安徽省宿州市20xx年高考數(shù)學(xué)一模試卷理科word版含解析-閱讀頁(yè)
2024-12-05 01:02本頁(yè)面
【正文】 OC= ． 得 OB⊥ 平面 AMNC．又平 面 AMNC∥ 平面 EFG，則OB⊥ 平面 EFG 即可． （ Ⅱ ）以 O 為原點(diǎn)，分別以 ， ， 為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 設(shè) OA=a， OB=b，則 O（ 0， 0， 0）， A（ a， 0， 0）， B（ 0， a， 0）， D（ 0， 0，b）， C（﹣ a， 0， 0）．利用向量法求解． 【解答】 解：（ Ⅰ ）證明：因?yàn)辄c(diǎn) O、 D 分別是等腰梯形 AMNC 兩底 AC、 MN的中點(diǎn)，所以 OD⊥ OC．又 AB=BC， 則 OB⊥ AC．于是等腰梯形 AMNC 與直角 △ ABC 所成二面角的平面角為 ∠ BOC，則 ∠ BOC= ．即 OB⊥ OD，得 OB⊥ 平面 AMNC． 又平面 AMNC∥ 平面 EFG，則 OB⊥ 平面 EFG． 因?yàn)?EG? 平面 EFG，所以 OB⊥ EH． （ Ⅱ ）以 O 為原點(diǎn)，分別以 ， ， 為 x 軸、 y 軸、 z 軸 的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 設(shè) OA=a， OB=b，則 O（ 0， 0， 0）， A（ a， 0， 0）， B（ 0， a， 0）， D（ 0， 0，b）， C（﹣ a， 0， 0）． 所以 E（ ， F（ 0， ）， G（﹣ ， H（﹣ ），有 ，平面 EFG 的一個(gè)法向量為 ． 設(shè)直線 BH 與 平 面 EFG 所 成 的 角 為 α ，則 sinα=|cos ＜ |= ，得 a=b． 設(shè)平面 HAC 的法向量為 ，由 ，取 y=1，得， 所以 cos＜ ＞ = ， 因?yàn)槎娼?D﹣ AC﹣ H 為銳二面角，所以二面角 D﹣ AC﹣ H 的余弦值為 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了空間線線、線面位置關(guān)系，即向量法求空間角，屬于中檔題． 19．（ 12 分）（ 2017?宿州一模）某綜藝節(jié)目為增強(qiáng)娛樂(lè)性，要求現(xiàn)場(chǎng)嘉賓與其場(chǎng)外好友連線互動(dòng)．凡是拒絕表演節(jié)目的好友均無(wú)連線好友的機(jī)會(huì)；凡是選擇表演節(jié)目的好友均需連線未參加過(guò)此活動(dòng)的 3 個(gè)好友參與此活動(dòng)，以此下去． （ Ⅰ ）假設(shè)每個(gè)人選擇表演與否是等可能的，且互不影響，則某人選擇表演后，其連線的 3 個(gè)好友中不少于 2 個(gè)好友 選擇表演節(jié)目的概率是多少？ （ Ⅱ ）為調(diào)查 “選擇表演者 ”與其性別是否有關(guān)，采取隨機(jī)抽樣得到如表： 選擇表演 拒絕表演 合計(jì) 男 50 10 60 女 10 10 20 合計(jì) 60 20 80 ① 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，是否有 99%的把握認(rèn)為 “表演節(jié)目 ”與好友的性別有關(guān)？ ② 將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查 3 名男性好友，設(shè) X 為 3 個(gè)人中 選擇表演的人數(shù)，求 X 的分布列和期望． 附： K2= ； P（ K2≥ k0） k0 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【分析】 （ Ⅰ ）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出概率； （ Ⅱ ） ① 根據(jù) 2 2 列聯(lián)表，得到 K2= ≈ ＞ ，即可得出結(jié)論； ② 由題意，每名男性選擇表演的概率為 ，則 X～ B（ 3， ），可得 X 的分布列和期望． 【解答】 解：（ Ⅰ ）這 3 位好友選擇表演分別記為 A， B， C，則 ， ， 分別表示這 3 位好友拒絕表演．這 3 位好友參與該活動(dòng)的可能結(jié)果為 {A， B， C}， { ，B， C}， {A， ， C}， {A， B， }， { ， ， C}， {A， ， }， { ， B， }，{ ， ， }共有 8 種．其中 3 位好友不少于 3 位好友選擇表演的可能結(jié)果有 4種．