【正文】 次，若事件 A 發(fā)生，則向上一面的點(diǎn)數(shù)的 6 倍為甲的得分；若事件 A不發(fā)生，則甲得 0 分； ② 乙拋擲一次，將向上的一面對(duì)應(yīng)的數(shù)字作為乙的得分； （ ⅰ ） 甲、乙二人各拋擲該玩具一次，求二人得分的期望； （ ⅱ ）甲、乙二人各拋擲該玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率； （ 2）拋擲該玩具一次，記事件 B=“向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過 k（ 1≤ k≤ 12） ”，若事件 A 與 B 相互獨(dú)立，試求出所有的整數(shù) k． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量及其分布列；古典概型及其概率計(jì)算公式． 【分析】 （ 1）（ i）設(shè)甲、 乙二人拋擲該玩具后，得分分別為 X， Y， X 的可能取值為 6， 24， 54， 0，分別求出相應(yīng)的概率，從而能求出甲得分的期望； Y 的可能取值為 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 且 P（ Y=i） = ， i=1， 2， 3， … ， 12．由此能求出乙得分的期望． （ ii）甲、乙二人各拋擲該玩具一次，甲的得分不低于乙的概率為： P=P（ X=6，1≤ Y≤ 6） +P（ X=24） +P（ X=54），由此能求出結(jié)果． （ 2）拋擲玩具一次，基本事件總數(shù)共有 12 個(gè)，則事件 A 包含 3 個(gè)基本事件，推導(dǎo)出 B 事件包含的基本事 件數(shù)必為 4 的倍數(shù)，即 k∈ {4， 8， 12}，由此進(jìn)行分類討論經(jīng)，能求出 k 的所有值． 【解答】 解：（ 1）（ i）設(shè)甲、乙二人拋擲該玩具后，得分分別為 X， Y， 則 X 的可能取值為 6， 24， 54， 0， 當(dāng) X=6 時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為 1， P（ X=6） = ， 當(dāng) X=24 時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為 4， P（ X=24） = ， 當(dāng) X=54 時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為 9， P（ X=54） = ， 當(dāng) X=0 時(shí)，向上的點(diǎn)數(shù)為 42， 52， … ， 122，有種情況， P（ X=0） = ， ∴ X 的分布列為： X 6 24 54 0 P ∴ 甲得分的期望為 E（ X） = =7． Y 的可能取值為 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 且 P（ Y=i） = ， i=1， 2， 3， … ， 12． ∴ Y 的分布列為： Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P ∴ 乙得分的期望為 E（ Y） = （ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12） = ． （ ii）甲、乙二人各拋擲該玩具一次，甲的得分不 低于乙的概率為： P=P（ X=6， 1≤ Y≤ 6） +P（ X=24） +P（ X=54） = = ． （ 2）拋擲玩具一次，基本事件總數(shù)共有 12 個(gè)， 記事件 A=“向上的面標(biāo)記的數(shù)字是完全平方數(shù)（記能寫出整數(shù)的平方形式的數(shù)，如 9=32， 9 是完全平方數(shù)） ” 記事件 B=“向上一面的點(diǎn)數(shù)不超過 k（ 1≤ k≤ 12） ”， 則事件 A 包含 3 個(gè)基本事件，（ 1 點(diǎn)， 4 點(diǎn)， 9 點(diǎn)）， 記 n（ AB）， n（ B）分別表示事件 AB， B 包含的基本事件個(gè)數(shù)， 由 P（ AB） =P（ A） P（ B）及古典概率模型，得： = ， ∴ n（ B） =4n（ AB）， ① ∴ B 事件包含的基本事件數(shù)必為 4 的倍數(shù)，即 k∈ {4， 8， 12}， 當(dāng) k=4 時(shí)， n（ B） =4， AB={1， 4}， n（ AB） =2，不符合 ① ， 當(dāng) k=8 時(shí)， n（ B） =8， AB={1， 4}， n（ AB） =2，符合 ① ， 當(dāng) k=12 時(shí)， n（ B） =12， AB={1， 4， 9}， n（ AB） =3，符合 ① ， 故 k 的所有值為 8 或 12． