【正文】 ??KnSgSSF R? ?SSS R ?62 例：給定 20組 Y, X1, X2, X3的觀測值，試檢驗?zāi)Ｐ? 中 X1和 X3對 Y是否有影響？ 解：（ 1）全回歸 估計 得到： S =∑e2 = 25 （ 2） 有約束回歸 估計 得到： SR =∑e2 = 30 ttttt XXXY uββββ 3322110 ?????ttt XY uββ 220 ???63 原假設(shè) H0: β 1 = β 3 = 0 備擇假設(shè) H1: H0不成立 我們有： n=20, g=2, K=3 用自由度（ 2， 16）查 F分布表， 5%顯著性水平下， FC= ∵ F= FC =, 故接受 H0。 ? ? 2k110 β?...β?β?? ????? Kttt XXYS61 所使用的檢驗統(tǒng)計量是： ～ F(g, nK1) 其中 ， g為分子自由度 ， nK1為分母自由度 。 若 H1為真 ， 正確的模型即原模型： tKtKtt XXY uβ...ββ 110 ?????tKtKtggt XXY uβ...ββ 110 ????? ??? ? 2110 β?...β?β?? ????? ?? KtRktgRgRtR XXYS60 據(jù)此進(jìn)行無約束回歸 （ 全回歸 ） ， 得到殘差平方和 S是 H1為真時的殘差平方和 。 不失一般性 ，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對 Y有 影響 ) 59 分析： 這實際上相當(dāng)于檢驗 g個約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時成立 。 58 2． 若干個系數(shù)的顯著性檢驗 （ 聯(lián)合假設(shè)檢驗 ） 有時需要同時檢驗若干個系數(shù)是否為 0， 這可以通過建立單一的原假設(shè)來進(jìn)行 。 (2)檢驗 ?的顯著性 原假設(shè)： H0： ? = 0 備擇假設(shè)： H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 解： (1)檢驗 ?的顯著性 原假設(shè)： H0： ? = 0 備擇假設(shè)： H1： ? ≠0 ??? logloglogloglog ???? LKAY57 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ 用 ?=24－ 3＝ 21查 t表， 5%顯著性水平下， tc ＝ . ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 原假設(shè)： H0： β j=0 備擇假設(shè)： H1： β j≠0 檢驗統(tǒng)計量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計量： ～ t(nK1) )?(?)?(?jjjj????VarSet ??55 單個系數(shù)顯著性檢驗的檢驗統(tǒng)計量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計量： ～ t(nK1) 其中 ， 為矩陣 主對角線上第 j+1個元素 。 8．最后的參數(shù)估計值即為最小二乘估計值。 3．計算各期殘差，然后計算殘差平方和 ∑e2。 計量經(jīng)濟(jì)軟件包通常提供這類方法 ， 這里給出有關(guān)非線性回歸方法的大致步驟如下： 53 非線性回歸方法的步驟 1． 首先給出各參數(shù)的初始估計值 （ 合理猜測值 ） 。 此模型無法用取對數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計 ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。 在這種情況下 ， 只能用估計非線性模型參數(shù)值的方法 。 仍采用對數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無法將 log(rtc)定義為一個可觀測的變量 X, 因為這里有一個未知量 c。 我們假定這個利率水平為 2%。 21 ?,? ?? 21???)?log ( ???ba21 ?? ?? 和a?b?51 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時 ， 我們實際上給模型加進(jìn)了一個結(jié)束條件 。 ??? LAKQ ? ??? logloglogloglog ???? LKAY )()()( 2 ????? RLKY49 例 3． 貨幣需求量與利率之間的關(guān)系 M r = 2 rM= a ( r 2)b( a 0, b0) M = a(r 2)b 這里 ， 變量非線性和參數(shù)非線性并存 。 )()()( 2 ???? RPXY48 例 2． 柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù)是一個生產(chǎn)過程中的投入及其產(chǎn)出之間的一種關(guān)系 。 1中 ， 我們曾給出一個食品支出為因變量 ， 個人可支配收入和食品價格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子 。 需求的價格彈性：價格變化 1%， 收入不變時 ， 所引起的商品需求量變動的百分比 。 logX的系數(shù)是 β 的估計值 ， 經(jīng)濟(jì)含義是需求的收入彈性 ， logP的系數(shù)將是 γ 的估計值 ， 即需求的價格彈性 。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項相乘 ， 并且擾動項也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對數(shù)線性化 。 如果原方程的擾動項滿足高斯 — 馬爾可夫定理條件 ， 重寫的方程的擾動項也將滿足 。 ......22110 ???? XXY ???44 二 ． 線性化方法 對于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因為變量的非線性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決 。 線性模型的線性包含兩重含義： （ 1） 變量的線性 變量以其原型出現(xiàn)在模型之中 ， 而不是以 X2或 Xβ 之 類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中 。 下面我們通過一些例子來討論這個問題 。 如大家所熟悉的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) : 就是一例 。 2R)420( )(191)1( )1)(1(122 ????????????knRnR2R2 10 2 ?? R2R242 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計問題 。 我們有 若 n = 10， 則 = 若 n = 5， 則 = 由本例可看出 ， 有可能為負(fù)值 。 解：我們有 22 RR 和37 ??????????????????????????????????64142165141153153813XY???????????????????????????????????????129812581551525155641421651411531646454251311111XX38 ???????????????????????????????????????109762053813646454251311111YX???????????????????????????????????????????????????????????????410976204/102/382/3110/45810/4510/2671097620129812581551525155)(?11YXXX?39 故回歸方程為： 32?XXY ??? 222?YnYYYnXYR?????? ? ? 41097620??????????????? ?XY? ? 1085381353813 ???????????????????YY40 805 53813522 ??????? ??????Yn ??? ??R )35()(41)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR41 例 2. 設(shè) n = 20, k = 3, R2 = 求 。 （ 4） 可能出現(xiàn)負(fù)值。 我們有：（ 1） （ 2）僅當(dāng) K=0時，等號成立。 因此 ， 用 R2 來作為擬合優(yōu)度的測度 ， 不是十分令人滿意的 。 ? ??????222 1YYeR? ?? ??? ????? 222YYeYY22 )?(YnYYXYYYYnYY??????????22?YnYYYnXY??????34 二 ． 修正決定系數(shù)： 殘差平方和的一個特點是 ， 每當(dāng)模型增加一個解釋變量 ，并用改變后的模型重新進(jìn)行估計 ， 殘差平方和的值會減小 。 至此 ， 我們證明了高斯 馬爾科夫定理 。 *? cccuVarcucVarucXcVarVar?????????2*)()()()(???DXXXc ???? ? 1)(c ??? *?28 由 可推出： 即 因而有 由 從而 ， 因此上式中間兩項為 0， 我們有 IXc ? IXDXXXX ???? ? 1)( IXDI ?? 0?XD? ?? ?? ?? ?DDXXXDDXXXXXXXXXDXXXDXXXDXXXDXXXcc????????????????????????????????????11111111)()()()()()()()(0?XD 0???DX DDXXcc ????? ? 1)(29 因此 最后的不等號成立是因為 為半正定矩陣 。 則 顯然