根據(jù)古典概型公式，所求概率為 P= = ； （ Ⅱ ） ① 根據(jù) 2 2 列聯(lián)表，得到 K2= ≈ ＞ ，所以有 99%的把握認(rèn)為 “表演節(jié)目 ”與好友的性別有關(guān)． ② 由題意，每名男性選擇表演的概率為 ，則 X～ B（ 3， ）， 所以隨機(jī)變量 X 的概率分布列為： X 0 1 2 3 P 故隨機(jī)變量 X 的期望為 EX=3 = ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的計(jì)算，考查 X 的分布列和期望，考查獨(dú)立性 檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題． 20．（ 12 分）（ 2017?宿州一模）已知橢圓 ，焦距為 2， 離心率 e 為 ． （ Ⅰ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線，切點(diǎn)分別為 M、 N，直線 MN 與x 軸交于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) F 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 G，求 △ ABG 的面積的最大值． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ Ⅰ ）由橢圓的焦距為 2，離心率 e 為 ．求出 a， b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （ Ⅱ ）由題意，得 O、 M、 P、 n 四點(diǎn)共圓，該圓的方程為（ x﹣ ） 2+（ y﹣ ）2= ，圓 O 的方程為 x2+y2= ，直線 MN 的方程為 x+2y﹣ 1=0，設(shè) A（ x1， y1），B（ x2， y2），則 |GF||y1﹣ y2|=|y1﹣ y2|，從而 S△ ABG 最大， |y1﹣ y2|就最大．可設(shè)直線 l 的方程為 x=my+1，由 ，得（ 3m2+4） y2+6my﹣9=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能求出 △ ABG 的面積的最大值． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 橢圓 ，焦距為 2，離心率 e 為 ． ∴ 由題意， 2c=2，解得 c=1， 由 e= ，解得 a=2． ∴ b= ． ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1． （ Ⅱ ）由題意，得 O、 M、 P、 n 四點(diǎn)共圓， 該圓的方程為（ x﹣ ） 2+（ y﹣ ） 2= ， 又圓 O 的方程為 x2+y2= ， ∴ 直線 MN 的方程為 x+2y﹣ 1=0，令 y=0，得 x=1， 即點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（ 1， 0），則點(diǎn) F 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 G（﹣ 1， 0）． 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 |GF||y1﹣ y2|=|y1﹣ y2|， ∴ S△ ABG最大， |y1﹣ y2|就最大． 由題意知，直線 l 的斜率不為零，可設(shè)直線 l 的方程為 x=my+1， 由 ，得（ 3m2+4） y2+6my﹣ 9=0， ∴ ， ． 又 ∵ 直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn)， ∴△＞ 0，即（ 6m） 2+36（ 3m2+4） ＞ 0， m∈ R， 則 S△ GAB= |GF||y1﹣ y2|=|y1﹣ y2|= = ， 令 t= ，則 t≥ 1， S△ GAB= = = ． 令 f（ t） =t+ ，則函數(shù) f（ t）在 [ ， +∞ ）上單調(diào)遞增，即當(dāng) t≥ 1 時(shí)， f（ t）在 [1， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ f（ t） ≥ f（ 1） = ， ∴ S△ GAB≤ 3． 故 △ ABG 的面積的最大值為 3． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用． 21．（ 12 分）（ 2017?宿州一模）設(shè)函數(shù) ． （ Ⅰ ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ Ⅱ ）若函數(shù) f（ x）存在極值，對(duì)于任意的 0＜ x1＜ x2，存在正實(shí)數(shù) x0，使得 f（ x1）﹣ f（ x2） =f3
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