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，考查滿足條件的整數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意古典概 率模型的合理運(yùn)用． 19．在三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中， AC=BC=2， ∠ ACB=120176。則 B（﹣ 2， ， 0）， C（﹣ 1， 0， 0）， C1（﹣ 2，0， a）， D（﹣ ， ， a） ， ， ． 設(shè) 為面 BC1D 的法向量， ， 取 y=﹣ a，則 ， 由 BC 與平面 BC1D 所成角的正弦值為 ，即|cos |=| |= ，可得 a= ． ∴ 三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的高 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了空間線面平行，向量法求空間 角，空間想象能力、計(jì)算能力，屬于中檔題． 20．已知拋物線 C： y2=4x，直線 l： x=﹣ 1． （ 1）若曲線 C 上存在一點(diǎn) Q，它到 l 的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等，求 Q 的坐標(biāo)； （ 2）過直線 l 上任一點(diǎn) P 作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)記為 A， B，求證：直線AB 過定點(diǎn)． 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】 （ 1）設(shè) Q（ x， y），則（ x+1） 2=x2+y2，即 y2=2x+1，與拋物線方程聯(lián)立，得 Q 的坐標(biāo)； （ 2）先通過特例求出定點(diǎn)，再證明一般性結(jié)論． 【解答】 （ 1）解：設(shè) Q（ x， y），則（ x+1） 2=x2+y2，即 y2=2x+1， 與拋物線方程聯(lián)立，得 Q（ ， ）； （ 2）證明：設(shè)直線方程為 y﹣ t=k（ x+1）（ k≠ 0），代入拋物線方程整理得 ky2﹣ 4y+4t+4k=0， △ =0，可得 k2+kt﹣ 1=0． 特別地， t=0， k=177。時(shí)，等號(hào)成立． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題． [選修 45：不等式選講 ] 23．（ 2017 山西一模）已知關(guān)于 x 的不等式 x|x﹣ m|﹣ 2≥ m． （ 1）當(dāng) m=0 時(shí)，求該不等式的解集； （ 2）當(dāng) x∈ [2， 3]時(shí)，該不等式恒成立，求 m的取值范圍． 【考點(diǎn)】 絕對(duì)值三角 不等式；絕對(duì)值不等式的解法． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意，若 m=0 時(shí)，原不等式為： x|x|﹣ 2≥ 0，進(jìn)而變形可得或 ，解可得 x 的取值范圍，即可得答案； （ 2）根據(jù)題意，由 x∈ [2， 3]，將原不等式變形可得： |x﹣ m|≥ ， ① ，分m≤ ﹣ 2 與 m＞ ﹣ 2 兩種情況討論，分別求出 m的取值范圍，綜合可得答案． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意，當(dāng) m=0 時(shí)，原不等式為： x|x|﹣ 2≥ 0， 等價(jià)于 或 ， 解可得 x≥ ， 故原不等式的解集為 {x|x≥ }； （ 2）當(dāng) x∈ [2， 3]時(shí)，原不等式 變形可得： |x﹣ m|≥ ， ① 當(dāng) m≤ ﹣ 2 時(shí)， m+2≤ 0， ① 式恒成立； 當(dāng) m＞ ﹣ 2 時(shí)，即 m+2＞ 0 時(shí)， ① 式等價(jià)于 x﹣ m≥ 或 x﹣ m≤ ﹣ ， 化簡可得： x2﹣ 2≥ m（ x+1）或 x2+2≤ m（ x+1）， ② 又由 x∈ [2， 3]，則有 x+1＞ 0 且 x﹣ 1＞ 0， 則 ② 可以變形為 m≤ 或 m≥ ； 又由 =x﹣ ﹣ 1， =x﹣ 1+ +2； 又由 x∈ [2， 3]，則（ ） min= ，（ ） max=6； 則有 m≤ 或 m≥ 6； 故 m的取值范圍是 {m|m≤ 或 m≥ 6}． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查絕對(duì)值不等式的運(yùn)用以及解法，關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值三角不等式．