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高考卷,全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo))(含解析版),12屆(最終定稿)-文庫吧

2025-03-26 21:17 本頁面


【正文】 ,考查計算能力. 8.( 5 分)等軸雙曲線 C 的中心在原點,焦點在 x 軸上, C 與拋物線 y2=16x的準(zhǔn)線交于點 A 和點 B, |AB|=4,則 C 的實軸長為() A. B. C. 4D. 8【 考點】 KI:圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題; 16:壓軸題.【分析】設(shè)等軸雙曲線 C: x2﹣ y2=a2( a> 0), y2=16x的準(zhǔn)線 l: x=﹣ 4,由 C 與拋物線 y2=16x 的準(zhǔn)線交于 A, B 兩點,能求出 C 的實軸長.【解答】解:設(shè)等軸雙曲線 C: x2﹣ y2=a2( a> 0), y2=16x的準(zhǔn)線 l: x=﹣ 4,∵ C 與拋物線 y2=16x 的準(zhǔn)線 l: x=﹣ 4交于 A, B 兩點,∴ A(﹣ 4, 2), B(﹣ 4,﹣ 2),將 A 點坐標(biāo)代入雙曲線方程得 =4,∴ a=2, 2a=4.故選: C.【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和 應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化. 9.( 5 分)已知ω> 0,函數(shù) f( x) =sin(ω x+)在區(qū)間[,π ]上單調(diào)遞減,則實數(shù)ω的取值范圍是() A. B. C. D.( 0, 2]【考點】 HK:由 y=Asin(ω x+φ)的部分圖象確定其解析式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題; 16:壓軸題.【分析】法一:通過特殊值ω =ω =1,驗證三角函數(shù)的角的范圍,排除選項,得到結(jié)果.法二:可以通過角的范圍,直接推導(dǎo)ω的范圍即可.【解答】解:法一:令:不合題意排除( D)合題意排除( B)( C)法二:,得:.故選: A.【點評】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,函數(shù)的解析式的求法,考查計算能力. 10.( 5分)已知函數(shù) f( x) =,則 y=f( x)的圖象大致為() A. B. C. D.【考點】4N:對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì); 4T:對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11:計算題. 【分析】考慮函數(shù) f( x)的分母的函數(shù)值恒小于零,即可排除 A, C,由 f( x)的定義域能排除 D,這一性質(zhì)可利用導(dǎo)數(shù)加以證明【解答】解:設(shè)則 g′( x) =∴ g( x)在(﹣ 1, 0)上為增函數(shù),在( 0, +∞)上為減函數(shù)∴ g( x)< g( 0) =0∴ f( x) =< 0 得: x> 0 或﹣ 1< x< 0 均有 f( x)< 0 排除 A, C,又 f( x) =中,能排除 D.故選: B.【點評】本題主要考查了函數(shù)解析式與函數(shù)圖象間的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,排除法解圖象選擇題,屬基礎(chǔ)題 11.( 5分)已知三棱錐 S﹣ ABC 的所有頂點都在球 O 的表面上,△ ABC 是邊長為 1 的正三角形, SC 為球 O的直徑,且 SC=2,則此三棱錐的體積為()A. B. C. D.【考點】 LF:棱柱、棱錐、棱臺的體積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題; 5F:空間位置關(guān)系與距離.【分析】根據(jù)題意作出圖形,利用截面圓的性質(zhì)即可求出 OO1,進(jìn)而求出底面 ABC 上的高 SD,即可計算出三棱錐的體積.【解答】解:根據(jù)題意作出圖形: 設(shè)球心為 O,過 ABC 三點的小圓的圓心為 O1,則 OO1⊥平面 ABC,延長 CO1交球于點 D,則 SD⊥平面 ABC.∵ CO1==,∴ OO1==,∴高 SD=2OO1=,∵△ ABC 是邊長為 1 的正三角形,∴ S△ ABC=,∴ V 三棱錐 S﹣ ABC==.故選: C.【點評】本題考查棱錐的體積,考查球內(nèi)接多面體,解題的關(guān)鍵是確定點 S 到面 ABC 的距離. 12.( 5 分)設(shè)點 P 在曲線上,點 Q在曲線 y=ln( 2x)上,則 |PQ|最小值為() A. 1﹣ ln2B. C. 1+ln2D.【考點】 4R:反函數(shù); IT:點到直線的距離公式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5D:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】由于函數(shù)與函數(shù) y=ln( 2x)互為反函數(shù),圖象關(guān)于 y=x 對稱,要求 |PQ|的最小值,只要求出函數(shù)上的 點到直線 y=x 的距離為的最小值,設(shè) g( x) =,利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù) g( x)的單調(diào)性,進(jìn)而可求 g( x)的最小值,即可求.【解答】解:∵函數(shù)與函數(shù) y=ln( 2x)互為反函數(shù),圖象關(guān)于 y=x 對稱,函數(shù)上的點到直線y=x的距離為,設(shè) g( x) =( x> 0),則,由≥ 0 可得 x≥ ln2,由< 0 可得 0< x< ln2,∴函數(shù) g( x)在( 0, ln2)單調(diào)遞減,在 [ln2, +∞)單調(diào)遞增,∴當(dāng) x=ln2 時,函數(shù) g( x) min=1﹣ ln2,由圖象關(guān)于 y=x對稱得: |PQ|最小值為.