20xx年遼寧市撫順市高考數(shù)學一模試卷文科word版含解析-閱讀頁
2024-12-18 04:46本頁面
【正文】 題意可知， 2a=4， a=2． 又 bc= ，且 b2+c2=4，解得 b= ， c=1． ∴ 橢圓的離心率 e= ； （ 2）由（ 1）得橢圓 C 的方程為 ． 當直線 ST 的斜率不存在時，有 S（﹣ 1， ）、 T（﹣ 1， ）， 此 時 ． 當直線 ST 的斜率存在時，設直線 ST 的方程為 y=m（ x+1）， 再設點 S（ x1， y1）， T（ x2， y2）， 將直線 ST 的方程 y=m（ x+1）代入橢圓方程消去 y 并整理得： （ 4m2+3） x2+8m2x+4m2﹣ 12=0． 得 ， ． 從而 = = = = ∈ [﹣ 4，﹣ ）． 綜上所述， 的取值范圍為 [﹣ 4，﹣ ]． 21．已知函數(shù) f（ x） =lnx﹣ ． （ 1）若 a=4，求函數(shù) f（ x）的單調區(qū)間； （ 2）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 1]內(nèi)單調遞增，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 3）若 x x2∈ R+， 且 x1≤ x2，求證：（ lnx1﹣ lnx2）（ x1+2x2） ≤ 3（ x1﹣ x2）． 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可； （ 2）問題轉化為 3a≤ +x+4 恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調性求出 a 的范圍即可； （ 3）問題轉化為 ln ≤ = 成立即可，令 t= ∈ （ 0， 1），故只要 lnt﹣ ≤ 0 即可，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可． 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定義域是（ 0， +∞ ）， f′（ x） = ﹣ = ， a=4 時， f′（ x） = ， 由 f′（ x） ＞ 0，解得： 0＜ x＜ 4﹣ 2 或 x＞ 4+2 ， 由 f′（ x） ＜ 0，解得： 4﹣ 2 ＜ x＜ 4+2 ， 故 f（ x）在（ 0， 4﹣ 2 ）遞增，在（ 4﹣ 2 ， 4+2 ）遞減，在（ 4+2 ， +∞ ）遞增； （ 2）由（ 1）得： f′（ x） = ， 若函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 1]遞增， 則有 x2+（ 4﹣ 3a） x+4≥ 0 在（ 0， 1]內(nèi)恒成立， 即 3a≤ +x+4 恒成立， 又函數(shù) y= +x+4 在 x=1 時取得最小值 9，故 a≤ 3； （ 3）證明：當 x1=x2時，不等式顯然成立， 當 x1≠ x2時， ∵ x1， x2∈ R+， ∴ 要原 不等式成立， 只要 ln ≤ = 成立即可， 令 t= ∈ （ 0， 1）， 故只要 lnt﹣ ≤ 0 即可， 由（ 2）可知函數(shù) f（ x）在（ 0， 1]遞增， 故 f（ x） ＜ f（ 1） =0， 故 lnt﹣ ≤ 0 成立， 故原不等式成立． 考生注意：請考生在第 2 23 兩題中任選一題作答 [選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ] 22．在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為 （ α為參數(shù)），將曲線 C1上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標縮短為原來的 ，得到曲線 C2，在以坐標原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線 l 的極坐標方 程為 4ρsin（ θ+ ） + =0． （ 1）求曲線 C2的極坐標方程及直線 l 與曲線 C2交點的極坐標； （ 2）設點 P 為曲線 C1上的任意一點，求點 P 到直線 l 的距離的最大值． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程． 【分析】 （ 1）利用極坐標和直角坐標的互化公式把直線 l 的極坐標方程化為直角坐標方程．利用同角三角函數(shù)的基本關系消去 α，把曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再求出交點的極坐標； （ 2）設點 P（ 1+2cosα， sinα），求得點 P 到直線 l 的距離，由此求得 d 的最大值． 【解答】 解：（ 1）曲線 C1的 參數(shù)方程為 （ α為參數(shù)）， 可得曲線 C1的參數(shù)方程為 （ α為參數(shù)）， 利用同角三角函數(shù)的基本關系消去 α， 可得 x2+y2﹣ x﹣ =0，極坐標方程為 ρ2﹣ ρcosθ﹣ =0 直線 l 的極坐標方程為 4ρsin（ θ+ ） + =0，即 4ρ（ sinθ+ cosθ） + =0， 即 2 x+2y+ =0． 聯(lián)立方程可得交點坐標（﹣ ， 0），（ 0，﹣ ）， 極坐標為（ ， π），（ ， ）； （ 2）設 P（ 1+2cosα， sinα）， 則點 P 到直線 l 的距離 d= （ tanθ=2）， ∴ 點 P 到直線 l 的距離的最大值為 ． [選 修 45:不等式選講 ] 23．已知函數(shù) f（ x） =|a﹣ x|（ a∈ R） （ Ⅰ ）當 a= 時，求使不等式 f（ 2x﹣ ） ＞ 2f（ x+2） +2 成立的 x 的集合 A； （ Ⅱ ）設 x0∈ A，證明 f（ x0x） ≥ x0f（ x） +f（ ax0）． 【考點】 絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式． 【分析】 （ Ⅰ ）把 a 的值代入不等式化簡后，對 x 分類討論，分別去掉絕對值求出每個不等式的解集，再取并集即得不等式的解集； （ Ⅱ ）由（ I）和 x0∈ A 求出 x0 的范圍，化簡 f（ x0x）﹣ x0f（ x）后利用絕對值三角不等式證明結論成立． 【解答】 解：（ Ⅰ ）當 a= 時，原不等式化為： |x﹣ |﹣ |x+ |＞ 1① ，﹣﹣﹣﹣﹣ 1 分 當 x 時， ① 式化為： ﹣ x+x+ ＞ 1 恒成立， 即 x ；﹣﹣﹣﹣﹣ 2 分 當 ＜ x＜ 時， ① 式化為： ﹣ x﹣ x﹣ ＞ 1 恒成立， 解得 x＜ 0，即 ＜ x＜ 0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 3 分 當 x≥ 時， ① 式化為：﹣ +x﹣ x﹣ ＞ 1 無解，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 4 分 綜上，原不等式的解集 A=（﹣ ∞ ， 0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 5 分 證明：（ Ⅱ ）因為 x0∈ A，所以 x0＜ 0， 又 f（ x） =|a﹣ x|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 6 分 所以 f（ x0x）﹣ x0f（ x） =|a﹣ x0x|﹣ x0|a﹣ x| =|a﹣ x0x|+|﹣ x0a+x0x|≥ |a﹣ x0x﹣ x0a+x0x| =|a﹣ ax0|=f（ ax0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 9 分 所以 f（ x0x） ≥ x0f（ x） +f（ ax0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 10 分 2017 年 4 月 2 日
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