【正文】 做最小二乘估計(jì)： iiii eXXY ???? 22110 ??? ???min)( 22 ??? ?? ? iii YYemin)???( 2221102 ????? ?? iiii XXYe ??? 一 、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì) OLS要求回歸平面能使 Y與該平面的離差平方和為最小 Y 2X ， 并令所得結(jié)果為零 ， 即得 3個(gè)方程的方程組： min)???( 2221102 ????? ?? iiii XXYe ???0)??(2? 2211002??????????????????? ??iiii XXYe ????0)?(2? 22110112????????? ???????? ???iiiii XXYXe ????0)?(2? 22110222????????? ???????? ???iiiii XXYXe ?????????????????00021iiiiiXeXee ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )3(?)2(?)1(?22221220112211210122110??????????????????????????YXXXXXYXXXXXYXXiiiiiiiiiiiiiiin????????? 3次，而 X1和 X2 之間不存在線性關(guān)系，則由此正規(guī)方程組，可解得參數(shù)的 OLS估計(jì)式如下： ???????????????????????????????])XX(XX/[)XXYXXYX(?])XX(XX/[)XXYXXYX(????221222121121222212221212221122110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiXXY?????，我們導(dǎo)出以下公式： ???????????????????????????????])(/[)(?])(/[)(????221222121121222212221212221122110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxyxxyxxxxxxxyxxyxXXY?????第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì) 二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì) 三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間 二 、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì) ，即 （殘差） ei的均值為零，即 3. Y的估計(jì)值的均值等于 Y的觀測(cè)值均值，即 ，即 cov(Xji,ei)=0 ei與估計(jì)量不相關(guān)，即 cov(ei, )=0 22110 ??? XXY ??? ???YYYE ?? ?? )(0?eiY?第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì) 二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì) 三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間 三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 在古典線性回歸模型的基本假定下 ， 一元線性回歸模型的 OLS估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量 ， 這個(gè)性質(zhì)對(duì)于多元線性回歸同樣成立 。 ，截距項(xiàng)總是 0，是一個(gè)過原點(diǎn)的回歸。 注意： 因此，在多元回歸模型中，僅僅依據(jù) R2對(duì)模型作比較和選擇會(huì)產(chǎn)生問題，在增加新的解釋變量時(shí)，必須對(duì)由其帶來(lái)的模型自由度下降這一 “ 負(fù)面影響 ” 而做出 “ 懲罰 ” ，因此，需要對(duì) R2作出相應(yīng)的修正。 H0： ?j=0 （ j=1,2…k ） H1： ?j?0 1,1??)?(???????jjjjjjj CESt ??????)1(2/ ?? knt?5．判斷： )1(2/ ??? kntt j ? 則拒絕 0:0 ?jH ? 接受 這是因?yàn)榻邮?H0的概率保證程度很大 ， 也就是說 ,接受 H1犯錯(cuò)誤的概率很??；說明所對(duì)應(yīng)的解釋變量對(duì)被解釋變量 Y有顯著的線性影響 。 ?)1,( ?? knkF ?)1,( ??? knkFF ?)1,( ??? knkFF ?0H0HF檢驗(yàn)和判定系數(shù) R2關(guān)系 2211//1)1( RRkknT SSR SST SSE SSkknknR SSkE SSF???????????? 