(cuò)排，兩個(gè)人有一種錯(cuò)排．2）=n!(1++…+練習(xí) 有五位客人參加宴會(huì)，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會(huì)結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（44） 掌握排列、組合問題的解題策略 （1），特殊元素優(yōu)先安排的策略： （2），合理分類與準(zhǔn)確分步的策略； （3）排列、組合混合問題先選后排的策略； （4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； （5）相鄰問題捆綁處理的策略； （6）不相鄰問題插空處理的策略。:(1)知識(shí)梳理 1．分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類中有種有不同的方法，在第2類中有種不同的方法……在第n類型有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。特別提醒：分類計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，要注意“類”與“類”之間所具有的獨(dú)立性和并列性；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，要注意“步”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個(gè)原理進(jìn)行正確地分類、分步，做到不重復(fù)、不遺漏。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（ ）A，150種 B，180種 C，300種 D，345種5，甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 （ ）A，6 B，12 C 30 D36 6，用0 到9 這10 個(gè) 數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ）A．324 B，328 C，360 D，6487，從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙 至少有1人入選，而丙 沒有入選的不同選法的總數(shù)為 （ ）A，85 B，56 C，49 D，288，將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的總數(shù)為 （ ）A，18 B，24 C，30 D，309，3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 （ ）A，360 B，288 C，216 D，96 參考答案例1,解 （1）方法一 要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有A種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站
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