【正文】 考查橢圓的定義與方程，考查橢 圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 7．（ 5 分）曲線 y=xex﹣ 1 在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率等于（） A． 2eB． eC． 2D． 1【考點(diǎn)】 62：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出對應(yīng)的切線斜率．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 f′（ x） =ex﹣ 1+xex﹣ 1=（ 1+x） ex﹣ 1，當(dāng) x=1 時， f′（ 1） =2，即曲線 y=xex﹣ 1在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率 k=f′（ 1） =2，故選： C．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直接求函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)． 8．（ 5 分）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為（） A． B． 16π C． 9π D．【考點(diǎn)】 LG：球的體積和表面積； LR：球內(nèi)接多面體．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】正四棱錐 P﹣ ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，記為 O，求出 PO1， OO1，解出球的半徑，求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為 R，則∵棱錐的高為 4，底面邊長為 2，∴ R2=（ 4﹣ R） 2+（） 2，∴ R=，∴球的表面 積為 4π?（） 2=．故選： A．【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，球的內(nèi)接幾何體問題，考查計算能力，是基礎(chǔ)題． 9．（ 5 分）已知雙曲線 C 的離心率為 2，焦點(diǎn)為F F2，點(diǎn) A在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|，則 cos∠ AF2F1=（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 KC：雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，以及余弦定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線 C 的離心率為 2，∴ e=，即c=2a，點(diǎn) A 在雙曲線上，則 |F1A|﹣ |F2A|=2a，又 |F1A|=2|F2A|，∴解得 |F1A|=4a， |F2A|=2a， ||F1F2|=2c，則由余弦定理得 cos∠AF2F1===．故選： A．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的定義和運(yùn)算，利用離心率的定義和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力． 10．（ 5 分）等比數(shù)列 {an}中， a4=2， a5=5，則數(shù)列 {lgan}的前8 項和等于（） A． 6B． 5C． 4D． 3【考點(diǎn)】 89：等比數(shù)列的前 n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用對數(shù) 的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵數(shù)列 {an}是等比數(shù)列， a4=2， a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴ lga1+lga2+? +lga8=lg（ a1a2??? a8）=4lg10=4．故選： C．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 11．（ 5 分）已知二面角α﹣ l﹣β為 60176。由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知 b＞ a，而 c=tan35176。﹣ 35176。綜合可得．【解答】解：由誘導(dǎo)公式可得 b=cos55176。易得 b＞ a， c=tan35176。 c=tan35176。BC=1， AC=CC1=2．（Ⅰ）證明： AC1⊥ A1B； （Ⅱ）設(shè)直線 AA1 與平面 BCC1B1 的距離為，求二面角 A1﹣ AB﹣ C的大?。?20．（ 12 分）設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 、 、 、 ，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．（Ⅰ）求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率； （Ⅱ） X 表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求 X 的數(shù)學(xué)期望． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y2=2px（ p＞ 0）的焦點(diǎn)為 F，直線 y=4與 y 軸的交點(diǎn)為 P，與 C的交點(diǎn)為 Q，且 |QF|=|PQ|．（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）過 F的直線 l 與 C相交于 A、 B兩點(diǎn)，若 AB 的垂直平分線l′與 C 相交于 M、 N兩點(diǎn)，且 A、 M、 B、 N 四點(diǎn)在同一圓上，求 l的方程． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =ln（ x+1）﹣（ a＞ 1）．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) a1=1， an+1=ln（ an+1），證明：＜ an≤（ n∈ N*）． 2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分） 1．（ 5分）設(shè) z=，則 z的共軛復(fù)數(shù)為（） A．﹣ 1+3iB．﹣ 1﹣ 3iC． 1+3iD． 1﹣ 3i【考點(diǎn)】 A1：虛數(shù)單位 i、 復(fù)數(shù)； A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，則 z 的共軛可求．【解答】解：∵ z==，∴．故選： D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 2．（ 5 分）設(shè)集合 M={x|x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0}， N={x|0≤ x≤ 5}，則 M∩ N=（） A．（ 0， 4]B． [0， 4） C． [﹣1， 0） D．（﹣ 1， 0]【考點(diǎn)】 1E：交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化簡集合 M，然后直接利用交集 運(yùn)算求解．【解答】解：由 x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0，得﹣ 1＜ x＜ 4．∴ M={x|x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0}={x|﹣ 1＜ x＜ 4}，又 N={x|0≤ x≤ 5}，∴ M∩ N={x|﹣ 1＜ x＜ 4}∩ {x|0≤ x≤ 5}=[0， 4）．故選： B．【點(diǎn)評】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題． 3．（ 5 分）設(shè)a=sin33176。 AB?α， AB⊥ l， A 為垂足， CD?β， C∈ l，∠ ACD=135176。 c=tan35176。高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版） ,14級（ 5篇可選） 第一篇：高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版） ,14級 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分） 1．