【正文】 。 如果用自由度去校正所計(jì)算的變差平方和 ， 就可以克服因?yàn)榻忉屪兞總€(gè)數(shù)不同而引起的判定系數(shù)對(duì)比的困難 。 2222222222 1?)()(iiiiiiiiiyeyeyyyYYYYT S SE S SR?????????????????? ?10 2 ?? R 2R 2ie?回歸平方和分解 用式： 減式： 得： 由于 于是 因此 kikiii XXXY ???? ????? 22110 ????? ?kk XXXY ???? ???? 22110 ????? ?kikiikkikiiiixxxXXXXXXYYy?????????)(?)(?)(???2211222111??????????????kikiiiiiiiiiiiixxxyyyYYyYYYYYYe??? ????)(2211 ???????????????????ikikiiiiiikikiiiiikikiiiiiyxyxyxyyxxxyyexxxyee????????????????????????????????????)???()???(12112221122112????ikikiiiiiii yxyxyxeyy ??????????? ? ??? ???? 12211222 ? 在多元回歸中 R2是模型中解釋變量個(gè)數(shù)的非減函數(shù)，也就是說(shuō)，隨著模型中解釋變量個(gè)數(shù)的增加， 的值通常都會(huì)變大。度量變量影響以其標(biāo)準(zhǔn)差作為單位。 為此，在比較被解釋變量對(duì)各個(gè)解釋變量的敏感性時(shí)，可以將偏回歸系數(shù)轉(zhuǎn)換為 Beta系數(shù) ，其 定義 如下： kjyxss jjYXjjj,2,1 ??? 22??????? ???3. 標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù) (Beta系數(shù) ) 特別的 對(duì)二元回歸模型： 兩邊減去 得到： 變形： 進(jìn)行變量的標(biāo)準(zhǔn)化變換， 因?yàn)? 所以 則 iXiXXiXYiY SXXSSXXSSYYS ??? ???????2211222?111?iiii eXXY ???? 22110 ??? ???iiiii eXXXXYY ?????? )(?)(? 222111 ??22110 ??? XXY ??? ???iXiYXXiYXYi S XXSSS XXSSS YY ??? ????????2211 222111 ??11111*1XiXii SxS XXX ???2212*22 XiXii SxS XXX ???YiYii SyS YYY ???*iiii eXXY ???? *2*2*1*1* ?? ??22111*1 ???1yxSS iYX???? ??? 22222*2 ???2yxSS iYX???? ???，我們就說(shuō)把這個(gè)變量標(biāo)準(zhǔn)化了。 特別地，對(duì)二元回歸模型而言： ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? 22122221222221122221121122? ? ?? ???? ?? ? ? ???????????? xxxx xXXXXXXXX XXiiiiiiiiiiV a r1,12)?( ??? jjj CV a r ?? 1,1)?( ??? jji CSE ?? 1,12)?,?( ??? jiji CC o v ???jiC 1X)X( ??? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? 22122221212221122221122221? ? ?? ???? ?? ? ? ???????????? xxxx xXXXXXXXX XXiiiiiiiiiiV a ri??1．參數(shù)的估計(jì)誤差 可證明 22 )1()( ????? kneEi2)1( ???? knEee39。 在實(shí)際做計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析時(shí) ， 很多經(jīng)濟(jì)變量雖然不存在完全的線性關(guān)系 ， 卻通常都存在一定的相關(guān)性 ，不一定滿(mǎn)足多重共線性的假定 ， 模型的估計(jì)可能會(huì)受到影響 。 假定 9：解釋變量之間不存在完全共線性 ， 沒(méi)有精確的線性 關(guān)系 。 cov(ui,uj)=0， (i≠j。 這意味著隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)和 每個(gè) X變量之間的協(xié)方差為 0。 注意： 總體線性回歸函數(shù) 把被解釋變量 Yi的總體條件期望與解釋變量 X1，X2， … ， Xk存在的線性關(guān)系式 : E（ Y/ X1i， X2i… ， Xki） = 稱(chēng)為 K元線性總體回歸函數(shù)。 ui為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，因此，對(duì)應(yīng)于解釋變量的每一組觀察值（ X1i， X2i… ， Xki），被解釋變量 Yi的值是隨機(jī)的。 因此 ， 需要建立包含兩個(gè)及以上解釋變量的多元回歸模型 。 ? 即使我們的分析目的是考察某一個(gè)因素對(duì)被解釋變量的影響 ，但為了得到該因素對(duì)被解釋變量的 “ 凈影響 ” ， 也需要將其他影響因素作為 “ 控制變量 ” ， 使其以顯性形式出現(xiàn)在模型中 ， 以提高模型估計(jì)精度 。 ikikiii uXXXY ????? ???? ?22110一、總體線性回歸模型 其中 : 為截距項(xiàng)，代表排除在模型之外的所有因素對(duì)被解釋變量 Y的平均影響； （ j=1,2… k）為偏回歸系數(shù)，反映了在其它解釋變量保持不變的情況下，解釋變量 Xj變化一個(gè)單位時(shí)，對(duì)被解釋變量 Y的影響程度。 這個(gè)獨(dú)特性質(zhì)使多元回歸中不但能夠引入多個(gè)解釋變量 ， 而且能夠 “ 分離 ” 出每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響 。 