可以看出， F與 R2同向變化 ,當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) R2 越大時(shí) ， F值越大 ， 當(dāng) R2 趨向于 1時(shí) ， F趨向于 。 ii XX1*?一、直接代換法 曲線形狀 iii uXY ???110 ??令變量 ，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋? ii XX1* ?ii uXY i ??? *10 ??根據(jù)解釋變量的觀測(cè)值，計(jì)算出 X*i 的之后進(jìn)行 OLS估計(jì)，得到： *10 ??iXY i ?? ??因此可得到原模型的估計(jì)方程： ii XY1??10 ?? ??如何轉(zhuǎn)換？ 倒數(shù)變換模型特點(diǎn) ?隨著 X的無(wú)限增大， Yi將非線性遞減（ Y將接近于零），逐漸接近極限值 ，即有一個(gè)漸近下限或漸近上限。高檔商品的消費(fèi)量是隨收入增加而遞增的，且其增長(zhǎng)速度也是遞增的。 )ln()( l n 10 XdYd ?? ??XdXYdY1??YXXYdXdYXYXdXYdY ?????? 斜率的相對(duì)變化率的相對(duì)變化率1?uXY ??? lnln 10 ??1? iYiX三個(gè)變量的對(duì)數(shù)線性回歸模型 ： iiii uXXY ???? 32221 lnlnln ???令變量 ， 則回歸函數(shù)可變?yōu)椋? kii XXYY kii ln,ln ** ??iuXXY iii ???? *2*21* 32 ???根據(jù)解釋變量的觀測(cè)值，進(jìn)行 OLS估計(jì)，得到： 因此可得到原模型的估計(jì)方程： *3*21*32 ????? iii XXY ??? ???iii XXY 33221 ln?ln???ln ??? ???三個(gè)變量的對(duì)數(shù)線性回歸模型 ： iiii uXXY ???? 32221 lnlnln ???注意： 模型中的偏回歸系數(shù)又稱為偏彈性系數(shù)，每一個(gè)偏回歸系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，被解釋變量 Y對(duì)某一解釋變量的偏彈性。 ，依據(jù)理論基礎(chǔ)、統(tǒng)計(jì)顯著性等標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合判斷。 線性模型與對(duì)數(shù)模型的比較 注意： 使用對(duì)數(shù)模型所受到的一個(gè)限制是 ， 變量不能取零或負(fù)值 。 它們解釋的是不同變量的變異 。,( 2121 ??? ??其中： k為解釋變量個(gè)數(shù)， p為參數(shù)的個(gè)數(shù)， f為非線性函數(shù)，且 f是 的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。 因此，估計(jì)模型時(shí)最好依據(jù)參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義和有關(guān)先驗(yàn)信息，設(shè)定好參數(shù)的初始值。 應(yīng)用舉例 一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定 二、變量說明與數(shù)據(jù)處理 三、參數(shù)估計(jì)與計(jì)量檢驗(yàn) 四、宏觀經(jīng)濟(jì)研究問題 一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定 （一）數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建 （二）樣本數(shù)據(jù)特征觀察 （三）計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型建立 數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建 (1) 假定經(jīng)濟(jì)中僅有物質(zhì)資本和勞動(dòng)兩種投入 ，生產(chǎn)函數(shù)形式為： (2) 假定資本折舊率是一個(gè)常數(shù)。 變量說明與數(shù)據(jù)處理 ——物質(zhì)資本存量 支出法國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中資本形成總額 或全社會(huì)固定資產(chǎn)投資 經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口 就業(yè)人員合計(jì) 變量說明與數(shù)據(jù)處理 （三）數(shù)據(jù)處理 GDP 常規(guī)錯(cuò)誤：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)是根據(jù)兩個(gè)時(shí)期不變價(jià)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值計(jì)算得到，因此將國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)看作是 GDP平減指數(shù)。 