【正文】 10 種 C． 9 種 D． 8種 3．（ 5分）下面是關(guān)于復數(shù) z=的四個命 題：其中的真命題為（）， p1：|z|=2， p2： z2=2i， p3： z 的共軛復數(shù)為 1+i， p4： z 的虛部為﹣ 1． A． p2，p3B． p1， p2C． p2， p4D． p3， p44．（ 5 分）設 F F2 是橢圓 E： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點， P 為直線 x=上一點，△ F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，則 E 的離心率為（） A． B． C． D． 5．（ 5分）已知 {an}為等比數(shù)列， a4+a7=2， a5a6=﹣ 8，則 a1+a10=（） A． 7B． 5C．﹣ 5D．﹣76．（ 5 分）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù) N（ N≥ 2）和實數(shù)a1， a2，?， an，輸出 A， B，則（） A． A+B 為 a1， a2，?， an 的和 B．為a1， a2，?， an 的算術(shù)平均數(shù) C． A 和 B 分別是 a1， a2，?， an中最大的數(shù)和最小的數(shù) D． A 和 B 分別是 a1， a2，?， an 中最小的數(shù)和最大的數(shù) 7．（ 5 分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（） A． 6B． 9C． 12D． 188．（ 5分）等軸雙曲線 C 的中心在原點，焦點在 x 軸上， C 與拋物線 y2=16x的準線交于點 A和點 B， |AB|=4，則 C 的實軸長為（） A． B． C． 4D． 89．（ 5分）已知 ω＞ 0，函數(shù) f（ x） =sin（ω x+）在區(qū)間 [，π ]上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（） A． B． C． D．（ 0， 2]10．（ 5 分）已知函數(shù)f（ x） =，則 y=f（ x）的圖象大致為（） A． B． C． D． 11．（ 5 分）已知三棱錐 S﹣ ABC 的所有頂點都在球 O 的表面上，△ ABC 是邊長為 1 的正三角形， SC 為球 O 的直徑，且 SC=2，則此三棱錐的體積為（）A． B． C． D． 12．（ 5 分）設點 P 在曲線上，點 Q在曲線 y=ln（ 2x）上，則 |PQ|最小值為（） A． 1﹣ ln2B． C． 1+ln2D． 二．填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 ． 13．（ 5 分）已知向量夾角為 45176?！?ABD 的面積為，求 p 的值及圓 F 的方程； （ 2）若 A， B， F三點在同一直線 m上，直線 n與 m平行，且 n與C 只有一個公共點，求坐標原點到 m， n 距離的比值． 21．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f′（ 1） ex﹣ 1﹣ f（ 0） x+x2； （ 1）求 f（ x）的解析式及單調(diào)區(qū)間； （ 2）若，求（ a+1） b 的最大值． 四、 請考生在第 22， 23， 24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號． 22．（ 10 分）如圖， D， E 分別為△ ABC 邊 AB， AC 的中點，直線 DE 交△ ABC的外接圓于 F， G兩點，若 CF∥ AB，證明： （ 1） CD=BC； （ 2）△ BCD∽△ GBD． 23．選修 4﹣ 4； 坐標系與參數(shù)方程已知曲線 C1 的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），以坐標原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線 C2 的坐標系方程是ρ =2，正方形 ABCD的頂點都在 C2 上，且 A， B， C， D依逆時針次序排列，點 A 的 極坐標為（ 2，）．（ 1）求點 A， B， C， D的直角坐標； （ 2）設 P 為 C1 上任意一點，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范圍． 24．已知函數(shù) f（ x） =|x+a|+|x﹣ 2|①當 a=﹣ 3 時，求不等式f（ x）≥ 3 的解集； ② f（ x）≤ |x﹣ 4|若的解集包含 [1， 2]，求 a的取值范圍． 2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（ 5 分）已知集合 A={1， 2， 3， 4， 5}，B={（ x， y） |x∈ A， y∈ A， x﹣ y∈ A}，則 B 中所含元素的個數(shù)為（）A． 3B． 6C． 8D． 