[理學]數(shù)值計算方法講稿-在線瀏覽
2024-12-03 21:14本頁面
【正文】 5nnee? ?? 01()5nnee??11 5nnIIn ?? ? ?167。 簡稱誤差 。 誤差是無法計算的 ,但可以估計出它的一個上 界 。 x *x *e x x??*xx ??? ? *x**x x x??? ? ? ?? 稱 為近似值 的相對誤差 ,記作 。 相對誤差的估計 ,稱為相對誤差限 ,即 。 當 較小時 ,因兩者的差為 : 是 的高階無窮小 ， 可忽略不計 。 例： π＝ , ,誤差限為 。 *5 102x?? ? ?*x 1102 n??*x有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系： 有 n位有效數(shù)字，標準形式為 ， 則有 。 準確到小數(shù)點后 3位 。 1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 5 .x n x m? ? ? ? ? ?例： ，* 1 31110 1022mnxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? 有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系： 定理 1： ， 若 有 n位有效 數(shù)字 ， 則其相對誤差限為 反之 ， 若 的相對誤差限 則 至少具有 n位有效數(shù)字 。2nr a?????*x ( 1 )11 10 。 反之 ， 由 因此 ， 至少具有 n位有效數(shù)字 。 定理說明 ， 有效位數(shù)越多相對誤差限越小 。如果 可微，有 介于 與 之間，取絕對值得 *x x ()fx39。* 39。39。 * * 2 *()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2ff x f x f x x x???? ? ?? 對多元函數(shù) : 若 分別是 的近似值 , 則 12( , , , )nf x x x* * *12, , , nx x x 12, , , nx x x* * * * * *1 2 1 2 1 2( ( , , ) ) ( , , ) ( , , )n n ne f x x x f x x x f x x x??* * **121( , , )( ) ( )n nkkk kf x x x xxx??????? 四則運算中誤差的傳播 四則運算誤差限的公式 : 這是因為 , 故 * * * *1 2 1 2( ) ( ) ( )x x x x? ? ?? ? ?* * * * * *1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( )x x x x x x? ? ???* * * **1 2 2 1 *122* *2 2( ) ( )( 0 )x x x xxxx x????????????* * * * * * * *1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2()e x x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?* * *1 2 2 2 1 1( ) ( )x x x x x x? ? ? ?* * * * * * * * *1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )e x x x x x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? 167。 一個程序往往要進行大量的四則運算才能 得出結(jié)果 ,每一步的運算均可能會產(chǎn)生舍入誤差。 ? 例 : 用分部積分公式得遞推式 : 用四位有效數(shù)字計算 : , , , ,nxnI e x e d x n???? 11 0 0 1 2,nnI nI I e ??? ? ? ? 11011.I ?0 0 6 3 2 1
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