【正文】 主對(duì)角線上第 j+1個(gè)元素 ， 而 n和 k分別是觀測(cè)值數(shù)目和解釋變量的個(gè)數(shù) 。 ?β?j?? 85 二 、 擬合優(yōu)度 多元線性回歸模型的決定系數(shù)為： R2 = 由于當(dāng)模型增加解釋變量后 ， 殘差平方和的值會(huì)減小 ， 為了使擬合優(yōu)度的測(cè)度反映這一特點(diǎn) ， 可采用經(jīng)過(guò)自由度調(diào)整的決定系數(shù) ， 即修正決定系數(shù) ： 222239。 例：設(shè) Y=購(gòu)買汽車的實(shí)際支出額 X=實(shí)際總消費(fèi)支出 用美國(guó) 1973（ 1） 1980(2)的季度數(shù)據(jù) （ 按 1975年價(jià)格計(jì)算 ） ， 得回歸結(jié)果如下： )()(:)( 2????tRXY82 這一結(jié)果很不理想 ， 低 R2值 ， 低 t值 ， X的符號(hào)也不對(duì) 。 另一種方法是用全部觀測(cè)值作單一回歸 ， 將定性因素的影響用虛擬變量引入模型 。 這種變量在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為 “ 虛擬變量 ” 。 點(diǎn)預(yù)測(cè)值由與給定的諸 X值對(duì)應(yīng)的回歸值給出 ， 即 而預(yù)測(cè)期的實(shí)際 Y值由下式給出： 其中 u0是從預(yù)測(cè)期的擾動(dòng)項(xiàng)分布中所取的值 。 注意到 g=K， 則該檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： ? ?? 2)( YYS R ?????????????? 22t)(eYYYu t 時(shí)，模型為 ?? ? ?)1()()1()(222??????????? ?KneKeYYKnSKSSF R65 分子分母均除以 ， 有 從上式不難看出 ， 全部斜率為 0的檢驗(yàn)實(shí)際是檢驗(yàn) R2的值是否顯著異于 0， 如果接受原假設(shè) ， 則表明因變量的行為完全歸因于隨機(jī)變化 。 不失一般性 ，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對(duì) Y有 影響 ) 59 分析： 這實(shí)際上相當(dāng)于檢驗(yàn) g個(gè)約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時(shí)成立 。 原假設(shè)： H0： β j=0 備擇假設(shè)： H1： β j≠0 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nK1) )?(?)?(?jjjj????VarSet ??55 單個(gè)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nK1) 其中 ， 為矩陣 主對(duì)角線上第 j+1個(gè)元素 。 此模型無(wú)法用取對(duì)數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。 21 ?,? ?? 21???)?log ( ???ba21 ?? ?? 和a?b?51 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時(shí) ， 我們實(shí)際上給模型加進(jìn)了一個(gè)結(jié)束條件 。 需求的價(jià)格彈性：價(jià)格變化 1%， 收入不變時(shí) ， 所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 ......22110 ???? XXY ???44 二 ． 線性化方法 對(duì)于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過(guò)適當(dāng)?shù)闹匦露x來(lái)解決 。 2R)420( )(191)1( )1)(1(122 ????????????knRnR2R2 10 2 ?? R2R242 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計(jì)問(wèn)題 。 我們有：（ 1） （ 2）僅當(dāng) K=0時(shí)，等號(hào)成立。 *? cccuVarcucVarucXcVarVar?????????2*)()()()(???DXXXc ???? ? 1)(c ??? *?28 由 可推出： 即 因而有 由 從而 ， 因此上式中間兩項(xiàng)為 0， 我們有 IXc ? IXDXXXX ???? ? 1)( IXDI ?? 0?XD? ?? ?? ?? ?DDXXXDDXXXXXXXXXDXXXDXXXDXXXDXXXcc????????????????????????????????????11111111)()()()()()()()(0?XD 0???DX DDXXcc ????? ? 