【正文】 檢驗(yàn)全部 “ 斜率 ” 系數(shù)均為 0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 F = = )1/(/)(???knSgSS R)1/(/)(???knSkSS R)1/()1(/22??? knRkR89 五 、 虛擬變量 我們應(yīng)用虛擬變量的目的是將那些無(wú)法定量化的變量引入到模型中 。 2)()()(1)()(:)(???????RXQYt84 第四章 小結(jié) 本章將雙變量模型的結(jié)果推廣到了多元線性回歸模型的一般情形 。 例 3：你在研究通貨膨脹的決定因素 ， 在你的觀測(cè)期中 ， 有 些年份政府實(shí)行了一項(xiàng)收入政策 。 70 第六節(jié) 預(yù)測(cè) 我們用 OLS法對(duì)多元回歸模型的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)之后 ， 如果結(jié)果理想 ， 則可用估計(jì)好的模型進(jìn)行預(yù)測(cè) 。 結(jié)論： ?顯著異于 0。 也就是說 ， 此模型無(wú)法線性化 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對(duì)某商品的需求 X=收入 P=相對(duì)價(jià)格指數(shù) ν =擾動(dòng)項(xiàng) 可轉(zhuǎn)換為： ?? ?? PXY ? ???? logloglogloglog ???? PXY46 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計(jì)上式 。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 ???? YXXX ??? ?? 1)(βY Yk??? XXXk ??? ? 1)(??26 現(xiàn)設(shè) 為 的任意一個(gè)線性無(wú)偏估計(jì)量 ， 即 其中 是一個(gè) (K+1)*n非隨機(jī)元素矩陣 。 （ 6） 各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系 。多元線性回歸模型 簡(jiǎn)單線性回歸模型的推廣 1 第一節(jié) 多元線性回歸模型的概念 在許多實(shí)際問題中 ， 我們所研究的因變量的變動(dòng)可能不僅與一個(gè)解釋變量有關(guān) 。 9 上述假設(shè)條件可用矩陣表示為以下四個(gè)條件： (1) E(u)=0 (2) 由于 顯然 ， 僅當(dāng) E(ui uj)=0 , i≠j E(ut2) = σ2, t=1,2,… ,n 這兩個(gè)條件成立時(shí)才成立 ， 因此 ， 此條件相當(dāng)前面條件(2), (3)兩條 ， 即各期擾動(dòng)項(xiàng)互不相關(guān) ， 并具有常數(shù)方差 。 則 顯然 ， 若要 為無(wú)偏估計(jì)量 ， 即 ， 只有 ， 為 （ K+1） 階單位矩陣 。 我們有 若 n = 10， 則 = 若 n = 5， 則 = 由本例可看出 ， 有可能為負(fù)值 。 logX的系數(shù)是 β 的估計(jì)值 ， 經(jīng)濟(jì)含義是需求的收入彈性 ， logP的系數(shù)將是 γ 的估計(jì)值 ， 即需求的價(jià)格彈性 。 在這種情況下 ， 只能用估計(jì)非線性模型參數(shù)值的方法 。 58 2． 若干個(gè)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) （ 聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn) ） 有時(shí)需要同時(shí)檢驗(yàn)若干個(gè)系數(shù)是否為 0， 這可以通過建立單一的原假設(shè)來進(jìn)行 。 與雙變量模型的作法類似 ， 預(yù)測(cè)指的是對(duì)各自變量的某一組具體值 來預(yù)測(cè)與之相對(duì)應(yīng)的因變量值 。 你想檢驗(yàn)該政策是 否對(duì)通貨膨脹產(chǎn)生影響 。 一 、 多元線性回歸模型的估計(jì) 多元線性回歸模型的矩陣形式為 Y=Xβ+μ 若滿足以下四條假設(shè)條件： E（ μ） =0 E（ μμ’） = ?2 In X是一個(gè)非隨機(jī)元素矩陣 Rank（ X） =k+1n 則 OLS估計(jì)量 =（ X’ X） 1X’ Y 為最佳線性無(wú)偏估計(jì)量 （ BLUE） 。 這樣 ， 一些定性因素對(duì)因變量的影響 ， 如不同時(shí)期 、 不同地區(qū) 、 不同季節(jié) 、 不同經(jīng)濟(jì)政策的影響等 ， 可放在一個(gè)模型中予以考慮 。 g為原假設(shè)中約束條件個(gè)數(shù) ， （ 對(duì)于涉及幾個(gè)參數(shù)的顯著性檢驗(yàn) ， g為原假設(shè)中為 0參數(shù)的個(gè)數(shù) ） 。 所得到的實(shí)際總支出的參數(shù)估計(jì)值 （ ） 是一個(gè)不受季節(jié)變動(dòng)影響的估計(jì)值 。 例 2：你在研究某省家庭收入和支出的關(guān)系 ， 采集的樣本中 既包括農(nóng)村家庭 ， 又包括城鎮(zhèn)家庭 ， 你打算研究二者 的差別 。 