10【考點】 12：元素與集合關(guān)系的判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】由題意，根據(jù)集合 B 中的元素屬性對x， y 進行賦值得出 B 中所有元素，即可得出 B 中所含有的元素個數(shù)，得出正確選項【解答】解：由題意， x=5 時， y=1， 2， 3， 4， x=4 時，y=1， 2， 3， x=3時， y=1， 2， x=2 時， y=1綜上知， B 中的元素個數(shù)為10 個故選： D．【點評】本題考查元素與集合的關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是理解題意 ，領會集合 B 中元素的屬性，用分類列舉的方法得出集合 B 中的元素的個數(shù)． 2．（ 5 分）將 2 名教師， 4名學生分成 2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2 名學生組成，不同的安排方案共有（） A． 12 種 B． 10 種 C． 9 種D． 8 種【考點】 D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題．【分析】將任務分三步完成，在每步中利用排列和組合的方法計數(shù)，最后利用分步計數(shù)原理，將各步結(jié)果相乘即可得結(jié)果【解答】解：第一步，為甲地選一名老師，有 =2 種選法； 第二步，為甲地選兩個學 生，有 =6 種選法； 第三步，為乙地選 1 名教師和 2 名學生，有 1 種選法故不同的安排方案共有 2 6 1=12 種故選： A．【點評】本題主要考查了分步計數(shù)原理的應用，排列組合計數(shù)的方法，理解題意，恰當分步是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎題 3．（ 5 分）下面是關(guān)于復數(shù) z=的四個命題：其中的真命題為（）， p1： |z|=2， p2： z2=2i， p3： z 的共軛復數(shù)為 1+i，p4： z 的虛部為﹣ 1． A． p2， p3B． p1， p2C． p2， p4D． p3， p4【考點】2K：命題的真假判斷與應用； A5：復數(shù)的運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】 11：計算題．【分析】由 z===﹣ 1﹣ i，知， p3： z的共軛復數(shù)為﹣ 1+i， p4： z的虛部為﹣ 1，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵ z===﹣ 1﹣ i，∴， p3： z的共軛復數(shù)為﹣ 1+i， p4： z的虛部為﹣ 1，故選： C．【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答． 4．（ 5 分）設 FF2 是橢圓 E： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點， P 為直線 x=上一點，△F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，可得 |PF2|=|F2F1|，根據(jù) P為直線 x=上一點，可建立方程，由此可求橢圓的離心率．【解答】解：∵△ F2PF1 是底角為 30176。且，則 = 3 ．【考點】 9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算； 9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 16：壓軸題．【分析】由已知可得， =，代入 |2|====可求【解答】解：∵， =1∴ =∴ |2|====解得故答案為： 3【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積定義的應用，向量的數(shù)量積性質(zhì) ||=是求解 向量的模常用的方法 14．（ 5 分）設 x， y滿足約束條件：； 則 z=x﹣ 2y 的取值范圍為．【考點】 7C：簡單線性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題．【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，由 z=x﹣ 2y 可得， y=，則﹣表示直線 x﹣ 2y﹣ z=0 在 y軸上的截距，截距越大， z 越小，結(jié)合函數(shù)的圖形可求 z 的最大與最小值，從而可求 z的范圍【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域由 z=x﹣ 2y 可得，y=，則﹣表示直線 x﹣ 2y﹣ z=0 在 y 軸上的截距，截距越大， z 越小結(jié)合函數(shù)的圖形可知，當直線 x﹣ 2y﹣ z=0 平移到 B 時，截距最大， z 最小； 當直線 x﹣ 2y﹣ z=0 平移到 A 時，截距最小， z 最大由可得 B（ 1，2），由可得 A（ 3， 0）∴ Zmax=3， Zmin=﹣ 3則 z=x﹣ 2y∈ [﹣ 3， 3]故答案為： [﹣ 3， 3]【點評】平面區(qū)域的范圍問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案． 15．