故選: B.【點評】本題主要考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用 ,注意本題解法中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,根據(jù)互為反函數(shù)的對稱性把所求的點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離,構(gòu)造很好 二.填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分. 13.( 5 分)已知向量夾角為 45176。,且,則 = 3 .【考點】 9O:平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算; 9S:數(shù)量積表示兩個向量的夾角.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題; 16:壓軸題.【分析】由已知可得, =,代入 |2|====可求【解答】解:∵, =1∴ =∴ |2|====解得故答案為: 3【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積定義的應(yīng)用,向量的數(shù)量積性質(zhì) ||=是求解 向量的模常用的方法 14.( 5 分)設(shè) x, y滿足約束條件:; 則 z=x﹣ 2y 的取值范圍為.【考點】 7C:簡單線性規(guī)劃.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題.【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域,由 z=x﹣ 2y 可得, y=,則﹣表示直線 x﹣ 2y﹣ z=0 在 y軸上的截距,截距越大, z 越小,結(jié)合函數(shù)的圖形可求 z 的最大與最小值,從而可求 z的范圍【解答】解:作出不等式組表示的平面區(qū)域由 z=x﹣ 2y 可得,y=,則﹣表示直線 x﹣ 2y﹣ z=0 在 y 軸上的截距,截距越大, z 越小結(jié)合函數(shù)的圖形可知,當(dāng)直線 x﹣ 2y﹣ z=0 平移到 B 時,截距最大, z 最小; 當(dāng)直線 x﹣ 2y﹣ z=0 平移到 A 時,截距最小, z 最大由可得 B( 1,2),由可得 A( 3, 0)∴ Zmax=3, Zmin=﹣ 3則 z=x﹣ 2y∈ [﹣ 3, 3]故答案為: [﹣ 3, 3]【點評】平面區(qū)域的范圍問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型,在解題時,關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域,分析表達(dá)式的幾何意義,然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想,分析圖形,找出滿足條件的點的坐標(biāo),即可求出答案. 15.( 5 分)某個部件由三個元件按下圖方式連接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件 的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布 N( 1000, 502),且各個元件能否正常相互獨立,那么該部件的使用壽命超過 1000 小時的概率為.【考點】 CP:正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題; 16:壓軸題.【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的意義,知三個電子元件的使用壽命超過 1000小時的概率為,而所求事件“該部件的使用壽命超過 1000 小時”當(dāng)且僅當(dāng)“超過 1000小時時,元件 元件 2 至少有一個正常”和“超過 1000 小時時,元件 3正常”同時發(fā)生,由于其為獨立事件,故分別求其概率 再相乘即可【解答】解:三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布 N( 1000, 502)得:三個電子元件的使用壽命超過 1000 小時的概率為設(shè) A={超過 1000 小時時,元件 元件 2至少有一個正常 }, B={超過 1000小時時,元件 3正常 }C={該部件的使用壽命超過 1000 小時 }則 P( A) =, P( B) =P( C) =P( AB) =P( A) P( B)= =故答案為【點評】本題主要考查了正態(tài)分布的意義,獨立事件同時發(fā)生的概率運(yùn)算,對立事件的概率運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,屬基礎(chǔ)題 16.( 5 分)數(shù)列 {an}滿足 an+1+(﹣ 1) nan=2n﹣ 1,則 {an}的前 60 項和為 1830 .【考點】 8E:數(shù)列的求和; 8H:數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11:計算題; 35:轉(zhuǎn)化思想; 4M:構(gòu)造法; 54:等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】由題意可得 a2﹣ a1=1, a3+a2=3,a4﹣ a3=5, a5+a4=7, a6﹣ a5=9, a7+a6=11,? a50﹣ a49=97,變形可得 a3+a1=2, a4+a2=8, a7+a5=2, a8+a6=24, a9+a7=2, a12+a10=40,a13+a15=2, a16+a14=56,?