【正文】 的估計誤差與置信區(qū)間 四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間 根據(jù)矩陣相等的意義，矩陣相等即對應(yīng)位置的元素相等，回歸參數(shù)估計量 的方差、標準差，協(xié)方差 其中 為矩陣 中第 i行和第 j列元素。由此得： 11?22????????knkne i ee?令 22 )?( ?? ?E即 11?2????????knkne i ee?因此， 1,121,122 )1(?)?(? ???? ?????jjijjj CkneCES ??1,121,1 1?)?(? ???? ?????jjijij CkneCES ??稱為方程的 估計標準誤差 。 由于偏回歸系數(shù)都是與變量的原有單位有直接的聯(lián)系，計量單位不同，彼此不能直接比較計量單位不同的解釋變量對被解釋變量的影響大小。標準化變量其均值總是 0，標準差總是 1。 Beta系數(shù)可解釋為，如果標準化回歸元增加一個單位的 標準差 ，則標準化回歸子平均增加 單位個 標準差 。 注意： *j?? beta系數(shù)作為各個回歸元相對解釋力的一種度量，通過將回歸元標準化，可以將其放在同等地位并直接進行比較。 注意： 本章要點 多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的概念 多元線性回歸模型的參數(shù)估計 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 非線性回歸模型 第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 重點： t檢驗與模型整體顯著性 F檢驗的關(guān)系 3. F檢驗與擬合優(yōu)度之間的關(guān)系 第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗 二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗 三、模型總體線性顯著性檢驗 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗 設(shè)估計的多元樣本線性回歸函數(shù)為 則帶殘差項的多元樣本線性回歸模型為 則 kikiii XXXY ???? ?????? ?22110 ???ikikiii eXXXY ?????? ???? ?22110 ???iii eYY ??? YeYYYiii ?????1．總離差平方和分解 總離差平方和 iiii eYYeYY )(2)(22 ??????? ?? ?021 ????????? iikiiiii eXeXeXe ?由最小二乘法知 iiiii eYeYeYY ???????? )(0????22110?????????????iikkiiiiiiieXeXeXeeY???? ?因此 222 )?()( iii eYYYY ???????222 )()()(iiiii eYYYeYYY ????????????回歸平方和與殘差平方和 222 ?iii yey ?????記成 TSS = RSS + ESS 22 )( YYyT S S ii ?????22 )?(? YYyE S S i ???? ?? ???? 22 ? ）（ iii YYeR S S總離差平方和 回歸平方和 殘差平方和 2．判定系數(shù) 用回歸平方和 （ ESS） 占總平方和 （ TSS） 的比重作為衡量模型對樣本擬合優(yōu)度的指標 ， 稱為 多元判定系數(shù) ，用符號 R2表示： 顯然 ， ， 并且當 越接近于 1時 ， 越接近于0；因此 ， R2的值越接近 1， 則表明模型對樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度越高 。為了得到擬合優(yōu)度較高的模型，似乎加入更多解釋變量是合理選擇，但是在建立計量經(jīng)濟模型時，隨著解釋變量個數(shù)的增加，待估計的參數(shù)也會增多，由此造成樣本自由度減少，模型參數(shù)估計的準確性下降。 注意： : 在一元回歸中判定系數(shù)為 由于 于是 21222122212221222?????iiiiiiiii yxyyxxxyyxyxyyR??????????????????? ????ikikiiiiiii yxyxyxeyy ??????????? ? ??? ???? 12211222 ?2112??iikikiiyyxyxR?????? ?? ?校正的辦法 將 中的第二項乘一個不小于 1的因子 ， 若方程中解釋變量個數(shù) k大 ， 所乘因子也大；在樣本容量一定的情況下 ， 由于 RSS的自由度 nk1隨著解釋變量個數(shù) k的增大而減少 。 因此定義 為校正判定系數(shù) 。 R2 K變量個數(shù) K變量個數(shù) 2R 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有 : 赤池信息準則 （ Akaike information criterion, AIC） nknA I C)1(2ln ???? ee施瓦茨準則 （ Schwarz criterion， SC） nnknAC lnln ??? ee 這兩準則均要求 僅當所增加的解釋變量能夠減少AIC值或 AC值時才在原模型中增加該解釋變量 。 的條件下，查 t分布表，得臨界值 。 ? 若 則不能拒絕 即 與 0的差異不顯著 ， 這種情況 ， 只有接受 H0， 犯錯誤的概率才會?。徽f明對應(yīng)的解釋變量對被解釋變量 Y線性作用不顯著 。 由于對不同的樣本 ， 這個比值可能不同 ， 因此對給定的樣本 ， 利用這個比值進行推斷 ， 必須在統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基礎(chǔ)上作出 。 ：可以證明：在 k元線性回歸的條件下 ， 和 分別服從自由度為 k和 nk1的 分布 。 若 ， 則不拒絕 ， 即回歸模型不顯著成立 ， 說明解釋變量對被解釋變量是沒有顯著的線性影響關(guān)系 。 因此 ， 用來判斷估計的回歸方程聯(lián)合顯著性的 F檢驗 ， 實際也就是對判定系數(shù)的顯著性檢驗 。 02 ?R 0?F??0: 210 ???? kH ??? ?02 ?R本章要點 多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的概念 多元線性回歸模型的參數(shù)估計 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 非線性回歸模型 kiuXXXYP R F ikikiii ,2,1,: 33221 ?? ??????? ???? 被解釋變量和解釋變量之間的線性關(guān)系，包括參數(shù)線性和解釋變量線性兩種。 轉(zhuǎn)換技巧： 直接代換法 間接代換法 級數(shù)展開法 應(yīng)用研究中經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)形式的變形和推廣。 函數(shù)形式為下式的稱為倒數(shù)模型： iii uXY ???110 ?? 倒數(shù)模型的一個顯著特征是，隨著 X的無限增大， 趨于零， Y接近漸近值。 ?由于這種模型的曲線形狀呈現(xiàn)雙曲線的變化規(guī)律，又稱其為 雙曲線模型 。 0?平均固定成本曲線 在短期： 總固定成本為一條水平線，平均固定成本曲線等于從原點到總成本曲線上相應(yīng)產(chǎn)量點連線的斜率。 恩格爾消費曲線 恩格爾曲線表示消費者在每一收入水平下對某種商品的需求量。正常商品的消費量隨著收入的增加而增加，但其增長率是遞減的。 恩格爾消費曲線 正常商品 高檔商品 恩格爾消費曲線 若用 X表示消費者總收入， Y表示消費數(shù)量，則正常商品的恩格爾曲線具有如下特征： ，在此之下，不能購買商品。 %100% ?? 額家庭或個人消費支出總 食品支出總額）恩格爾系數(shù)（中國 20212021年恩格爾系數(shù) 菲利普斯曲線 菲利普斯根據(jù)英國貨幣工資變化的百分比 Y與失業(yè)率 X的數(shù)據(jù) ， 得到菲利普斯曲線 。 菲利普斯曲線 （不變彈性模型） 模型 uXY ??? lnln10 ??*ln ii YY ?令 ?? ii XXln可變?yōu)榫€性回歸模型 uXY ??? *10* ??根據(jù)解釋變量的觀測值，計算出 Y*i和 X*i 的之后用最小二乘法對參數(shù)進行估計，得到： 和 分別是 和 的最佳線性無偏估計式。 雙對數(shù)線性模型的特點 對數(shù)結(jié)構(gòu)方程 兩邊微分得： 雙對數(shù)線性模型的回歸系數(shù) 恰好就是被解釋變量 關(guān)于解釋變量 的彈性。 iiiiii uXY uXY ??? ??? lnln2121?? ??或僅有一個變量以對數(shù)形式出現(xiàn)的回歸模型稱為半對數(shù)模型。 Y0時，使用 lnY作為被解釋變量的模型，通常比使用 Y的水平值作為被解釋變量的模型更接近 CLM假定。 廣泛使用對數(shù)模型的原因： ，在某些情況下還相當可觀。 線性模型與對數(shù)模型的比較 在線性模型、對數(shù)模型選擇過程中，有如下經(jīng)驗規(guī)律： ，做散點圖。 。 Y的變動與 lnY的變動從概念上看是不同的。以年度量的變量通常以原有形式出現(xiàn)，如受教育年數(shù)、年齡等變量。這是因為任何原變量的回歸系數(shù)，都具有一種百分點變化的解釋，如失業(yè)率、投資率、消費率等變量。但在 Y非負又可等于零的情形中 ， 有時采用 ln(1+Y)。一般而言 ， 當 Y的數(shù)據(jù)包含相對較少的零時 ， 使用 ln(1+Y)， 并把估計值作為變量為 lnY時的解釋 ， 通常是可以接受的 。 原模型使我們能預(yù)測 lnY， 而不是 Y。 一個相關(guān)的問題是 ， 將 Y作為被解釋變量的模型與 lnY作為被解釋變量的模型進行可決系數(shù)的比較是不合邏輯的 。 令變量 ，模型轉(zhuǎn)化成多元線性回歸模型 從而最小二乘法進行參數(shù)估計以及進一步的檢驗。 模型的函數(shù)為： kiuXXXYikikiii ,2,12210 ?? ??????? ，????jj iXX ? ),2,1( kj ?? u XβXβXβXββY i kiki33i22i110i ??????? L解釋變量以不同次冪進入模型。因此，稱為間接代換法。 具體步驟如下： 設(shè)模型： ipki uXXXfY ?? ),。 ),1(? pjj ???)?,?,?( 02021 P??? ?uffXXXfY ppppk ??????????? )?()?()?,?,?,(010110202121 ????????? ???第一步，選定一組參數(shù)初始估計值 將函數(shù) f在初始值處展開 （ 397） ? ?? ?????????? pjpjijjijpki uffXXXfY1 100202121 ?)?,?,?。,( ????? ??pjfZjji ,2,1 ??????ipipiii uZZZY ?????? ??? ?2211第三步： 由于上式是一個多元線性回歸模型， 可用最小二乘法估計出一組參數(shù) 12111 ?,?,? p??? ?。 ? ?? ?????????pjijpjjijpki uffXXXfY1 111211121 ?)?,?,?,( ??????? ??22212 ?,?,? p??? ?第五步， 如此反復(fù)，得到一系列 ?? ,2,1,?,?,?21 ?kpkkk ???直到參數(shù)估計值收斂或第 1?k 次估計值的估計誤差 小于事先取定的誤差精度時為上，即滿足如下條件時 為止： pjjkjkjk ?,2,1,