【正文】 。 如果用自由度去校正所計算的變差平方和 ， 就可以克服因為解釋變量個數(shù)不同而引起的判定系數(shù)對比的困難 。 2222222222 1?)()(iiiiiiiiiyeyeyyyYYYYT S SE S SR?????????????????? ?10 2 ?? R 2R 2ie?回歸平方和分解 用式： 減式： 得： 由于 于是 因此 kikiii XXXY ???? ????? 22110 ????? ?kk XXXY ???? ???? 22110 ????? ?kikiikkikiiiixxxXXXXXXYYy?????????)(?)(?)(???2211222111??????????????kikiiiiiiiiiiiixxxyyyYYyYYYYYYe??? ????)(2211 ???????????????????ikikiiiiiikikiiiiikikiiiiiyxyxyxyyxxxyyexxxyee????????????????????????????????????)???()???(12112221122112????ikikiiiiiii yxyxyxeyy ??????????? ? ??? ???? 12211222 ? 在多元回歸中 R2是模型中解釋變量個數(shù)的非減函數(shù)，也就是說，隨著模型中解釋變量個數(shù)的增加， 的值通常都會變大。度量變量影響以其標準差作為單位。 為此，在比較被解釋變量對各個解釋變量的敏感性時，可以將偏回歸系數(shù)轉換為 Beta系數(shù) ，其 定義 如下： kjyxss jjYXjjj,2,1 ??? 22??????? ???3. 標準化系數(shù) (Beta系數(shù) ) 特別的 對二元回歸模型： 兩邊減去 得到： 變形： 進行變量的標準化變換， 因為 所以 則 iXiXXiXYiY SXXSSXXSSYYS ??? ???????2211222?111?iiii eXXY ???? 22110 ??? ???iiiii eXXXXYY ?????? )(?)(? 222111 ??22110 ??? XXY ??? ???iXiYXXiYXYi S XXSSS XXSSS YY ??? ????????2211 222111 ??11111*1XiXii SxS XXX ???2212*22 XiXii SxS XXX ???YiYii SyS YYY ???*iiii eXXY ???? *2*2*1*1* ?? ??22111*1 ???1yxSS iYX???? ??? 22222*2 ???2yxSS iYX???? ???，我們就說把這個變量標準化了。 特別地，對二元回歸模型而言： ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? 22122221222221122221121122? ? ?? ???? ?? ? ? ???????????? xxxx xXXXXXXXX XXiiiiiiiiiiV a r1,12)?( ??? jjj CV a r ?? 1,1)?( ??? jji CSE ?? 1,12)?,?( ??? jiji CC o v ???jiC 1X)X( ??? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? 22122221212221122221122221? ? ?? ???? ?? ? ? ???????????? xxxx xXXXXXXXX XXiiiiiiiiiiV a ri??1．參數(shù)的估計誤差 可證明 22 )1()( ????? kneEi2)1( ???? knEee39。 在實際做計量經濟分析時 ， 很多經濟變量雖然不存在完全的線性關系 ， 卻通常都存在一定的相關性 ，不一定滿足多重共線性的假定 ， 模型的估計可能會受到影響 。 假定 9：解釋變量之間不存在完全共線性 ， 沒有精確的線性 關系 。 cov(ui,uj)=0， (i≠j。 這意味著隨機擾動項和 每個 X變量之間的協(xié)方差為 0。 注意： 總體線性回歸函數(shù) 把被解釋變量 Yi的總體條件期望與解釋變量 X1，X2， … ， Xk存在的線性關系式 : E（ Y/ X1i， X2i… ， Xki） = 稱為 K元線性總體回歸函數(shù)。 ui為隨機擾動項，因此，對應于解釋變量的每一組觀察值（ X1i， X2i… ， Xki），被解釋變量 Yi的值是隨機的。 因此 ， 需要建立包含兩個及以上解釋變量的多元回歸模型 。 ? 即使我們的分析目的是考察某一個因素對被解釋變量的影響 ，但為了得到該因素對被解釋變量的 “ 凈影響 ” ， 也需要將其他影響因素作為 “ 控制變量 ” ， 使其以顯性形式出現(xiàn)在模型中 ， 以提高模型估計精度 。 ikikiii uXXXY ????? ???? ?22110一、總體線性回歸模型 其中 : 為截距項，代表排除在模型之外的所有因素對被解釋變量 Y的平均影響； （ j=1,2… k）為偏回歸系數(shù)，反映了在其它解釋變量保持不變的情況下，解釋變量 Xj變化一個單位時，對被解釋變量 Y的影響程度。 這個獨特性質使多元回歸中不但能夠引入多個解釋變量 ， 而且能夠 “ 分離 ” 出每個解釋變量對被解釋變量的影響 。 假定 2： X值固定或獨立于誤差項 。 i =1,2,… ,n 22 )()( ??? ?? ii EV a r三、多元線性回歸模型的基本假定 假定 5：無自相關假定 ， 干擾項之間無自相關或序列相關 。 