（ 5 分）設(shè) z=，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為（）A．﹣ 1+3iB．﹣ 1﹣ 3iC． 1+3iD． 1﹣ 3i2．（ 5 分）設(shè)集合 M={x|x2﹣ 3x﹣ 4＜ 0}， N={x|0≤ x≤ 5}，則 M∩ N=（） A．（ 0， 4]B． [0， 4） C． [﹣ 1，0） D．（﹣ 1， 0]3．（ 5 分）設(shè) a=sin33176。 b=cos55176。則（） A． a＞ b＞ cB． b＞ c＞ aC． c＞ b＞ aD． c＞ a＞ b4．（ 5 分）若向量、滿足： ||=1，（ +）⊥ ，（ 2+）⊥，則 ||=（） A． 2B． C． 1D． 5．（ 5 分）有 6 名男醫(yī)生、 5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、 1 名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（） A． 60 種 B． 70 種 C． 75 種 D． 150種 6．（ 5 分）已知橢圓 C： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)為 F F2，離心率為，過 F2 的直線 l 交 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，若△ AF1B 的周長為 4，則 C 的方程為（） A． +=1B． +y2=1C． +=1D． +=17．（ 5 分）曲線 y=xex﹣ 1在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率等于（） A． 2eB． eC． 2D． 18．（ 5分）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同 一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為（） A． B． 16π C． 9π D． 9．（ 5 分）已知雙曲線 C的離心率為 2，焦點(diǎn)為 F F2，點(diǎn) A在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|，則 cos∠ AF2F1=（） A． B． C． D． 10．（ 5分）等比數(shù)列 {an}中， a4=2， a5=5，則數(shù)列 {lgan}的前 8 項和等于（） A． 6B． 5C． 4D． 311．（ 5 分）已知二面角α﹣ l﹣β為 60176。則異面直線 AB與 CD所成角的余弦值為（） A． B． C． D． 12．（ 5分）函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于直線 x+y=0 對稱，則 y=f（ x）的反函數(shù)是（） A． y=g（ x） B． y=g（﹣ x） C． y=﹣ g（ x）D． y=﹣ g（﹣ x）二、填空題 (本大題共 4小題，每小題 5分 )13．（ 5分）的展開式中 x2y2 的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答） 14．（ 5分）設(shè) x、 y 滿足約束條件，則 z=x+4y 的最大值為 ． 15．（ 5 分）直線 l1 和 l2 是圓 x2+y2=2 的兩條切線，若 l1 與 l2 的交點(diǎn)為（ 1， 3），則 l1 與 l2 的夾角的正切值等于 ． 16．（ 5分）若函數(shù) f（ x） =cos2x+asinx在區(qū)間（，）是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ． 三、解答題 17．（ 10 分）△ ABC 的內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，已知 3acosC=2ccosA，tanA=，求 B． 18．（ 12 分）等差數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，已知 a1=13，a2 為整數(shù)，且 Sn≤ S4．（ 1）求 {an}的通項公式； （ 2）設(shè) bn=，求數(shù)列 {bn}的前 n項和 Tn． 19．（ 12 分）如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，點(diǎn) A1在平面 ABC內(nèi)的射影 D在 AC上，∠ ACB=90176。 b=cos55176。則（） A． a＞ b＞ cB． b＞ c＞ aC． c＞ b＞ aD． c＞ a＞ b【考點(diǎn)】 HF：正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 56：三角函數(shù)的求值．【分析】可 得 b=sin35176。 =＞ sin35176。 =cos（ 90176。） =sin35176。 =＞ sin35176。AB?α， AB⊥ l， A 為垂足， CD?β， C∈ l，∠ ACD=135176。∵ CD∥ AF 又∠ ACD=135176。∴∠ EAF=45176。 BC=1， AC=CC1=2．（Ⅰ）證明： AC1⊥ A1B； （Ⅱ）設(shè)直線 AA1 與平面 BCC1B1 的距離為，求二面角 A1﹣ AB﹣ C的大?。究键c(diǎn)】 LW：直線與平面垂直； MJ：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得； （Ⅱ）作輔助線可證∠ A1FD 為二面角 A1﹣ AB﹣ C 的平面角，解三角形由反三角函數(shù)可得．【解答】解：（Ⅰ）∵ A1D⊥平面 ABC， A1D?平面 AA1C1C，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥ AC∴ BC⊥平面 AA1C1C，連結(jié) A1C，由側(cè)面 AA1C1C為菱形可得 AC1⊥ A1C，又 AC1⊥ BC， A1C∩ BC=C，∴ AC1⊥平面 A1BC， AB1?平面 A1BC，∴ AC1⊥ A1B； （Ⅱ）∵ BC⊥平面 AA1C1C， BC?平面 BCC1B1，∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1，作 A1E⊥ CC1， E 為垂足，可得 A1E⊥平面 BCC1B1，又直線 AA1∥平面 BCC1B1，∴ A1E為直線 AA1與平面 BCC1B1的距離，即 A1E=，∵ A1C 為∠ ACC1 的平分線，∴ A1D=A1E=，作 DF⊥ AB， F 為垂足，連結(jié)A1F，又可得 AB⊥ A1D， A1F∩ A1D=A1，∴ AB⊥平面 A1DF，∵ A1F?平面A1DF∴ A1F⊥ AB，∴∠ A1FD 為二面角 A1﹣ AB﹣ C 的平面角，由 AD==1 可知 D 為 AC 中點(diǎn)，∴ DF==，∴ tan∠ A1FD==，∴二面角 A1﹣ AB﹣ C 的大小為 arctan【點(diǎn)評】本題考查二面角的求解，作出并證明二面角的平面角是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題． 20．（ 12 分）設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 、 、 、 ，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．（Ⅰ）求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率； （Ⅱ） X 表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求 X的數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】 C8：相互 獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式； CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5I：概率與統(tǒng)計．【分析】記 Ai 表示事件：同一工作日乙丙需要使用設(shè)備，i=0， 1， 2， B 表示事件：甲需要設(shè)備， C 表示事件，丁需要設(shè)備， D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備（Ⅰ）把 4 個人都需使用設(shè)備的概率、 4 個人中有 3個人使用設(shè)備的概率相加，即得所求．（Ⅱ） X的可能取值為 0， 1， 2， 3， 4，分別求出 PXi，再利用數(shù)學(xué)期望公式計算即可．【解答】解：由題意可得“同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備”的概率為 +（ 1﹣ ） +（ 1﹣ ） + （ 1﹣ ） + （ 1﹣ ） =．（Ⅱ） X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 4P（ X=0） =（ 1﹣） （ 1