【正文】 對(duì)數(shù)線性模型的優(yōu)點(diǎn)和規(guī)則。 2?2?2? 在 式 （ ） 中，取 LnY 對(duì) LnX 的對(duì)數(shù)可得 的相對(duì)變化的相對(duì)變化XYXdXYdYd L n Xd L n Y???2?（ ） 由于在線性回歸模型中， 是一個(gè)常數(shù)，因此，對(duì)數(shù)線性模型假定 Y 與 X 之間的彈性系數(shù) 在整個(gè)研究范圍內(nèi)保持不變，所以稱為不變彈性模型。模型中 X 代表價(jià)格， Y 代表需求量，預(yù)期價(jià)格彈性 0。239。 ii L n XX ?39。該模型可稱為對(duì)數(shù) — 對(duì)數(shù)線性模型，簡(jiǎn)稱為對(duì)數(shù)線性模型。 對(duì)式 ()取對(duì)數(shù)可得 iii uL n XLnL n Y ??? 21 ??（ ） 式（ ）中 Ｌ n表示以 e (e＝ )為底的自然對(duì)數(shù)。 在此，我們主要討論如下四種形式的回歸模型 。 第四節(jié) 回歸模型的函數(shù)形式 在前面所用的回歸分析中，除工資模型外，被解釋變量與解釋變量的關(guān)系均為線性關(guān)系，即被解釋變量對(duì)解釋變量的一階導(dǎo)數(shù)均為常數(shù)。 3．總體顯著檢驗(yàn) — F檢驗(yàn) 式（ ）中已給出 F＝ ，已知 k＝ 4， n＝ 22，自由度為 k1＝ 3和 nk＝ 18，取顯著水平 =，查 F分布表可知 (3, 18)＝ ， F (3, 18)， 因此拒絕原假設(shè) , 接受備擇假設(shè) 不全為 0， j＝ 2, 3, …, k。人均 GDP每增加 100美元，人口平均壽命增加 年；成人識(shí)字率每增加 1個(gè)百分點(diǎn)，人口平均壽命增加 ；一歲兒童疫苗接種率增加 1個(gè)百分點(diǎn)，人口平均壽命增加 。 人口壽命回歸模型評(píng)價(jià) 2．偏回歸系數(shù)的檢驗(yàn) 式（ ）樣本回歸模型中，自由度為22－ 4＝ 18，取顯著性水平 時(shí)， 。 表 亞洲各國(guó)（地區(qū)）人的發(fā)展指標(biāo)（ 1992年） 國(guó)家和地區(qū) 平均壽命 Y（年） 按購(gòu)買力平價(jià)計(jì)算的人均GDP X2（ 100美元） 成人識(shí)字率 X3（ %） 一歲兒童疫苗 接種率 X4（ %） 1．中國(guó)（大陸） 2．中國(guó)香港 3．韓國(guó) 4．新加坡 5．泰國(guó) 6．馬來西亞 7．斯里蘭卡 8．日本 9．菲律賓 10．朝鮮 70 77 70 74 69 70 71 79 65 71 29 185 83 147 53 74 27 194 24 18 80 90 97 92 94 80 89 99 90 95 94 79 83 90 86 90 88 99 92 96 國(guó)家和地區(qū) 平均壽命 Y（年） 按購(gòu)買力平價(jià) 計(jì)算的人均 GDP X2（ 100美元） 成人識(shí)字率 X3（ %） 一歲兒童疫苗 接種率 X4（ %） 11．蒙古 12．印度尼西亞 13．越南 14．緬甸 15．巴基斯坦 16．老撾 17．印度 18．孟加拉國(guó) 19．柬埔寨 20．尼泊爾 21．不丹 22．阿富汗 63 62 63 57 58 50 60 52 50 53 48 43 13 27 13 7 20 18 12 12 13 11 6 7 89 84 89 81 36 55 50 37 38 27 41 32 90 92 90 74 81 36 90 69 37 73 85 35 續(xù)表 要研究人口壽命問題，可將模型設(shè)定為 uXXXY ????? 4433221 ????（ ） 式（ ）中， Y＝人均壽命（年）， X2＝人均 GDP（ 100美元）， X3＝成人識(shí)字率 (%)， X4＝一歲兒童疫苗接種率（ %）。 【 例 】 人口壽命回歸模型 表 1992年亞洲各國(guó) 人均壽命 Y，按購(gòu)買力平價(jià)計(jì)算的人均 GDPX2，成人識(shí)字率 X3(%)和一歲 兒童疫苗接種率X4(%)。 