三、多元線性回歸模型的基本假定 另外兩個要求 假定 8：無設定偏誤 ， 模型被正確地設定 。 如果解釋變量之間存在完全多重共線性 ， 會造成數(shù)據觀測矩陣 X非列滿秩 ， 模型參數(shù)將無法估計 。 221100 )?(E,)?E(,)?(E ?????? ???三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質 ????????????? ? ? ?? ? ?22i1i22i21i2i1i2121i2222i2120 )xx(xxxxXX2xXxXn1?)?(v a r ??? ? ?? ? ??????)r1(x?xxxxx?)?(va r21222i222i1i22i21i21i22???? ? ?? ? ??????)r1(x?xxxxx?)?(va r21221i222i1i22i21i22i21???第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計 一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計 二、最小二乘估計量的數(shù)值性質 三、最小二乘估計量的統(tǒng)計性質 四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間 四、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間 根據矩陣相等的意義，矩陣相等即對應位置的元素相等，回歸參數(shù)估計量 的方差、標準差，協(xié)方差 其中 為矩陣 中第 i行和第 j列元素。 由于偏回歸系數(shù)都是與變量的原有單位有直接的聯(lián)系，計量單位不同，彼此不能直接比較計量單位不同的解釋變量對被解釋變量的影響大小。 Beta系數(shù)可解釋為，如果標準化回歸元增加一個單位的 標準差 ，則標準化回歸子平均增加 單位個 標準差 。 注意： 本章要點 多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的概念 多元線性回歸模型的參數(shù)估計 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 非線性回歸模型 第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 重點： t檢驗與模型整體顯著性 F檢驗的關系 3. F檢驗與擬合優(yōu)度之間的關系 第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗 二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗 三、模型總體線性顯著性檢驗 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗 設估計的多元樣本線性回歸函數(shù)為 則帶殘差項的多元樣本線性回歸模型為 則 kikiii XXXY ???? ?????? ?22110 ???ikikiii eXXXY ?????? ???? ?22110 ???iii eYY ??? YeYYYiii ?????1．總離差平方和分解 總離差平方和 iiii eYYeYY )(2)(22 ??????? ?? ?021 ????????? iikiiiii eXeXeXe ?由最小二乘法知 iiiii eYeYeYY ???????? )(0????22110?????????????iikkiiiiiiieXeXeXeeY???? ?因此 222 )?()( iii eYYYY ???????222 )()()(iiiii eYYYeYYY ????????????回歸平方和與殘差平方和 222 ?iii yey ?????記成 TSS = RSS + ESS 22 )( YYyT S S ii ?????22 )?(? YYyE S S i ???? ?? ???? 22 ? ）（ iii YYeR S S總離差平方和 回歸平方和 殘差平方和 2．判定系數(shù) 用回歸平方和 （ ESS） 占總平方和 （ TSS） 的比重作為衡量模型對樣本擬合優(yōu)度的指標 ， 稱為 多元判定系數(shù) ，用符號 R2表示： 顯然 ， ， 并且當 越接近于 1時 ， 越接近于0；因此 ， R2的值越接近 1， 則表明模型對樣本數(shù)據的擬合優(yōu)度越高 。 注意： : 在一元回歸中判定系數(shù)為 由于 于是 21222122212221222?????iiiiiiiii yxyyxxxyyxyxyyR??????????????????? ????ikikiiiiiii yxyxyxeyy ??????????? ? ??? ???? 12211222 ?2112??iikikiiyyxyxR?????? ?? ?校正的辦法 將 中的第二項乘一個不小于 1的因子 ， 若方程中解釋變量個數(shù) k大 ， 所乘因子也大；在樣本容量一定的情況下 ， 由于 RSS的自由度 nk1隨著解釋變量個數(shù) k的增大而減少 。 R2 K變量個數(shù) K變量個數(shù) 2R 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有 : 赤池信息準則 （ Akaike information criterion, AI