1,11,324342???????????????????????????????67 例： CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù) Y=AKα Lβ ν 試根據(jù)美國(guó)制造業(yè) 18991922年數(shù)據(jù)檢驗(yàn)規(guī)模效益不變的約束： α +β =1 解： （ 1） 全回歸 （ 2） 有約束回歸： 將 約束條件代入， 要回歸的模型變?yōu)椋? Y=AKα L1α ν 為避免回歸系數(shù)的不一致問題， 兩邊除以 L，模型變換為： Y/L=A(K/L)α ν 252)()()(: 2??????FSeRLKY68 回歸 ， 得： 由軟件包可得到約束回歸和全回歸的殘差平方和分別為 SR= S= （ 3） 檢驗(yàn) 原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 備擇假設(shè) H1:α +β ≠ 1 本例中 ， g=1, K=2, n=24 ,)()(:)/log ()/log (2 ????FRSeLKLY? ? ? ? )1( ???????KnSgSSF R69 用自由度 （ 1， 21） 查 F表 ， 5%顯著性水平下 ， Fc= ∵ F= Fc= 故接受原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 （ 4） 結(jié)論 我們的數(shù)據(jù)支持規(guī)模收益不變的假設(shè) 。 (2)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè)： H0： ? = 0 備擇假設(shè)： H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 仍采用對(duì)數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無(wú)法將 log(rtc)定義為一個(gè)可觀測(cè)的變量 X, 因?yàn)檫@里有一個(gè)未知量 c。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項(xiàng)相乘 ， 并且擾動(dòng)項(xiàng)也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對(duì)數(shù)線性化 。 解：我們有 22 RR 和37 ??????????????????????????????????64142165141153153813XY???????????????????????????????????????129812581551525155641421651411531646454251311111XX38 ???????????????????????????????????????109762053813646454251311111YX???????????????????????????????????????????????????????????????410976204/102/382/3110/45810/4510/2671097620129812581551525155)(?11YXXX?39 故回歸方程為： 32?XXY ??? 222?YnYYYnXYR?????? ? ? 41097620??????????????? ?XY? ? 1085381353813 ???????????????????YY40 805 53813522 ??????? ??????Yn ??? ??R )35()(41)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR41 例 2. 設(shè) n = 20, k = 3, R2 = 求 。 因而顯然有 是線性估計(jì)量 。 即觀測(cè)值的數(shù)目要大于待估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù) （ 要有足夠數(shù)量的數(shù)據(jù)來擬合回歸線 ） 。 因此 ， 有必要考慮線性模型的更一般形式 ， 即多元線性回歸模型： t=1,2,… ,n 在這個(gè)模型中 ， Y由 X1,X2,X3, … XK所解釋 ， 有 K+1個(gè)未知參數(shù) β 0、 β β … β K 。 nIuuE 2, )( ??? ????????????????????????????????22122212121212121..... ......... .......... .......... .......... ...... .......nnnnnnn uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuunIuuE 2)( ???10 （ 3） X 是 是一個(gè)非隨機(jī)元素矩陣 。 *? Yc?*?c ucXcuXcYc ????? ??? )(* ????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*? IXc ?I27 的方差為： 我們可將 寫成 從而將 的任意線性無(wú)偏估計(jì)量 與 OLS估計(jì)量 聯(lián)