（ 5 分）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件 的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布 N（ 1000， 502），且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過 1000 小時的概率為．【考點】 CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 16：壓軸題．【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的意義，知三個電子元件的使用壽命超過 1000小時的概率為，而所求事件“該部件的使用壽命超過 1000 小時”當且僅當“超過 1000小時時，元件 元件 2 至少有一個正?！焙汀俺^ 1000 小時時，元件 3正?！蓖瑫r發(fā)生，由于其為獨立事件，故分別求其概率 再相乘即可【解答】解：三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布 N（ 1000， 502）得：三個電子元件的使用壽命超過 1000 小時的概率為設 A={超過 1000 小時時，元件 元件 2至少有一個正常 }， B={超過 1000小時時，元件 3正常 }C={該部件的使用壽命超過 1000 小時 }則 P（ A） =， P（ B） =P（ C） =P（ AB） =P（ A） P（ B）= =故答案為【點評】本題主要考查了正態(tài)分布的意義，獨立事件同時發(fā)生的概率運算，對立事件的概率運算等基礎知識，屬基礎題 16．（ 5 分）數(shù)列 {an}滿足 an+1+（﹣ 1） nan=2n﹣ 1，則 {an}的前 60 項和為 1830 ．【考點】 8E：數(shù)列的求和； 8H：數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 35：轉(zhuǎn)化思想； 4M：構(gòu)造法； 54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得 a2﹣ a1=1， a3+a2=3，a4﹣ a3=5， a5+a4=7， a6﹣ a5=9， a7+a6=11，? a50﹣ a49=97，變形可得 a3+a1=2， a4+a2=8， a7+a5=2， a8+a6=24， a9+a7=2， a12+a10=40，a13+a15=2， a16+a14=56，?利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，求出 {an}的前 60項和【解答】解：∵ an+1+（﹣ 1） nan=2n﹣ 1，故有 a2﹣ a1=1， a3+a2=3，a4﹣ a3=5， a5+a4=7， a6﹣ a5=9， a7+a6=11，? a50﹣ a49=97．從而可得 a3+a1=2， a4+a2=8， a7+a5=2， a8+a6=24， a9+a11=2， a12+a10=40，a13+a11=2， a16+a14=56，?從第一項開始，依次取 2 個相鄰奇數(shù)項的和都等于 2，從第二項開始，依次取 2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以 8為首項，以 16 為公差的等差數(shù)列． {an}的前 60 項和為 15 2+（ 15 8+）=1830【點評】本題考查數(shù)列遞推式，訓練了利用構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的前 n 項和，屬中檔題． 三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（ 12 分）已知 a， b， c 分別為△ ABC三個內(nèi)角 A，B， C 的對邊， acosC+asinC﹣ b﹣ c=0（ 1）求 A； （ 2）若 a=2，△ ABC 的面積為； 求 b， c．【考點】 HP：正弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 33：函數(shù)思想； 4R：轉(zhuǎn)化法； 58：解三角形．【分析】（ 1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到 sin（ A﹣ 30176。） =．∴ A﹣ 30176?！?A=60176。同理：∠ A1DC1=45176?！?DC1⊥ DC， DC1⊥ BD∵ DC∩ BD=D∴ DC1⊥面 BCD∵ BC?面BCD∴ DC1⊥ BC（ 2）解：∵ DC1⊥ BC， CC1⊥ BC， DC1∩ CC1=C1，∴ BC⊥面 ACC1A1，∵ AC?面 ACC1A1，∴ BC⊥ AC 取 A1B1 的中點 O，過點 O 作OH⊥ BD 于點 H，連接 C1O， OH∵ A1C1=B1C1，∴ C1O⊥ A1B1，∵面 A1B1C1⊥面 A1BD，面 A1B1C1∩面 A1BD=A1B1，∴ C1O⊥面 A1BD而 BD?面 A1BD∴ BD⊥ C1O，∵ OH⊥ BD， C1O∩ OH=O，∴ BD⊥面 C1OH∴ C1H⊥ BD，∴點 H與點 D 重合且∠ C1DO是二面角 A1﹣ BD﹣ C1 的平面角設 AC=a，則，∴sin∠ C1DO=∴∠ C1DO=30176。【點評】本題考查線面垂直 ，考查面面角，解題的關(guān)鍵是