【正文】 足： （ 5） （ K+1） n。 （ 6） 各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系 。 nIuuE 2, )( ??? ????????????????????????????????22122212121212121..... ......... .......... .......... .......... ...... .......nnnnnnn uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuunIuuE 2)( ???10 （ 3） X 是 是一個(gè)非隨機(jī)元素矩陣 。 殘差為： k??? ?,....,?,? 10 KtKtttttXXYYYeβ?....β???110 ???????? tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????12 要使殘差平方和 為最小 ， 則應(yīng)有： 我們得到如下 K+1個(gè)方程 （ 即正規(guī)方程 ） ： ? ? 21102 β?...β??? ? ?????? KtKttt XXYeS ? 0?...,0?,0?10?????????KSSS???13 按矩陣形式，上述方程組可表示為： ???????????????????????????????????????????????tktKtKtktktttKttKtttttKttKtttKtKtYXXXXXYXXXXXXYXXXXXYXXn211022121201121110110β..... .ββ..... ...... ...... ...... .β..... .βββ..... .βββ..... .ββ14 = )39。XY 即 YXXX 39。( ????????????????????????2112111.....................KttKtKtKttttKttXXXXXXXXXXn?????????????????Kβ...ββ10????????????????????????nKnKKnYYYXXXXXX.....................1...1121211121115 上述結(jié)果 ， 亦可從矩陣表示的模型 出發(fā) ， 完全用矩陣代數(shù)推導(dǎo)出來(lái) 。 由上述結(jié)果 ， 我們有 ?????? β)?( XYYX? ??????????? βββ2 XXYXYYS0β)( ????SYXXX ??? ?β YXXX ??? ?? 1)(β18 YXXX ??? ?? 1)(β三 . 最小二乘估計(jì)量 的性質(zhì) 我們的模型為 估計(jì)式為 1． 的均值 ?β? ?? β? XY uX ?? ?)uβ()( 1 ???? ? XXXX u)(β)( 11 XXXXXXX ?????? ?? u)(β 1 XXX ???? ?19 （ 由假設(shè) 3） (由假設(shè) 1) 即 這表明 ， OLS估計(jì)量 是無(wú)偏估計(jì)量 。 4． 高斯 馬爾科夫定理 對(duì)于 以及標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件 （ 1） （ 4） ， 普通最小二乘估計(jì)量是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量 （ BLUE） )1(?22??? ?Kne t?kβ,...β,β 10 uβ ?? XY25 我們已在上一段中證明了無(wú)偏性 ， 下面證明線性和最小方差性 。 由 OLS估計(jì)量 的公式 可知 , 可表示為一個(gè)矩陣和應(yīng)變量觀測(cè)值向量 的乘積： 其中 是一個(gè) (K+1)*n 非隨機(jī)元素矩陣 。 ???? YXXX ??? ?? 1)(βY Yk??? XXXk ??? ? 1)(??26 現(xiàn)設(shè) 為 的任意一個(gè)線性無(wú)偏估計(jì)量 ， 即 其中 是一個(gè) (K+1)*n非隨機(jī)元素矩陣 。 *? Yc?*?c ucXcuXcYc ????? ??? )(* ????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*? IXc ?I27 的方差為： 我們可將 寫成 從而將 的任意線性無(wú)偏估計(jì)量 與 OLS估計(jì)量 聯(lián)系起來(lái) 。 這就證明了 OLS估計(jì)量 是 的所有線性無(wú)偏估計(jì)量中方差最小的 。 ? ?)?()?()()(*)(2212122????????VarDDVarDDXXDDXXccVar????????????????DD ???30 第三節(jié) 擬合優(yōu)度 一 ． 決定系數(shù) R2 對(duì)于雙變量線性模型 Y=α +β X + u 我們有 其中 ， =殘差平方和 ? ?????? 222 1YYeR? 2e31 對(duì)于多元線性模型 我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)： 為方便計(jì)算 ， 我們也可以用矩陣形式表示 R2 uXXY KK ????? ??? ...110? ?TSSRSSTSSESSRYYeR?????????112222或總變差解釋變差32 我們有：殘差 ， 其中 ， 殘差平方和： ?????????????????? YYeeene...21?? ? βXY )()(2?????????YYYYeee t)β()β( ?? ???? XYXY )β)(β( ?? ?????? XYX ???? ?????????? ββββ XXXYYXYY YXXXXXXYYXYY ???????????? ???? 