數(shù)值計(jì)算方法(第2章)-在線瀏覽
2025-07-17 00:21本頁面
【正文】 ， 且對 ，由 產(chǎn)生 的序列 收斂于 。 ? 首先證明根的存在性 令 bbaa ?? )(,)( ??ba或xxx ?? )()( ??壓縮映像原理 則 ， 即 由條件 2） 是 上的連續(xù)函數(shù) 是 上的連續(xù)函數(shù)。 ],[, 21 baxx ???|||)()(||| 212121 ?????? ????? xxLxxxx ???? ? 21 xx壓縮映像原理 ? 最后證迭代序列的收斂性 與 n 無關(guān)，而 0L1 即 |)()(||| 1 ??? ??? xxxx nn ??由于|| 1 ?? ?? xxL n|| 0 ??? xxL n......??xx ,0因?yàn)?l i m||||l i m 0 ???? ?????? nnnn Lxxxx所以??? ? xx nnlim壓縮映像原理 ? 誤差估計(jì) ? 若 滿足定理 ，則 ? 這是事后估計(jì)，也就是停機(jī)標(biāo)準(zhǔn)。 ? 這是事前估計(jì)。 )( xx ??||L1 L|| 1nn ?? ???? xxxx n||L1 L|| 01nxxxx n ???? ?例題 ? 例 證明函數(shù) 在區(qū)間 [1，2]上滿足迭代收斂條件。是區(qū)間所以因?yàn)閉,[)(]2,1[0)1(31)x( 3239。 ?????? ? xLxx?又23)2(12)1( 33 ???? ?? ，而）。滿足條件（所以 2)( x?滿足壓縮映像原理。 1)x( 3 ?? x?]2,1[3|3||)(| 239。10|)(|],[xxLLxbaxk 收斂于則????? ?? 定理 設(shè)迭代函數(shù) 在 上連續(xù)可微 )(x?證明（略）就收斂于充分接近于則只要 *0*39。 ?0n}x{ *x1?pCee pnnn????1lim*xxe nn ??迭代法收斂的階 當(dāng) p=1時(shí)，稱為線性收斂 (0c1)； 當(dāng) p1時(shí)，稱為超線性收斂； 當(dāng) p=2時(shí)，稱為平方收斂或二次收斂。如果 且 ，則從任意 出發(fā)，由 產(chǎn)生的序列 收斂到 ，當(dāng) 時(shí)斂速是線性的。* ??足夠小時(shí)，有? )(1|)(| ????? xLx??????? ???????????|||||)(||)()(||)(| **** xxxxxxxxx 有因此，對于迭代法收斂的階 ? 斂速是線性的 線性收斂到 。收斂到故 *0}{ xx n ?滿足壓縮映像原理，所以即 )(,)( xx ?? ???0}{ nx所以*xSteffensen迭代格式 ? 由線性收斂知 當(dāng) n充分大時(shí)有 即 0l i ml i m 112n ?????????? Ceeeennnnnnnnneeee 112 ??? ?**1*1*2xxxxxxxxnnnn????? ???Steffensen迭代格式 ? 展開有： nnnnnn xxxxxxx????????1221*2)(2**12 1**2 )(2))(( xxxxxxxx nnnn ????? ???2**12 12**2*2 )(2)( xxxxxxxxxxx nnnnnn ?????? ????*12 1*2*2 2 xxxxxxxxx nnnnnn ???? ????2 1212* )2( ???? ????? nnnnnn xxxxxxxSteffensen迭代格式 ? 已知 ，則 ， ? 改成 nx)(1 nn xx ??? ))((2 nn xx ???? nnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy????????2)()()(21?? n=0， 1， 2， … Steffensen迭代格式 ? 也可以改寫成 ? 其中迭代函數(shù) ,... ...)1,0()(1 ??? nxx nn ?xxxxxxx?????)(2))((])([)( 2?????Steffensen迭代法收斂的充要條件 ? 定理 ],[)( **1 ??? ????? ? xxCx ，設(shè)函數(shù)。是所以 )(* xxx ??Steffensen迭代法收斂的充要條件 ? 充分性 的不動點(diǎn)有是由 )(* xxx ??xxxxxxxxxxx ??????? )(2))((])([l i m)]([l i m 2** ?????1)(2)())((]1)(][)([2l i m* ?????????? xxxxxxxxoo??????型0]1)([ ]1)(][)([2l i m 2*****??? ????? xxxxxx ???的不動點(diǎn)。 , .. . .2,1,02)()()(21????????????????nxyzxyxxyzxyS t e f f e n s e nnnnnnnnnnnn??迭代格式則由 2C)( ??x??0}{ nx *x*xSteffensen算法的收斂速度 的不動點(diǎn)，是證明： )(* xxx ?? 。 也就是說：簡單迭代法是線性收斂；Steffensen迭代至少平方以上收斂（加速收斂）。 1)( 3 ?? xx?nnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy????????2)()()(21?? n=0， 1， 2， … 例題 ? 取初值 ，計(jì)算結(jié)果如下： N Xn Yn Zn 0 1 2 3 4 5 6 ?xSteffensen迭代格式幾何解釋 Steffensen迭代算法 11002001200100210:)3(。2/()()3。()。,)1(xe n d w h i l exxxyzxyxxt h e nxyzifyzxyxxx輸出步做第做輸入????????????????????Steffensen迭代算法 Steffensen加速收斂法 ? 迭代法收斂的階 定義 設(shè)序列 收斂到 ，若有實(shí)數(shù) 和非零常數(shù) C， 使得 其中， ，則稱該序列是 p 階收斂的，C 稱為漸進(jìn)誤差常數(shù)。 Newton迭代法 ? 設(shè) x * 是方程 f (x ) = 0的根，又 x0 為 x * 附近的一個值 ，將 f (x ) 在 x0附近做泰勒展式 令 ，則
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