【 例 】 在例 R2＝ ， n＝ 526，k＝ 4 則 388 )4526/()316 ( )14/(316 ??? ??F 給定顯著性水平 ，第 1自由度k1＝ 3第 2自由度 nk＝ 522，查 F分布 表可得 (3, 522)＝ %5?? F＝ (3, 522) = 。 R2＝ 1時(shí)， F 無窮大。 （ 4）判斷 可以證明 F 統(tǒng)計(jì)量 與判定 系數(shù) R2 的關(guān)系如下： )/()1()1/(22knRkRF???? （ ） 式（ ） 表明， F 統(tǒng)計(jì)量 與 R2是同向變化的。 ?),1( knkF ??? 如果 ，則拒絕 H0，接受備擇假設(shè) H1。利用 F分布 ，在給定顯著性水平 下，查 Ｆ 分布表 可得 ，如果 ，我們就拒絕 H0，如果 就不拒絕 H0。 0: 320 ???? kH ??? ? 如果原假設(shè) 是虛假的，則表明 Y 與 X2， X3， … ， Xk整體上有線性關(guān)系， X2， X3， … ， Xk對(duì)Y 有顯著影響，則解釋平方和 ESS要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于殘差平方和 RSS，從而得到一個(gè)較大的 F 統(tǒng)計(jì)量 。而在多元回歸模型中，可以證明，對(duì)偏回歸系數(shù)的逐一顯著性檢驗(yàn)并不能代替對(duì)回歸模型的整體顯著性檢驗(yàn)。在整體顯著性檢驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的備擇假設(shè)為 和 不同時(shí)為0。 例如，對(duì)于二元回歸模型 iiii uXXY ???? 33221 ???（ ） 若原假設(shè) 成立，則表明 Y 與 X2, X3沒有線性關(guān)系， X2, X3對(duì) Y 都沒有顯著的線性影響。 二、回歸模型的整體顯著性檢驗(yàn) — F檢驗(yàn) 多元回歸模型的總體顯著性就是對(duì)原假設(shè) 0: 320 ???? kH ??? ? （ ） 進(jìn)行檢驗(yàn)。 這就意味著模型中的三個(gè)解釋變量：受教 育 年限、工齡和現(xiàn)任職務(wù)的任期對(duì)被解釋變量 — 工資都有顯著的影響。模型中參數(shù)的 t統(tǒng)計(jì)量均大于臨界值 (522)＝ ，每一個(gè)估計(jì)的偏回歸系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)上顯著的，即顯著地異于 0。 【 例 】 工資回歸模型 例 Ln(Y)＝ + + + () () () () R2＝ n＝ 526 （ ） 式（ ）中， Y＝工資， X2＝受教育年限， X3 ＝ 工齡， X4＝現(xiàn)任職務(wù)的任期。因此，將一個(gè)原假設(shè)表達(dá)成“ H0 : ＝ 0 ” ，或者在樣本中的參數(shù)估計(jì)值是“ H0 : ＝ 0” ，都是毫無意義的，我們要檢驗(yàn)的是未知總體參數(shù) 是否為 0。 的值充分遠(yuǎn)離 0將導(dǎo)致拒絕原假設(shè) ，拒絕的標(biāo)準(zhǔn)決定于所選擇的顯著性水平 。 0:0 ?jH ?j? j?j?? j??j??00 ?j:H ? 由于在估計(jì) 中存在抽樣誤差，所以 的大小就必須由其抽樣誤差來衡量，即由 的標(biāo)準(zhǔn)誤 來衡量。 0?)?(Se j?)?(Se j?jt??jt??j??j?? 我們要檢驗(yàn)的是原假設(shè) ，因?yàn)? 不可測(cè)，我們只能用 的無偏估計(jì)量 來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。 j?? )?(Se j? 在式（ ）中， ，所以 與 的符號(hào)相同。 j?)?(??jjSetj ????（ ） 給定 和標(biāo)準(zhǔn)誤 ，該 t 統(tǒng)計(jì)量 就很容易獲得。 020 ??:H02 ?? 在經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析中，備擇假設(shè)通常設(shè)定為 0:1 ?jH ?