計算方法第1章緒論-在線瀏覽
2025-07-16 04:10本頁面
【正文】 18 這就帶來了誤差，稱它為“截斷誤差”或“方法誤差”。這就是由于截斷了無窮級數(shù)自第四項起。 （ )和 ()的截斷誤差是很容易估算的，因為冪級數(shù) ()和 () 都是交錯級數(shù)，當 x1時的各項的絕對值又都是遞減的，因此，這時它們的截斷誤差 可分別估計為： ? ?xR4!7)(74xR x ?? ? 4 44 xR x ?和 21 舍入誤差 在數(shù)值計算過程中， 由于受計算機機器字長的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是有限位數(shù)，這時就需把數(shù)據(jù)舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來代替。 22 數(shù)學模型一旦建立，進入具體計算時所要考慮和分析的就是截斷誤差 和舍入誤差了。 因此，在討論算法時，有必要對其截斷誤差的估算和舍入誤差的控制作適當?shù)姆治觥?3 絕對誤差和相對誤差 絕對誤差和絕對誤差限 定義 設某一個準確值（稱為真值）為 ，其近似 值為 ，則 與 的差 x*xxxx ??)( *?x*x稱為近似值 的“ 絕對誤差 ”，簡稱 “誤差 ” 。但一般可估計此 絕對誤差的上限，也即可以求出一個正值 ，使 ?)(x??? ??? *)( xxx() 此 稱為近似值 的 “ 絕對誤差限 ” ，簡稱 “ 誤差限”，或稱 “精度” 。 這時等式右端的兩個數(shù)值 和 代表了 所在范圍的上、下限。 例如 ， 用有毫米刻度的尺測量不超過一米的長度 。 顯然 ， 這個近似值的絕對誤差限就是半個毫米 ， 則有 *x)(21)( * 毫米??? lll?ll 1 3 ??ll l* l*如果讀出的長度是 513 毫米，則有 26 這樣，雖仍不知準確長度 是多少，但由 （ ） 式可得到不等式 ≤l≤ (毫米 ) 這說明 必在 [,]毫米區(qū)間內(nèi)。例如測量 10米的長度時產(chǎn)生 1厘米的誤差與測量 1米的長度時產(chǎn)生 1厘米的誤差是大有區(qū)別的。這說明要評價一個近似值的精確度，除了要看其絕對誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進相對誤差的概念。 在上例中 ， 前一種測量的誤差為 ， 而后一種測量的相對誤差則為 ， 是前一種的十倍 。反之 ， 絕對誤差也可由相對誤差求出 ， 其相互關系式為： )()( xxx r?? ??100011001*x() 相對誤差不僅能表示出絕對誤差來，而且在估計近似值運算結果的誤差時，它 比絕對誤差更能反映出誤差的特性 。 29 相對誤差也無法準確求出。也和絕對誤差一樣，可以估計它的大小范圍，即可以找到一個正數(shù) ，使 （ ） ?? ?)( xr??x??x 稱為近似值 的“ 相對誤差限
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