山東省煙臺市20xx年高考數(shù)學(xué)一模試卷文科word版含解析-閱讀頁
2024-12-20 04:23本頁面
【正文】 A1， B1}， {A1， B2}， {A1， B3}， {A1， B4}， {A2， B1}， {A2， B2}， {A2， B3}， {A2， B4}共 9 個基本事件， ∴ 至少有 1 個樣本數(shù)據(jù)羅在 [50， 60）內(nèi)的概率為 p= = ． 【點評】 本題考查了頻率分別直方圖，考查求概率問題，是一道中檔題． 19．（ 12 分）（ 2017?煙臺一模）已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn ，點是曲線 f（ x） =x2+2x 上的點．?dāng)?shù)列 {an}是等比數(shù)列，且滿足b1=a1， b2=a4． （ 1）求數(shù)列 {an}， {bn}的通項公式； （ 2）記 ，求數(shù)列 {}的前 n 項和 Tn． 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）由已知得到數(shù)列 {an}的前 n 項和，再由 n≥ 2 時， an=Sn﹣ Sn﹣ 1求得數(shù)列通項公式，驗證首項后得答案；再由 b1=a1， b2=a4求出數(shù)列 {bn}的首項和公比，進一步得到數(shù)列 {bn}的通項公式； （ 2）把數(shù)列 {an}、 {bn}的通項公式代入 ，利用數(shù)列的分組求和求得數(shù)列 {}的前 n 項和 Tn． 【解答】 解：（ 1）由已知， ． 當(dāng) n≥ 2 時， =2n+1． 當(dāng) n=1 時， a1=3 適合上式． ∴ an=2n+1； 由于 b1=a1=3， b2=a4=9， ∴ 等比數(shù)列 {bn}的公比為 3， ∴ ； （ 2） ， 當(dāng) n 為偶數(shù)時， Tn=[（﹣ 3+5） +（﹣ 7+9） +… ﹣（ 2n﹣ 1） +（ 2n+1） ]+（ 3+32+… +3n） ； 當(dāng) n 為奇數(shù)時， n﹣ 1 為偶數(shù)， ． 綜上所述， 【點評】 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的分組求和，屬中檔題． 20．（ 13 分）（ 2017?煙臺一模）已知橢圓 的右焦點 F與拋物線 y2=4x 的焦點重合，橢 圓 C 上的點到 F 的最大距離為 3． （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）過橢圓 C 右焦點 F 的直線 l（與 x 軸不重合）與橢圓 C 交于 A、 B 兩點，求 △ OAB（ O 為坐標原點）面積 S 的最大值． 【考點】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）由拋物線的焦點坐標，求得 c，由 a+c=3，則 a=2， b2=a2﹣ c2=3，即可求得橢圓的標準方程； （ 2）設(shè)直線 l 的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得 △ OAB 面積 S 的最大值． 【解答】 解：（ 1）由拋物線線上， y2=4x 焦點坐標為（ 1， 0），則 c=1， 由橢圓 C 上的點 到 F 的最大距離為 a+c=3，則 a=2， b2=a2﹣ c2=3， ∴ 橢圓的標準方程為： ； （ 2）（ 2）設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），直線 l 的方程為： x=ky+1， ，消 x，整理得：（ 3k2+4） y2+6ky﹣ 9=0， ∴ y1+y2=﹣ ， y1y2=﹣ ， ∴ S△ OAB= 1 |y1﹣ y2|= ． 令 k2+1=t（ t≥ 1）， S△ OAB= = = ． 則 f（ t） =t+ ，（ t≥ 1）， f′（ t） =1﹣ = ， ∴ f（ t）在 [1， +∞ ）單調(diào)遞增，當(dāng) t=1 時， f（ t）取最小值，最小值為 ． S△ OAB= （ t≥ 1），的最大值為 ， ∴ S△ OAB的最大值為 ． 【點評】 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性在最值中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題． 21．（ 14 分）（ 2017?煙臺一模）已知函數(shù) f（ x） =xlnx， g（ x） =﹣ x2+ax﹣ 2． （ 1）若曲線 f（ x） =xlnx 在 x=1 處的切線與函數(shù) g（ x） =﹣ x2+ax﹣ 2 也相切，求實數(shù) a 的值； （ 2）求函數(shù) f（ x）在 上的最小值； （ 3）證明：對任意的 x∈ （ 0， +∞ ），都有 成立． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算 f（ 1）， f′（ 1）的值，求出切線方程即可； （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 t 的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出 f（ x）的最小值即可； （ 3）設(shè) m（ x） = ﹣ ，（ x∈ （ 0， +∞ ）），求出 m（ x）的導(dǎo)數(shù)，求出 m（ x）的最大值，得到 f（ x） min≥ ﹣ ≥ m（ x） max恒成立，從而證明結(jié)論即可． 【解答】 解：（ 1） f′（ x） =lnx+x? =lnx+1， x=1 時， f′（ 1） =1， f（ 1） =0， 故 f（ x）在 x=1 處的切線方程是： y=x﹣ 1， 聯(lián)立 ， 消去 y 得： x2+（ 1﹣ a） x+1=0， 由題意得： △ =（ 1﹣ a） 2﹣ 4=0， 解得： a=3 或﹣ 1； （ 2）由（ 1）得： f′（ x） =lnx+1， x∈ （ 0， ）時， f′（ x） ＜ 0， f（ x）遞減， x∈ （ ， +∞ ）時， f′（ x） ＞ 0， f（ x）遞增， ① 0＜ t＜ t+ ≤ ，即 0＜ t≤ ﹣ 時， f（ x） min=f（ t+ ） =（ t+ ） ln（ t+ ）， ② 0＜ t＜ ＜ t+ ，即 ﹣ ＜ t＜ 時， f（ x） min=f（ ） =﹣ ； ③ ≤ t＜ t+ ，即 t≥ 時， f（ x）在 [t， t+ ]遞增， f（ x） min=f（ t） =tlnt； 綜上， f（ x） min= ； （ 3）證明：設(shè) m（ x） = ﹣ ，（ x∈ （ 0， +∞ ）），則 m′（ x） = ， x∈ （ 0， 1）時， m′（ x） ＞ 0， m（ x）遞增， x∈ （ 1， +∞ ）時， m′（ x） ＜ 0， m（ x）遞減， 可得 m（ x） max=m（ 1） =﹣ ，當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時取到， 由（ 2）得 f（ x） =xlnx，（ x∈ （ 0， +∞ ））的最小值是﹣ ， 當(dāng)且僅當(dāng) x= 時取到， 因此 x∈ （ 0， +∞ ）時， f（ x） min≥ ﹣ ≥ m（ x） max恒成立， 又兩次 最值不能同時取到， 故對任意 x∈ （ 0， +∞ ），都有 成立． 【點評】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．
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