【正文】 ﹣ ） =（ X=1） = （ 1﹣ ） +（ 1﹣ ） +（ 1﹣ ） 2 （ 1﹣ ） =（ X=4）=P（ A2?B?C） = =， P（ X=3） =P（ D）﹣ P（ X=4） =，P（ X=2） =1﹣ P（ X=0）﹣ P（ X=1）﹣ P（ X=3）﹣ P（ X=4） =1﹣ ﹣﹣ ﹣ =．故數(shù)學(xué)期望 EX=0 +1 +2 +3 +4 =2【點評】本題主要考查了獨立事件的概率和數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵是找到獨立的事件，計算要有耐心，屬于難題． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y2=2px（ p＞ 0）的焦點為 F，直線 y=4 與 y軸的交點為P，與 C 的交點為 Q，且 |QF|=|PQ|．（Ⅰ）求 C的方程； （Ⅱ）過 F的直線 l 與 C相交于 A、 B兩點，若 AB 的垂直平分線l′與 C 相交于 M、 N兩點，且 A、 M、 B、 N 四點在同一圓上，求 l的方程．【考點】 KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為（ x0， 4），把點 Q 的坐標(biāo)代入拋物線 C 的方程，求得 x0=，根據(jù) |QF|=|PQ|求得 p的值，可得 C 的方程．（Ⅱ）設(shè) l 的方程為 x=my+1（ m≠ 0），代入拋物線方程化簡，利用韋達(dá)定理、中點公式、弦長公式求得弦長 |AB|．把直線 l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達(dá)定理、弦長公式求得|MN|．由于 MN 垂直平分線 段 AB，故 AMBN 四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得 m 的值，可得直線 l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為（ x0， 4），把點 Q的坐標(biāo)代入拋物線 C： y2=2px（ p＞ 0），可得 x0=，∵點 P（ 0， 4），∴ |PQ|=．又 |QF|=x0+=+， |QF|=|PQ|，∴ +=，求得 p=2，或 p=﹣ 2（舍去）．故 C 的方程為 y2=4x．（Ⅱ）由題意可得，直線 l 和坐標(biāo)軸不垂直， y2=4x 的焦點 F（ 1， 0），設(shè) l 的方程為 x=my+1（ m≠ 0），代入拋物線方程可得 y2﹣ 4my﹣ 4=0，顯然判別式△ =16m2+16＞ 0， y1+y2=4m， y1?y2=﹣ 4．∴ AB的中點坐標(biāo)為 D（ 2m2+1，2m），弦長 |AB|=|y1﹣ y2|==4（ m2+1）．又直線 l′的斜率為﹣ m，∴直線 l′的方程為 x=﹣ y+2m2+3．過 F 的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點，若 AB 的垂直平分線 l′與 C相交于 M、 N兩點，把線 l′的方程代入拋物線方程可得 y2+y﹣ 4（ 2m2+3） =0，∴ y3+y4=， y3?y4=﹣ 4（ 2m2+3）．故線段 MN 的中點 E 的坐標(biāo)為（ +2m2+3，），∴ |MN|=|y3﹣ y4|=，∵ MN 垂直平分線段 AB，故 AMBN 四點共圓 等價于 |AE|=|BE|=|MN|，∴ +DE2=MN2，∴ 4（ m2+1） 2++=，化簡可得 m2﹣ 1=0，∴ m=177。 b=cos55176。則（） A． a＞ b＞ cB． b＞ c＞ aC． c＞ b＞ aD． c＞ a＞ b4．（ 5 分）若向量、滿足： ||=1，（ +）⊥，（ 2+）⊥，則 ||=（） A． 2B． C． 1D． 5．（ 5 分）有 6 名男醫(yī)生、 5 名女醫(yī)生，從中選出 2 名男醫(yī)生、 1 名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（） A． 60 種 B． 70 種 C． 75 種 D． 150種 6．（ 5 分）已知橢圓 C： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點為 F F2，離心率為，過 F2 的直線 l 交 C 于 A、 B 兩點，若△ AF1B 的周長為 4，則 C 的方程為（） A． +=1B． +y2=1C． +=1D． +=17．（ 5 分）曲線 y=xex﹣ 1在點（ 1， 1）處切 線的斜率等于（） A． 2eB． eC． 2D． 18．（ 5分）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為（） A． B． 16π C． 9π D． 9．（ 5 分）已知雙曲線 C的離心率為 2，焦點為 F F2，點 A在 C 上，若 |F1A|=2|F2A|，則 cos∠ AF2F1=（） A． B． C． D． 10．（ 5分）等比數(shù)列 {an}中， a4=2， a5=5，則數(shù)列 {lgan}的前 8 項和等于（） A． 6B． 5C． 4D． 311．（ 5 分）已知二面角α﹣ l﹣β為 60176。則異面直線 AB與 CD所成角的余弦值為（） A． B． C． D． 12．