20xx年河北省邯鄲市高考數(shù)學一模試卷理科word版含解析-閱讀頁
2024-12-18 18:35本頁面
【正文】 py（ p＞ 0）的焦點，直線 l： y=kx+ 交拋物線 E 于A， B 兩點． （ Ⅰ ）當 k=1， |AB|=8 時，求拋物線 E 的方程； （ Ⅱ ）過點 A， B 作拋物線 E 的切線 l1， l2，且 l1， l2交點為 P，若直線 PF 與直線 l 斜率之和為﹣ ，求直線 l 的斜率． 【考點】 拋物線的簡單性質． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)弦長公式即可求出 p 的值，問題得以解決， （ Ⅱ ）聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理，即可求出過點 A， B 作拋物線 E 的切線 l1，l2方程，再求出交點坐標，根據(jù)斜率的關系即可求出 k 的值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）聯(lián)立 ，消去 x 得 ， 題設得 ， ∴ p=2， ∴ 拋物線 E 的方程為 x2=4y． （ II）設 聯(lián)立 ，消去 y 得 x2﹣ 2pkx﹣ p2=0， ∴ ， 由 得 ， ∴ 直線 l1， l2的方程分別為 ， 聯(lián)立 得點 P 的坐標為 ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 直線 l 的斜率為 k=﹣ 2 或 ． 21．已知函數(shù) f（ x） =x2﹣ alnx（ a＞ 0）的最小值是 1． （ Ⅰ ）求 a； （ Ⅱ ）若關于 x 的方程 f2（ x） ex﹣ 6mf（ x） +9me﹣ x=0 在區(qū)間 [1， +∞ ）有唯一的實根，求 m的取值范圍． 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性． 【分析】 （ Ⅰ ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù) 的單調區(qū)間，求出 f（ x）的最小值，問題轉化為 ﹣ ln ﹣ 1=0，記 g（ a） = ﹣ ln ﹣ 1，（ a＞ 0），根據(jù)函數(shù)的單調性求出 a 的值即可； （ Ⅱ ）由條件可得 f2（ x） e2x﹣ 6mf（ x） ex+9m=0，令 g（ x） =f（ x） ex=（ x2﹣ 2lnx）ex，原問題等價于方程 t2﹣ 6mt+9m=0 在區(qū)間 [e， +∞ ）內有唯一解，通過討論 △的符號，求出 m的范圍即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ） f′（ x） =2x﹣ = ，（ x＞ 0）， 所以，當 0＜ x＜ 時， f′（ x） ＜ 0，當 x＞ 時， f′（ x） ＞ 0， 故 f（ x） min=f（ ） = ﹣ ln ， 由題意可得： ﹣ ln =1，即 ﹣ ln ﹣ 1=0， 記 g（ a） = ﹣ ln ﹣ 1，（ a＞ 0）， 則函數(shù) g（ a）的零點即為方程 ﹣ ln =1 的根； 由于 g′（ a） =﹣ ln ，故 a=2 時， g′（ 2） =0， 且 0＜ a＜ 2 時， g′（ a） ＞ 0， a＞ 2 時， g′（ a） ＜ 0， 所以 a=2 是函數(shù) g（ a）的唯一極大值點， 所以 g（ a） ≤ g（ 2），又 g（ 2） =0， 所以 a=2． （ II）由條件可得 f2（ x） e2x﹣ 6mf（ x） ex+9m=0， 令 g（ x） =f（ x） ex=（ x2﹣ 2lnx） ex， 則 g′（ x） =（ x2+2x﹣ ﹣ 2lnx） ex， 令 r（ x） =x2+2x﹣ ﹣ 2lnx（ x≥ 1）， 則 ， r（ x）在區(qū)間 [1， +∞ ）內單調遞增， ∴ g（ x） ≥ g（ 1） =e； 所以原問題等價于方程 t2﹣ 6mt+9m=0 在區(qū)間 [e， +∞ ）內有唯一解， 當 △ =0 時可得 m=0 或 m=1，經檢驗 m=1 滿足條件， 當 △＞ 0 時可得 m＜ 0 或 m＞ 1， 所以 e2﹣ 6me+9m≤ 0，解之得： m≥ ， 綜上， m的取值范圍是 {m|m=1 或 m≥ }． 從 2 23 題中任選一題作答 .[選修 44：坐標系與參數(shù)方程選講 ] 22．在平面直角坐標 系 xOy 中，以原點 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C1， C2的極坐標方程分別為 ρ=2sinθ， ρcos（ θ﹣ ） = ． （ Ⅰ ）求 C1和 C2交點的極坐標； （ Ⅱ ）直線 l 的參數(shù)方程為： （ t 為參數(shù)），直線 l 與 x 軸的交點為P，且與 C1交于 A， B 兩點，求 |PA|+|PB|． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程． 【分析】 （ Ⅰ ）求出 C1 和 C2 的直角坐標方程，得出交點坐標，再求 C1 和 C2 交 點的極坐標； （ Ⅱ ）利用參數(shù)的幾何意義，即可求 |PA|+|PB|． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由 C1， C2極坐標 方程分別為 ρ=2sinθ， ’ 化為平面直角坐標系方程分為 x2+（ y﹣ 1） 2=1， x+y﹣ 2=0． … 得交點坐標為（ 0， 2），（ 1， 1）． … 即 C1和 C2交點的極坐標分別為 ． … （ II）把直線 l 的參數(shù)方程： （ t 為參數(shù)），代入 x2+（ y﹣ 1） 2=1， 得 ， … 即 t2﹣ 4t+3=0， t1+t2=4， … 所以 |PA|+|PB|=4． … [選修 45：不等式選講 ] 23．已知函數(shù) f（ x） =|ax﹣ 2|． （ Ⅰ ）當 a=2 時 ，解不等式 f（ x） ＞ x+1； （ Ⅱ ）若關于 x 的不等式 f（ x） +f（﹣ x） ＜ 有實數(shù)解，求 m的取值范圍． 【考點】 絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式． 【分析】 （ Ⅰ ）把 a=2 代入不等式化簡后，對 x 分類討論，分別去掉絕對值求出每個不等式的解集，再取并集即得不等式的解集； （ Ⅱ ）利用絕對值三角不等式求出 f（ x） +f（﹣ x）的最小值，結合題意列出不等式，求出實數(shù) m的范圍． 【解答】 解：（ Ⅰ ）當 a=2 時，不等式為： |2x﹣ 2|＞ x+1， 當 x≥ 1 時，不等式化為： 2x﹣ 2＞ x+1，解得 x＞ 3… 當 x＜ 1 時，不等式化為 ： 2﹣ 2x＞ x+1，解得 … 綜上所述，解集為 ； … （ II）因為 f（ x） +f（﹣ x） =|ax﹣ 2|+|﹣ ax﹣ 2|≥ |ax﹣ 2﹣ ax﹣ 2|=4… ， 所以 f（ x） +f（﹣ x）的最小值為 4， … ， 因為 f（ x） +f（﹣ x） ＜ 有實數(shù)解， 所以 … 2017 年 4 月 1 日
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