可決系數(shù)反映兩變量之間依存關(guān)系；相關(guān)系數(shù)判定時(shí)兩變量之間是對(duì)稱的。 （ 2）參數(shù)的顯著性水平檢驗(yàn) 給出顯著性水平 α，查自由度為 nk1的 t分布表得臨界值，如果各解釋變量系數(shù)的 t值大于臨界值則拒絕原假設(shè)，存在顯著影響。人力資本的外部效應(yīng) ——社會(huì)勞動(dòng)力的平均人力資本水平 ——具有核心作用，并且這些效應(yīng)會(huì)從一個(gè)人擴(kuò)散到另一個(gè)人，因而會(huì)對(duì)所有生產(chǎn)要素的生產(chǎn)率都有貢獻(xiàn)，從而使生產(chǎn)呈現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬遞增收益，而正是這種源于人力資本外部效應(yīng)的遞增收益使人力資本成為“增長(zhǎng)的發(fā)動(dòng)機(jī)”。 ]),(),([)( ttLtKFtY ?數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建 如果忽略技術(shù)進(jìn)步，也就是說我們假定 F（ 1?k210 , ???說明： ?首先，由于非線性模型中的參數(shù)估計(jì)量同隨機(jī)項(xiàng)不成線性關(guān)系，所以它們不服從正態(tài)分布，也不能從回歸殘差中得出隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差的無(wú)偏估計(jì)量，其結(jié)果使得 t檢驗(yàn)和 F檢驗(yàn)都不適用。,( ??????? ??整理得： 第二步： 作變量代換，令： ?? ????? pjjjpkiifXXXfYY100202121* ?)?,?,?。這個(gè)模型在生產(chǎn)與成本函數(shù)中被廣泛使用。 除了從Y=0開始的變化外 ， 通常的百分比變化幾乎完全保留了其解釋 。因?yàn)榫€性模型的可決系數(shù)度量了 X對(duì) Y變動(dòng)解釋的比例，而雙對(duì)數(shù)模型的可決系數(shù)度量了 lnX對(duì) lnY變動(dòng)解釋的比例。 對(duì)數(shù) 線性模型：被解釋變量為對(duì)數(shù)形式的模型 iiiiii uXY uXY ??? ??? lnln2121?? ??或線性 對(duì)數(shù)模型：解釋變量為對(duì)數(shù)形式的模型 iiiii uXYuXY i ?????? *2121* ???? 或根據(jù)解釋變量的觀測(cè)值，進(jìn)行 OLS估計(jì)，得到： 因此可得到原模型的估計(jì)方程： *2121* ??????iii XYXY i ???? ???? 或iiXi XYeY i ln???? 21?? 21 ???? ??? ? 或?? ii XXln*lnii YY ?分別令： 或 半對(duì)數(shù)線性模型參數(shù)的意義 iii uL n XY ??? 10 ??兩邊求微分得： 對(duì)線性－對(duì)數(shù)模型： iiii XdXL nXddY11 )( ?? ??)()(/1 速度的相對(duì)變化率幅度的絕對(duì)變化量XYXidX idY i ???從而， iii uXY ??? 10ln ??對(duì)于對(duì)數(shù)－線性模型： iii dXYdY1??兩邊求微分得： )()(/1 幅度的絕對(duì)變化量速度的相對(duì)變化率XYdXYdYiii ???則 住房?jī)r(jià)格與空氣污染 住房?jī)r(jià)格與空氣污染 住房?jī)r(jià)格與空氣污染 廣泛使用對(duì)數(shù)模型的原因： ，而且由于斜率系數(shù)不隨測(cè)度單位而變化，所以我們可以忽略以對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)的變量的度量單位。 ，在此水平之上，不會(huì)再有任何消費(fèi)。 ?在現(xiàn)實(shí)中，平均固定成本曲線，恩格爾消費(fèi)曲線，菲利普斯曲線恰好有類似的變動(dòng)規(guī)律，因此，可以用倒數(shù)變換模型進(jìn)行描述。 亦即 ， 檢驗(yàn)原假設(shè) ， 等價(jià)于檢驗(yàn) 這一虛擬假設(shè) 。 0:1 ?jH ?)1(2??? kntt j ? 0:0 ?jH ??若 j?第三節(jié) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn) 三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn) 由于 Yi的總變差可以分解為兩部分 顯然 ， 模型的總顯著性越強(qiáng) ,說明模型中所有解釋變量對(duì)被解釋變量 Y的聯(lián)合影響程度