（ 5分）函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于直線 x+y=0 對稱，則 y=f（ x）的反函數(shù)是（） A． y=g（ x） B． y=g（﹣ x） C． y=﹣ g（ x）D． y=﹣ g（﹣ x）二、填空題 (本大題共 4小題，每小題 5分 )13．（ 5分）的展開式中 x2y2 的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答） 14．（ 5分）設(shè) x、 y 滿足約束條件，則 z=x+4y 的最大值為 ． 15．（ 5 分）直線 l1 和 l2 是圓 x2+y2=2 的兩條切線，若 l1 與 l2 的交點為（ 1， 3），則 l1 與 l2 的夾角的正切值等于 ． 16．（ 5分）若函數(shù) f（ x） =cos2x+asinx在區(qū)間（，）是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ． 三、解答題 17．（ 10 分）△ ABC 的內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，已知 3acosC=2ccosA，tanA=，求 B． 18．（ 12 分）等差數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，已知 a1=13，a2 為整數(shù)，且 Sn≤ S4．（ 1）求 {an}的通項公式； （ 2）設(shè) bn=，求數(shù)列 {bn}的前 n項和 Tn． 19．（ 12 分）如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，點 A1在平面 ABC內(nèi)的射影 D在 AC上，∠ ACB=90176。 b=cos55176。則（） A． a＞ b＞ cB． b＞ c＞ aC． c＞ b＞ aD． c＞ a＞ b【考點】 HF：正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 56：三角函數(shù)的求值．【分析】可得 b=sin35176。 =＞ sin35176。 =cos（ 90176。） =sin35176。 =＞ sin35176。AB?α， AB⊥ l， A 為垂足， CD?β， C∈ l，∠ ACD=135176?！?CD∥ AF 又∠ ACD=135176?！唷?EAF=45176。 BC=1， AC=CC1=2．（Ⅰ）證明： AC1⊥ A1B； （Ⅱ）設(shè)直線 AA1 與平面 BCC1B1 的距離為，求二面角 A1﹣ AB﹣ C的大?。究键c】 LW：直線與平面垂直； MJ：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合線面垂直的判 定和性質(zhì)可得； （Ⅱ）作輔助線可證∠ A1FD 為二面角 A1﹣ AB﹣ C 的平面角，解三角形由反三角函數(shù)可得．【解答】解：（Ⅰ）∵ A1D⊥平面 ABC， A1D?平面 AA1C1C，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥ AC∴ BC⊥平面 AA1C1C，連結(jié) A1C，由側(cè)面 AA1C1C為菱形可得 AC1⊥ A1C，又 AC1⊥ BC， A1C∩ BC=C，∴ AC1⊥平面 A1BC， AB1?平面 A1BC，∴ AC1⊥ A1B； （Ⅱ）∵ BC⊥平面 AA1C1C， BC?平面 BCC1B1，∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1，作 A1E⊥ CC1， E 為垂足，可得 A1E⊥平面 BCC1B1，又直線 AA1∥平面 BCC1B1，∴ A1E為直線 AA1與平面 BCC1B1的距離，即 A1E=，∵ A1C 為∠ ACC1 的平分線，∴ A1D=A1E=，作 DF⊥ AB， F 為垂足，連結(jié)A1F，又可得 AB⊥ A1D， A1F∩ A1D=A1，∴ AB⊥平面 A1DF，∵ A1F?平面A1DF∴ A1F⊥ AB，∴∠ A1FD 為二面角 A1﹣ AB﹣ C 的平面角，由 AD==1 可知 D 為 AC 中點，∴ DF==，∴ tan∠ A1FD==，∴二面角 A1﹣ AB﹣ C 的大小為 arctan【點評】本題考查二面角的求解，作 出并證明二面角的平面角是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題． 20．（ 12 分）設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為 、 、 、 ，各人是否需使用設(shè)備相互獨立．（Ⅰ）求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率； （Ⅱ） X 表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求 X的數(shù)學(xué)期望．【考點】 C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式； CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5I：概率與統(tǒng)計．