1)(29 因此 最后的不等號(hào)成立是因?yàn)? 為半正定矩陣 。 ?β??????????????????????????????????????????????????????????????????KKK EEEEβ...ββ)β(..... .)β()β(β...ββ101010β)u()(β)β( 1????? ??EXXXE20 2． 的方差 為求 Var( )， 我們考慮 這是一個(gè) （ K+1） *(K+1)矩陣 ， 其主對(duì)角線上元素即構(gòu)成 Var( )， 非主對(duì)角線元素是相應(yīng)的協(xié)方差 ， 如下所示： ?β?β?β ???????? ??????? ??????? ? ?? ββββE21 ??????????????????????????????)β(...)β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(1011010100KKKKKVarCovCovCovVarCovCovCovVar 下面推導(dǎo)此矩陣的計(jì)算公式 . ????????????????????????????????????????????????KKKKE ββ...ββββββ...ββββ1100110022 由上一段的結(jié)果 ， 我們有 因此 ， uXXX ???? ?? 1)(ββ ? ? ? ? ? ? 11 uu ?? ????? XXXEXXX ? ? ? ?? ?11 ?? ????? XXXuuXXXE ? ?? ? ? ?? ?? ????????????? ??????? ??????? ? ???? uuββββ 11 XXXXXXEE? ? ? ? 121 ?? ??? XXXIXX n?? ? ? ? 211 ??? ???? XXXXXX? ? 21 ???? X23 如前所述 ， 我們得到的實(shí)際上不僅是 的方差 ， 而且是 一個(gè)方差 協(xié)方差矩陣 ， 為了反映這一事實(shí) ， 我們用下面的符號(hào)表示之： 展開(kāi)就是： 21)()β( ??? ??? XXCovVar?β211011010100)()β()β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(?????????????????????????????????XXVarCovCovCovVarCovCovCovVarKKKKK24 3． ?2 的估計(jì) 與雙變量線性模型相似 ， ?2的無(wú)偏估計(jì)量是 這是因?yàn)槲覀冊(cè)诠烙?jì) 的過(guò)程中 ， 失去了（ K+1） 個(gè)自由度 。 （ 4） Rank(X) = (K+1) n. 相當(dāng)于前面 (5)、 (6) 兩條 即矩陣 X的秩 =（ K+1) n 當(dāng)然，為了后面區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的需要，還要加 上一條： （ 5） ～ ， t=1,2,… n ),0( 2?Ntu11 二 ． 最小二乘估計(jì) 我們的模型是： t=1,2,… n 問(wèn)題是選擇 ， 使得殘差平方和最小 。 當(dāng)然 ， 計(jì)算要復(fù)雜得多 ， 通常要借助計(jì)算機(jī) 。 這里 ， “ 斜率 ” β j的含義是 其它變量不變的情況下 ， Xj改變一個(gè)單位對(duì)因變量所產(chǎn)生的影響 。 這是收入對(duì)消費(fèi)額的直接影響 。 一 ． 假設(shè)條件 （ 1） E(ut)=0, t=1,2,… ,n （ 2） E(ui uj)=0, i≠j （ 3） E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n （ 4） Xjt是非隨機(jī)量， j=1,2, … k t=1,2, … n 8 除上面 4條外 ， 在多個(gè)解釋變量的情況下 ， 還有兩個(gè)條件需要滿足： （ 5） （ K+1） n。XY 即 YXXX 39。 由 OLS估計(jì)量 的公式 可知 , 可表示為一個(gè)矩陣和應(yīng)變量觀測(cè)值向量 的乘積： 其中 是一個(gè) (K+1)*n 非隨機(jī)元素矩陣 。 ? ?)?()?()()(*)(2212122????????VarDDVarDDXXDDXXccVar????????????????DD ???30 第三節(jié) 擬合優(yōu)度 一 ． 決定系數(shù) R2 對(duì)于雙變量線性模型 Y=α +β X + u 我們有 其中 ， =殘差平方和 ? ?????? 222 1YYeR? 2e31 對(duì)于多元線性模型 我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)： 為方便計(jì)算 ， 我們也可以用矩陣形式表示 R2 uXXY KK ????? ??? ...110? ?TSSRSSTSSE