假定 2： X值固定或獨(dú)立于誤差項(xiàng) 。 i =1,2,… ,n 22 )()( ??? ?? ii EV a r三、多元線性回歸模型的基本假定 假定 5：無(wú)自相關(guān)假定 ， 干擾項(xiàng)之間無(wú)自相關(guān)或序列相關(guān) 。 三、多元線性回歸模型的基本假定 另外兩個(gè)要求 假定 8：無(wú)設(shè)定偏誤 ， 模型被正確地設(shè)定 。 如果解釋變量之間存在完全多重共線性 ， 會(huì)造成數(shù)據(jù)觀測(cè)矩陣 X非列滿(mǎn)秩 ， 模型參數(shù)將無(wú)法估計(jì) 。 221100 )?(E,)?E(,)?(E ?????? ???三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) ????????????? ? ? ?? ? ?22i1i22i21i2i1i2121i2222i2120 )xx(xxxxXX2xXxXn1?)?(v a r ??? ? ?? ? ??????)r1(x?xxxxx?)?(va r21222i222i1i22i21i21i22???? ? ?? ? ??????)r1(x?xxxxx?)?(va r21221i222i1i22i21i22i21???第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì) 二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì) 三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間 四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間 根據(jù)矩陣相等的意義，矩陣相等即對(duì)應(yīng)位置的元素相等，回歸參數(shù)估計(jì)量 的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差 其中 為矩陣 中第 i行和第 j列元素。 由于偏回歸系數(shù)都是與變量的原有單位有直接的聯(lián)系，計(jì)量單位不同，彼此不能直接比較計(jì)量單位不同的解釋變量對(duì)被解釋變量的影響大小。 Beta系數(shù)可解釋為，如果標(biāo)準(zhǔn)化回歸元增加一個(gè)單位的 標(biāo)準(zhǔn)差 ，則標(biāo)準(zhǔn)化回歸子平均增加 單位個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)差 。 注意： 本章要點(diǎn) 多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的概念 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 非線性回歸模型 第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 重點(diǎn)： t檢驗(yàn)與模型整體顯著性 F檢驗(yàn)的關(guān)系 3. F檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度之間的關(guān)系 第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn) 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 設(shè)估計(jì)的多元樣本線性回歸函數(shù)為 則帶殘差項(xiàng)的多元樣本線性回歸模型為 則 kikiii XXXY ???? ?????? ?22110 ???ikikiii eXXXY ?????? ???? ?22110 ???iii eYY ??? YeYYYiii ?????1．總離差平方和分解 總離差平方和 iiii eYYeYY )(2)(22 ??????? ?? ?021 ????????? iikiiiii eXeXeXe ?由最小二乘法知 iiiii eYeYeYY ???????? )(0????22110?????????????iikkiiiiiiieXeXeXeeY???? ?因此 222 )?()( iii eYYYY ???????222 )()()(iiiii eYYYeYYY ????????????回歸平方和與殘差平方和 222 ?iii yey ?????記成 TSS = RSS + ESS 22 )( YYyT S S ii ?????22 )?(? YYyE S S i ???? ?? ???? 22 ? ）（ iii YYeR S S總離差平方和 回歸平方和 殘差平方和 2．判定系數(shù) 用回歸平方和 （ ESS） 占總平方和 （ TSS） 的比重作為衡量模型對(duì)樣本擬合優(yōu)度的指標(biāo) ， 稱(chēng)為 多元判定系數(shù) ，用符號(hào) R2表示： 顯然 ， ， 并且當(dāng) 越接近于 1時(shí) ， 越接近于0；因此 ， R2的值越接近 1， 則表明模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度越高 。 注意： : 在一元回歸中判定系數(shù)為 由于 于是 21222122212221222?????iiiiiiiii yxyyxxxyyxyxyyR??????????????????? ????ikikiiiiiii yxyxyxeyy ??????????? ? ??? ???? 12211222 ?2112??iikikiiyyxyxR?????? ?? ?校正的辦法 將 中的第二項(xiàng)乘一個(gè)不小于 1的因子 ， 若方程中解釋變量個(gè)數(shù) k大 ， 所乘因子也大；在樣本容量一定的情況下 ， 由于 RSS的自由度 nk1隨著解釋變量個(gè)數(shù) k的增大而減少 。 R2 K變量個(gè)數(shù) K變量個(gè)數(shù) 2R 為了比較所含解釋變量個(gè)數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有 : 赤池信息準(zhǔn)則 （ Akaike information criterion, AI