利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征,求出 {an}的前 60項和【解答】解:∵ an+1+(﹣ 1) nan=2n﹣ 1,故有 a2﹣ a1=1, a3+a2=3,a4﹣ a3=5, a5+a4=7, a6﹣ a5=9, a7+a6=11,? a50﹣ a49=97.從而可得 a3+a1=2, a4+a2=8, a7+a5=2, a8+a6=24, a9+a11=2, a12+a10=40,a13+a11=2, a16+a14=56,?從第一項開始,依次取 2 個相鄰奇數(shù)項的和都等于 2,從第二項開始,依次取 2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以 8為首項,以 16 為公差的等差數(shù)列. {an}的前 60 項和為 15 2+( 15 8+)=1830【點評】本題考查數(shù)列遞推式,訓(xùn)練了利用構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的前 n 項和,屬中檔題. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.( 12 分)已知 a, b, c 分別為△ ABC三個內(nèi)角 A,B, C 的對邊, acosC+asinC﹣ b﹣ c=0( 1)求 A; ( 2)若 a=2,△ ABC 的面積為; 求 b, c.【考點】 HP:正弦定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 33:函數(shù)思想; 4R:轉(zhuǎn)化法; 58:解三角形.【分析】( 1)已知等式利用正弦定理化簡,整理后得到 sin( A﹣ 30176。) =.即可求出 A的值; ( 2)若 a=2,由△ ABC 的面積為,求得 bc=4.①,再利用余弦定理可得 b+c=4.②,結(jié)合①②求得 b 和 c 的值.【解答】解 :( 1)由正弦定理得: acosC+asinC﹣ b﹣ c=0,即 sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴ sinAcosC+sinAsinC=sin( A+C) +sinC,即 sinA﹣ cosA=1∴ sin( A﹣ 30176。) =.∴ A﹣ 30176。 =30176?!?A=60176。; ( 2)若 a=2,△ ABC 的面積 =,∴ bc=4.①再利用余弦定理可得:a2=b2+c2﹣ 2bc?cosA=( b+c) 2﹣ 2bc﹣ bc=( b+c) 2﹣ 3 4=4,∴ b+c=4.②結(jié)合①②求得 b=c=2.【點評】本題考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng) 用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,是中檔題. 18.( 12 分)某花店每天以每枝 5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的價格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.( 1)若花店一天購進(jìn) 16 枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤 y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量 n(單位:枝, n∈ N)的函數(shù)解析式.( 2)花店記錄了 100 天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表: 日需求量 n14151617181920頻數(shù) 10202116151310以 100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.( i)若花店一天購進(jìn) 16 枝玫瑰花, X 表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求 X 的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差; ( ii)若花店計劃一天購進(jìn) 16 枝或 17 枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16 枝還是 17 枝?請說明理由.【考點】 CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差; CS:概率的應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 15:綜合題.【分析】( 1)根據(jù)賣出一枝可得利潤 5 元,賣不出一枝可得賠本 5 元,即可建立分段函數(shù); ( 2)( i) X可取 60, 70, 80,計算相應(yīng)的概率,即可得到 X 的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差; ( ii)求出進(jìn) 17 枝時當(dāng)天的利潤,與購進(jìn) 16 枝 玫瑰花時當(dāng)天的利潤比較,即可得到結(jié)論.【解答】解:( 1)當(dāng) n≥ 16 時, y=16( 10﹣ 5) =80; 當(dāng) n≤ 15時, y=5n﹣ 5( 16﹣ n) =10n﹣ 80,得: ( 2)( i) X 可取 60, 70, 80,當(dāng)日需求量 n=14 時, X=60, n=15時, X=70,其他情況 X=80, P( X=60) ===, P( X=70) =, P( X=80)=1﹣ ﹣ =, X 的分布列為 =60 +70 +80 =76DX=162 +62 +42 =44( ii)購進(jìn) 17 枝時,當(dāng)天的利潤的期望為 y=( 14 5﹣ 3 5) +( 15 5﹣ 2 5) +( 16 5﹣ 1 5) +17 5 =∵ > 76,∴應(yīng)購進(jìn) 17 枝【點評】本
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