[理學(xué)]數(shù)值計(jì)算方法講稿(已修改)
2024-10-28 21:14 本頁面
【正文】 數(shù)值計(jì)算方法 ? 開課單位：數(shù)學(xué)系 ? 隆廣慶（數(shù)學(xué)系） ? 考試方式：閉卷。 ? 作業(yè)占 20％ ― 30％，卷面 70％ ― 80％。 ? 講義、作業(yè)及答案可下載，／。 主要參考書： ? ， 《 數(shù)值分析 》 ，華中理工大學(xué)出版社，武漢， 1994。 ? ， 《 數(shù)值計(jì)算方法 》 ，北京理工大學(xué)， 1998。 ? 3. David Kincaid, Ward Cheney. 王國榮等譯 . 數(shù)值分析（ Numerical Analysis)第三版。 ? 4. 施妙根等， 《 科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ) 》 ，清華大學(xué)出版社出版，北京， 1999。 ? 5. 關(guān)治，陸金甫， 《 數(shù)值分析基礎(chǔ) 》 ，高等教育出版社，北京， 1998。 緒論 167。 1 數(shù)值計(jì)算方法（數(shù)值分析）的對象與特點(diǎn) 數(shù)值計(jì)算方法： 研究適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的方法 。 使用計(jì)算機(jī) 、 離散 。 解決科學(xué)技術(shù)和工程問題的步驟 : 實(shí)際問題 ?建立數(shù)學(xué)模型 ?研究計(jì)算 方法 ?編程上機(jī)計(jì)算 ?求的結(jié)果 。 例如 : ⑴ 某一地區(qū)的地形圖 ,用空中航測方法 ,空中連續(xù)拍照。 ⑵ 為形成三維地形圖 ,建立了一個(gè)大型超定線性方程組。 ⑶ 采用最小二乘方法求解該方程組的最小二乘解 ,然后再整體平滑 。 ⑷ 編程序 ,形成一個(gè)大型程序 ,上機(jī)進(jìn)行計(jì)算。 數(shù)值計(jì)算方法 課的主要基礎(chǔ)與內(nèi)容 : 計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算和一些簡單的函數(shù)計(jì)算 (即使是函數(shù)也是通過數(shù)值計(jì)算分析處理 ,轉(zhuǎn)化為四則運(yùn)算而形成了的一個(gè)小型軟件包 )。 1. 數(shù)值代數(shù) :求解線性方程組的解法（ 分直接方法和間接方法 ） ， 求矩陣的特征值與特征向量 。 2. 數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近 ， 數(shù)值微分和數(shù)值積分 。 3. 方程求解：非線性方程、常微分方程、偏微分方程數(shù)值解法。 特點(diǎn)： 1. 面向計(jì)算機(jī)。 （收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析）。 （時(shí)間、空間） 4. 要有數(shù)值試驗(yàn) 。 對算法所要考慮的問題 : 。 例如 ,求解一個(gè) 20階線性方程組 ,用消 元法需 3000次乘法運(yùn)算 。而用克萊姆法則要進(jìn)行 次運(yùn)算 ,如用每秒 1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要 30萬年。 。 大型問題有必要考慮 。 。 在大量計(jì)算中 ,舍入誤差是積累還是能控制 ,這與算法有關(guān) 。 209 .7 1 0?167。 2誤差的來源與誤差分析的重要性 ? 誤差的來源與種類 實(shí)際問題 ?建立數(shù)學(xué)模型 ?研究計(jì)算方法 ?編程上機(jī)計(jì)算 ?求的結(jié)果 。 1. 模型誤差 : 在建立數(shù)學(xué)模型過程中 ,不可能將所有因素均考慮 ,必然要進(jìn)行必要的簡化 ,這就帶來了與實(shí)際問題的誤差 。 : 測量已知參數(shù)時(shí) ,數(shù)據(jù)帶來的誤差 。 : 在設(shè)計(jì)算法時(shí) ,必然要近似處理 ,尋求一些簡化 。 ? 例： 當(dāng) 很小時(shí)，可用 作為 的近似值，其截?cái)嗾`差小于 。 ? 例： 對函數(shù) 用 Taylor展開，用多項(xiàng)式 近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差為 2 4 6 2( 1 )c o s 1 2 4 ! 6 ! ( 2 ) !nnx x x xx n?? ? ? ? ? ? ?x21 2x? cos x424x39。 39。39。 ( )2( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 )1 ! 2 ! !nnnf f fP x f x x xn? ? ? ? ?( 1 )1()( ) ( ) ( )( 1 ) !nnnnfR x f x P x xn?? ?? ? ??()fx : 計(jì)算機(jī)的字長是有限的 ,每一步運(yùn)算均需四舍五入 ,由此產(chǎn)出的誤差稱舍入誤差。 例： π、 1／ 3， …… 取小數(shù)點(diǎn) 8位、 16位。 數(shù)值分析主要討論截?cái)嗾`差。測量誤差看作初始的舍入誤差 , 數(shù)值分析也要從整體來討論舍入誤差的影響 ,但這兒不討論模型誤差。 誤差分析的重要性： 可 舉例說明
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