（ ） 式（ ）表示 Xj 對(duì) Y 有顯著影響， 可正可負(fù)。這個(gè)假設(shè)價(jià)值很大，如果它是正確的，那么就是說個(gè)人在任現(xiàn)職之前的工作經(jīng)驗(yàn)不會(huì)影響他的工資水平。例如，工資模型中： iiii uEPEW ???? 321 ???（ ） 其中， Wi＝工資， Ei＝受教育水平， EPi＝工作經(jīng)驗(yàn)。 是第 j 個(gè)變量的偏回歸系數(shù)，度量了在所有其它解釋變量不變的條件下， Xj 對(duì) Y的影響；即 Xj 變化一個(gè)單位，對(duì) Y的期望值的影響。 j??j??j?j?)?(Se j? 在經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析中，我們最關(guān)心的是解釋變量 Xj 是否與被解釋變量 Y 線性相關(guān)。 j?j?j?可以證明，在 ui 服從正態(tài)分布及經(jīng)典假定條件下， )?(?jjjSet??? ??（ ） 服從自由度為 n－ k的 t 分布 。我們知道， 是總體參數(shù)，是未知數(shù)，總體信息未知時(shí)， 是不可測(cè)的。 第三節(jié) 多元線性回歸模型的檢驗(yàn) 一、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) — t 檢驗(yàn) 回歸分析的目的不僅僅是得到 的估計(jì)值 ，而同時(shí)要對(duì)總體回歸函數(shù)中的每個(gè) 的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。但是，這一定理是依賴于經(jīng)典假定條件的，如果經(jīng)典假定中的條件不成立，這個(gè)定理也就不再成立。也就是說，如果存在一個(gè)好的線性無偏估計(jì)量，這個(gè)估計(jì)量的方差最多與普通最小二乘估計(jì)量的方差一樣小，不會(huì)小于普通最小二乘估計(jì)量的方差。就是說，在一群線性無偏估計(jì)量中，普通最小二乘估計(jì)量的方差最小。給定兩個(gè)估計(jì)量，無疑是方差小的估計(jì)量?jī)?yōu)于方差大的估計(jì)量?？梢宰C明， 式（ ）是成立的。 j?? j?j??jjE ?? ?)?( 線性一詞的含義是指 是被解釋變量的線性函數(shù)。就是說，普通最小二乘估計(jì)量 ，是所有線性無偏估計(jì)量中方差最小的。高斯 — 馬爾可夫定理對(duì)此給予了精辟的闡述。該估計(jì)值在 EViews 回歸分析軟件包的輸出中直接給出，表示為 SER。 2?? 2? 可以證明，式（ ）給出的 的估計(jì)量 是 的無偏估計(jì)量。 )?(V a r 2?022 ?R222 SST/)?(V a r ?? ?2?將 開方，則得 的標(biāo)準(zhǔn)誤： )?( jVar ? j??)1()?(22jjjRSSTSe????（ ） （三） 的估計(jì)量 2? 由于干擾項(xiàng) ui 不可觀測(cè)，因此必須據(jù)樣本結(jié)果估計(jì) 。如果 X2與 X3， X4無關(guān)，則無論 X3與 X4如何相關(guān)，都有 和 。 另外，在多元回歸模型中，某些解釋變量之間的高度相關(guān)不影響模型中其它參數(shù)的估計(jì)方差。在所有其它條件都不變的 情況下，就估計(jì) 來說， Xj 與其它解釋變量之間關(guān)聯(lián)程度越低越好。也就是 Xj 與其它解釋變量之間的線性關(guān)聯(lián)程度，關(guān)聯(lián)程度越高，方差就越大；關(guān)聯(lián)程度越小，方差就越小。因此， X2與 X3之間的線性關(guān)系越密切，斜率系數(shù)的普通最小二乘估計(jì)量的方差就越大。 22R 由于 R2度量了擬合優(yōu)度，所以當(dāng) 接近于 1時(shí)，則表明在這個(gè)樣本中， X3解釋了 X2的大部分變動(dòng)，就是說 X2與 X3高度相關(guān)。這里的 與 Y 無關(guān)，它只涉及到原模型中的 解釋變量 X2, X3, …, Xk，其中 Xj 作為被解釋變量 ，其它解釋變量作為解釋變量。 j?j??)?(V ar j? ３．