1)(βββ????? βXYYY YXXYYXYY ?????????? ??? βββ33 而 將上述結(jié)果代入 R2的公式 ， 得到： ? ? 2222 YnYYYnYYY ?????? ??這就是決定系數(shù) R2 的矩陣形式。 由此可以推論 ， 決定系數(shù)是一個(gè)與解釋變量的個(gè)數(shù)有關(guān)的量： 解釋變量個(gè)數(shù)增加 ? 減小 ? R2 增大 也就是說(shuō) ， 人們總是可以通過(guò)增加模型中解釋變量的方法來(lái)增大 R2 的值 。 為此 ， 我們定義修正決定系數(shù) （ Adjusted ） 如下： 2R? 2e2R 2R35 是經(jīng)過(guò)自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。即 （ 3）當(dāng) K增大時(shí)，二者的差異也隨之增大。 2R 22 RR ? 22R ?2R? ? )1()1(1 222????????nYYKneR? ????????? 22)1()1(1YYKnen1)1)(1(1??????KnRn36 三 ． 例子 下面我們給出兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值例子 ， 以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容 . 例 1 Yt = ?1 + ?2X2 t + ?3X3 t + u t 設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為： Y： 3 1 8 3 5 X2： 3 1 5 2 4 X3： 5 4 6 4 6 試求各參數(shù)的 OLS估計(jì)值 ， 以及 。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 這與 R2不同 （ ）。 但在實(shí)際問(wèn)題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟(jì)變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。 在這樣一些非線性關(guān)系中 ， 有些可以通過(guò)代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理 ， 另一些則不能 。 ?? LAKQ ?43 一 . 線性模型的含義 線性模型的基本形式是 : 其特點(diǎn)是可以寫成每一個(gè)解釋變量和一個(gè)系數(shù)相乘的形式。 （ 2） 參數(shù)的線性 因變量 Y是各參數(shù)的線性函數(shù) 。例如 ， 對(duì)于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 ...,...3322114332221143322211?????????????ZZZYXXZXZXZXXXXY????????該關(guān)系即可以重寫為：只需定義45 參數(shù)的非線性是一個(gè)嚴(yán)重得多的問(wèn)題 ， 因?yàn)樗荒軆H憑重定義來(lái)處理 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對(duì)某商品的需求 X=收入 P=相對(duì)價(jià)格指數(shù) ν =擾動(dòng)項(xiàng) 可轉(zhuǎn)換為： ?? ?? PXY ? ???? logloglogloglog ???? PXY46 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計(jì)上式 。 [注釋 ] 彈性 （ elasticity） ：一變量變動(dòng) 1%所引起的另一變量變動(dòng)的百分比： 需求的收入彈性：收入變化 1%， 價(jià)格不變時(shí) ， 所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 YXXY ?????47 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。 現(xiàn)用這三個(gè)變量的對(duì)數(shù)重新估計(jì) （ 采用同樣的數(shù)據(jù) ）， 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 回歸結(jié)果表明 ， 需求的收入彈性是 ,需求的價(jià)格彈性是 ， 這兩個(gè)系數(shù)都顯著異于 0。 著名的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) （ CD函數(shù) ） 為 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù) （ 美國(guó) 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù) ） 估計(jì)經(jīng)過(guò)線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 從上述結(jié)果可以看出 ， 產(chǎn)出的資本彈性是 ， 產(chǎn)出的勞動(dòng)彈性為 。 對(duì)此方程采用對(duì)數(shù)變換 logM=loga+blog(r2) 令 Y=logM, X=log(r2), β 1= loga, β 2=b 則變換后的模型為： Yt=β 1+β 2Xt + ut 50