【正文】 檢驗全部 “ 斜率 ” 系數(shù)均為 0的檢驗統(tǒng)計量為 F = = )1/(/)(???knSgSS R)1/(/)(???knSkSS R)1/()1(/22??? knRkR89 五 、 虛擬變量 我們應用虛擬變量的目的是將那些無法定量化的變量引入到模型中 。 2)()()(1)()(:)(???????RXQYt84 第四章 小結 本章將雙變量模型的結果推廣到了多元線性回歸模型的一般情形 。 例 3：你在研究通貨膨脹的決定因素 ， 在你的觀測期中 ， 有 些年份政府實行了一項收入政策 。 70 第六節(jié) 預測 我們用 OLS法對多元回歸模型的參數(shù)進行了估計之后 ， 如果結果理想 ， 則可用估計好的模型進行預測 。 結論： ?顯著異于 0。 也就是說 ， 此模型無法線性化 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對某商品的需求 X=收入 P=相對價格指數(shù) ν =擾動項 可轉(zhuǎn)換為： ?? ?? PXY ? ???? logloglogloglog ???? PXY46 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計上式 。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 ???? YXXX ??? ?? 1)(βY Yk??? XXXk ??? ? 1)(??26 現(xiàn)設 為 的任意一個線性無偏估計量 ， 即 其中 是一個 (K+1)*n非隨機元素矩陣 。 （ 6） 各解釋變量之間不存在嚴格的線性關系 。多元線性回歸模型 簡單線性回歸模型的推廣 1 第一節(jié) 多元線性回歸模型的概念 在許多實際問題中 ， 我們所研究的因變量的變動可能不僅與一個解釋變量有關 。 9 上述假設條件可用矩陣表示為以下四個條件： (1) E(u)=0 (2) 由于 顯然 ， 僅當 E(ui uj)=0 , i≠j E(ut2) = σ2, t=1,2,… ,n 這兩個條件成立時才成立 ， 因此 ， 此條件相當前面條件(2), (3)兩條 ， 即各期擾動項互不相關 ， 并具有常數(shù)方差 。 則 顯然 ， 若要 為無偏估計量 ， 即 ， 只有 ， 為 （ K+1） 階單位矩陣 。 我們有 若 n = 10， 則 = 若 n = 5， 則 = 由本例可看出 ， 有可能為負值 。 logX的系數(shù)是 β 的估計值 ， 經(jīng)濟含義是需求的收入彈性 ， logP的系數(shù)將是 γ 的估計值 ， 即需求的價格彈性 。 在這種情況下 ， 只能用估計非線性模型參數(shù)值的方法 。 58 2． 若干個系數(shù)的顯著性檢驗 （ 聯(lián)合假設檢驗 ） 有時需要同時檢驗若干個系數(shù)是否為 0， 這可以通過建立單一的原假設來進行 。 與雙變量模型的作法類似 ， 預測指的是對各自變量的某一組具體值 來預測與之相對應的因變量值 。 你想檢驗該政策是 否對通貨膨脹產(chǎn)生影響 。 一 、 多元線性回歸模型的估計 多元線性回歸模型的矩陣形式為 Y=Xβ+μ 若滿足以下四條假設條件： E（ μ） =0 E（ μμ’） = ?2 In X是一個非隨機元素矩陣 Rank（ X） =k+1n 則 OLS估計量 =（ X’ X） 1X’ Y 為最佳線性無偏估計量 （ BLUE） 。 這樣 ， 一些定性因素對因變量的影響 ， 如不同時期 、 不同地區(qū) 、 不同季節(jié) 、 不同經(jīng)濟政策的影響等 ， 可放在一個模型中予以考慮 。 g為原假設中約束條件個數(shù) ， （ 對于涉及幾個參數(shù)的顯著性檢驗 ， g為原假設中為 0參數(shù)的個數(shù) ） 。 所得到的實際總支出的參數(shù)估計值 （ ） 是一個不受季節(jié)變動影響的估計值 。 例 2：你在研究某省家庭收入和支出的關系 ， 采集的樣本中 既包括農(nóng)村家庭 ， 又包括城鎮(zhèn)家庭 ， 你打算研究二者 的差別 。 1,11,324342???????????????????????????????67 例： CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù) Y=AKα Lβ ν 試根據(jù)美國制造業(yè) 18991922年數(shù)據(jù)檢驗規(guī)模效益不變的約束： α +β =1 解： （ 1） 全回歸 （ 2） 有約束回歸： 將 約束條件代入， 要回歸的模型變?yōu)椋? Y=AKα L1α ν 為避免回歸系數(shù)的不一致問題， 兩邊除以 L，模型變換為： Y/L=A(K/L)α ν 252)()()(: 2??????FSeRLKY68 回歸 ， 得： 由軟件包可得到約束回歸和全回歸的殘差平方和分別為 SR= S= （ 3） 檢驗 原假設 H0:α +β ＝ 1 備擇假設 H1:α +β ≠ 1 本例中 ， g=1, K=2, n=24 ,)()(:)/log ()/log (2 ????FRSeLKLY? ? ? ? )1( ???????KnSgSSF R69 用自由度 （ 1， 21） 查 F表 ， 5%顯著性水平下 ， Fc= ∵ F= Fc= 故接受原假設 H0:α +β ＝ 1 （ 4） 結論 我們的數(shù)據(jù)支持規(guī)模收益不變的假設 。 (2)檢驗 ?的顯著性 原假設： H0： ? = 0 備擇假設： H1： ? ≠0 由回歸結果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設 H0 。 仍采用對數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無法將 log(rtc)定義為一個可觀測的變量 X, 因為這里有一個未知量 c。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項相乘 ， 并且擾動項也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對數(shù)線性化 。 解：我們有 22 RR 和37 ??????????????????????????????????64142165141153153813XY???????????????????????????????????????129812581551525155641421651411531646454251311111XX38 ???????????????????????????????????????109762053813646454251311111YX???????????????????????????????????????????????????????????????410976204/102/382/3110/45810/4510/2671097620129812581551525155)(?11YXXX?39 故回歸方程為： 32?XXY ??? 222?YnYYYnXYR?????? ? ? 41097620??????????????? ?XY? ? 1085381353813 ???????????????????YY40 805 53813522 ??????? ??????Yn ??? ??R )35()(41)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR41 例 2. 設 n = 20, k = 3, R2 = 求 。 因而顯然有 是線性估計量 。 即觀測值的數(shù)目要大于待估計的參數(shù)的個數(shù) （ 要有足夠數(shù)量的數(shù)據(jù)來擬合回歸線 ） 。 因此 ， 有必要考慮線性模型的更一般形式 ， 即多元線性回歸模型： t=1,2,… ,n 在這個模型中 ， Y由 X1,X2,X3, … XK所解釋 ， 有 K+1個未知參數(shù) β 0、 β β … β K 。 nIuuE 2, )( ??? ????????????????????????????????22122212121212121..... ......... .......... .......... .......... ...... .......nnnnnnn uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuunIuuE 2)( ???10 （ 3） X 是 是一個非隨機元素矩陣 。 *? Yc?*?c ucXcuXcYc ????? ??? )(* ????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*? IXc ?I27 的方差為： 我們可將 寫成 從而將 的任意線性無偏估計量 與 OLS估計量 聯(lián)