【分析】記 Ai 表示事件：同一工作日乙丙需要使用設(shè)備，i=0， 1， 2， B 表示事件：甲需要設(shè)備， C 表示事件，丁需要設(shè)備， D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備（Ⅰ）把 4 個人都需使用設(shè)備的概率、 4 個人中有 3個人使用設(shè)備的概率相加，即得所求．（Ⅱ） X的可能取值為 0， 1， 2， 3， 4，分別求出 PXi，再利用數(shù)學(xué)期望公式計算即可．【解答】解：由題意可得“同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備”的概率為 +（ 1﹣ ） +（ 1﹣ ） + （ 1﹣ ） + （ 1﹣ ） =．（Ⅱ） X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， 4P（ X=0） =（ 1﹣） （ 1﹣ ） =（ X=1） = （ 1﹣ ） +（ 1﹣ ） +（ 1﹣ ） 2 （ 1﹣ ） =（ X=4）=P（ A2?B?C） = =， P（ X=3） =P（ D）﹣ P（ X=4） =，P（ X=2） =1﹣ P（ X=0）﹣ P（ X=1）﹣ P（ X=3）﹣ P（ X=4） =1﹣ ﹣﹣ ﹣ =．故數(shù)學(xué)期望 EX=0 +1 +2 +3 +4 =2【點評】本題主要考查了獨立事件的概率和數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵是找到獨立的事件，計算要有耐心，屬于難題． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y2=2px（ p＞ 0）的焦點為 F，直線 y=4 與 y軸的交點為P，與 C 的交點為 Q，且 |QF|=|PQ|．（Ⅰ）求 C的方程； （Ⅱ）過 F的直線 l 與 C相交于 A、 B兩點，若 AB 的垂直平分線l′與 C 相交于 M、 N兩點，且 A、 M、 B、 N 四點在同一圓上，求 l的方程．【考點】 KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為（ x0， 4），把點 Q 的坐標(biāo)代入拋物線 C 的方程，求得 x0=，根據(jù) |QF|=|PQ|求得 p的值，可得 C 的方程．（Ⅱ）設(shè) l 的方程為 x=my+1（ m≠ 0），代入拋物線方程化簡，利用韋達(dá)定理、中點公式、弦長公式求得弦長 |AB|．把直線 l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達(dá)定理、弦長公式求得|MN|．由于 MN 垂直平分線 段 AB，故 AMBN 四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得 m 的值，可得直線 l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為（ x0， 4），把點 Q的坐標(biāo)代入拋物線 C： y2=2px（ p＞ 0），可得 x0=，∵點 P（ 0， 4），∴ |PQ|=．又 |QF|=x0+=+， |QF|=|PQ|，∴ +=，求得 p=2，或 p=﹣ 2（舍去）．故 C 的方程為 y2=4x．（Ⅱ）由題意可得，直線 l 和坐標(biāo)軸不垂直， y2=4x 的焦點 F（ 1， 0），設(shè) l 的方程為 x=my+1（ m≠ 0），代入拋物線方程可得 y2﹣ 4my﹣ 4=0，顯然判別式△ =16m2+16＞ 0， y1+y2=4m， y1?y2=﹣ 4．∴ AB的中點坐標(biāo)為 D（ 2m2+1，2m），弦長 |AB|=|y1﹣ y2|==4（ m2+1）．又直線 l′的斜率為﹣ m，∴直線 l′的方程為 x=﹣ y+2m2+3．過 F 的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點，若 AB 的垂直平分線 l′與 C相交于 M、 N兩點，把線 l′的方程代入拋物線方程可得 y2+y﹣ 4（ 2m2+3） =0，∴ y3+y4=， y3?y4=﹣ 4（ 2m2+3）．故線段 MN 的中點 E 的坐標(biāo)為（ +2m2+3，），∴ |MN|=|y3﹣ y4|=，∵ MN 垂直平分線段 AB，故 AMBN 四點共圓 等價于 |AE|=|BE|=|MN|，∴ +DE2=MN2，∴ 4（ m2+1） 2++=，化簡可得 m2﹣ 1=0，∴ m=177。則異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 ． 三 .解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（ 10 分）△ ABC的內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，已知 cos（ A﹣ C） +cosB=1， a=2c，求 C． 18．（ 12 分）如圖，四棱錐 P﹣ ABCD中，底面 ABCD 為菱形， PA⊥底面 ABCD， PA=2， E 是 PC 上的一點， PE=2EC．（Ⅰ）證明： PC⊥平面 BED； （Ⅱ）設(shè)二面角 A﹣ PB﹣ C 為 901