計算方法第1章緒論-全文預覽
【正文】 inx 和 ln (1+x)可分別展開為如下的無窮冪級數(shù)： ?????? !7!5!3s i n753 xxxxx() )11(432)1l n (432?????????xxx xxx ?() 19 則由于它們的第四項和以后各項都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。 截斷誤差 在不少數(shù)值運算中常遇到超越計算，如微分、積分和無窮級數(shù)求和等，它們須用極限或無窮過程來求得。 16 167。 12 ???????????1212 3x270991)12(127099)12(66????????xxxx可用四種算式算出： 計算實例 13 如果分別用近似值 和 按上列四種算法計算，其結(jié)果如下 表 11所示。若用秦九韶 (Horner)算法，將多項式 P(x)改成 aaaaaaxxxxxxP nnn01221))))(((()(??????? ????來計算時 ,只要做 n次 乘法 和 n次加法即可。 7 數(shù)值計算方法 ， 將要求解的數(shù)學模型簡化成一系列算術(shù)運算和邏輯運算，以便在計算機上求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性和誤差進行分析、計算。數(shù)值分析是研究各種數(shù)學問題求解的計算方法，即數(shù)值計算。 2 誤差的種類及其來源 167。1 計算方法 華中科技大學 CAD中心 2 教材 ? 《 計算方法 》 張誠堅，何南忠。 1 引 言 167。 1 引 言 計算方法也稱數(shù)值分析。 實際問題 數(shù)學模型 數(shù)值計算方法 程序設(shè)計 上機計算 結(jié)果可視化 6 用數(shù)值計算的方法來解決工程實際和科學技術(shù)中的具體技術(shù)問題時，首先必須具體問題抽象為 數(shù)學問題 ，即建立起能描述并等價代替該實際問題的數(shù)學模型，例如各種微分方程、積分方程、代數(shù)方程 …… 等等，然后選擇合適的計算方法，編制出計算機程序，最后上機調(diào)試并進行計算，以得到所欲求解的結(jié)果。 例如，計算 n次多項式： 0111)( axaxaxaxP nnnn ????? ?? ?2)1()1(21 ??????? nnnn?若直接計算 ，再逐項相加，共需做 )10( nixa ii ， ??9 n=10時需做 55次乘法和 10次加法。 11 ?數(shù)值計算過程中會出現(xiàn)各種誤差，往往是無法避免的，例如近似值帶來的誤差，模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差等，應該設(shè)法盡量降低其數(shù)值，尤其要控制住經(jīng)多次運算后誤差的積累，以確保計算結(jié)果的精度。 ? 因此，在研究算法的同時，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念，否則，一個合理的算法也可能會得出一個錯誤的結(jié)果。 17 觀測誤差 在建模和具體運算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人們實際觀察、測量得來的，由于受到所用觀測儀器、設(shè)備精度 的限制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為“觀測誤差”或“初值誤差”。 18 這就帶來了誤差，稱它為“截斷誤差”或“方法誤差”。 （ )和 ()的截斷誤差是很容易估算的，因為冪級數(shù) ()和 () 都是交錯級數(shù)，當 x1時的各項的絕對值又都是遞減的，因此，這時它們的截斷誤差 可分別估計為： ? ?xR4!7)(74xR x ?? ? 4 44 xR x ?和 21 舍入誤差 在數(shù)
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