【正文】 口袋內(nèi)任取 3 個球，那么互斥而不對立的事件是 ( )． A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有二個紅球 解析 對于 A中的兩個事件不互斥，對于 B中兩個事件互斥且對立，對于 C中兩個事件不互斥，對于 D中的兩個互斥而不對立． 答案 D 4． (2020湖北 )在 30 瓶飲料中，有 3 瓶已過了保質(zhì)期．從這 30 瓶飲料中任取 2瓶，則至少取到 1 瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為 ________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示 )． 解析 所取的 2瓶中都是不過期的飲料的概率為 P＝ C227C230＝117145，則至少有 1瓶為已過保質(zhì)期飲料的概率 P ＝ 1－ P＝ 28145. 答案 28145 考向一 互斥事件與對立事件的判定 【例 1】 ?判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從 40 張撲克牌 (紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從 1～ 10 各 10 張 )中，任取一張． (1)“ 抽出紅桃 ” 與 “ 抽出黑桃 ” ； (2)“ 抽出紅色牌 ” 與 “ 抽出黑色牌 ” ； (3)“ 抽出的牌點數(shù)為 5 的倍數(shù) ” 與 “ 抽出的牌點數(shù)大于 9” ． [審題視點 ] 可用集合的觀點判斷． 解 (1)是互斥事件，不是對立事件． 原因是：從 40 張撲克牌中 任意抽取 1 張， “ 抽出紅桃 ” 與 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還有可能抽出 “ 方塊 ” 或者 “ 梅花 ” ，因此，二者不是對立事件． (2)既是互斥事件，又是對立事件． 原因是：從 40 張撲克牌中，任意抽取 1 張． “ 抽出紅色牌 ” 與 “ 抽出黑色牌 ”兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件． (3)不是互斥事件，也不是對立事件． 原因是：從 40 張撲克牌中任意抽取 1 張． “ 抽出的牌點數(shù)為 5 的倍數(shù) ” 與 “ 抽出的牌點數(shù)大于 9” 這兩個事件可能同時發(fā)生 ，如抽得點數(shù)為 10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件． 對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． 【訓(xùn)練 1】 一個均勻的正方體的玩具的各個面上分別標以數(shù)字 1,2,3,4,5,玩具向上拋擲 1 次，設(shè)事件 A 表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件 B 表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過 3，事 件 C表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于 4，則 ( )． A． A 與 B 是互斥而非對立事件 B． A 與 B 是對立事件 C． B 與 C 是互斥而非對立事件 D． B 與 C 是對立事件 解析 根據(jù)互斥事件與對立事件的意義作答， A∩ B＝ {出現(xiàn)點數(shù) 1或 3}，事件 A，B不互斥更不對立； B∩ C＝ ?， B∪ C＝ Ω，故事件 B， C是對立事件． 答案 D 考向二 隨機事件的概率與頻率 【例 2】 ?(2020蘇州模擬 )甲： A1， A2是互斥事件；乙： A1， A2是對立事件，那么 ( )． A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 【示例 2】 ? 拋擲一枚均勻的正方體骰子 (各面分別標有數(shù)字 6)，事件 A 表示 “ 朝 上一面的數(shù)是奇數(shù) ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的數(shù)不超過 3” ，求 P(A∪ B)． 第 2 講 古典概型 【高考會這樣考】 1．考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點． 2．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計相結(jié)合進行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握解決古典概型的基本方法，列舉基本事件、隨機事件，從中找出基本事件的總個數(shù)，隨機事件所含有的基本事件的個數(shù)． 2．復(fù)習(xí)時要加強與統(tǒng)計相關(guān)的綜合題的訓(xùn)練，注重理解、分析、邏輯推理能力的提 升． 基礎(chǔ)梳理 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是 互斥 的． (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性 相等． 3． 古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的個數(shù) 基本事件的總數(shù) . 一條 規(guī)律 從集合的角度去看待概率，在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個集合I，基本事件的個數(shù) n 就是集合 I 的元素個數(shù)，事件 A是集合 I 的一個包含 m 個元素的子集．故 P(A)＝ card?A?card?I?＝ mn. 兩種方法 (1)列舉法：適合于較簡單的試驗． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時， (x， y)可以看成是有序的，如 (1,2)與 (2,1)不同；有時也可以看成是無序的，如 (1,2)與 (2,1)相同． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )一枚硬幣連擲 2 次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為 ( )． 解析 一枚硬幣連擲 2次，基本事件有 (正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 )，而只有一次出現(xiàn)正面的事件包括 (正，反 )， (反，正 )，故其概率為 24＝ 12. 答案 D 2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的 概率是 ( )． 解析 甲共有 3種站法，故站在中間的概率為 13. 答案 C 3．?dāng)S一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，則擲得奇數(shù)點的概率為 ( )． 解析 擲一顆骰子共有 6種情況，其中奇數(shù)點的情況有 3種，故所求概率為： 36＝12. 答案 C 4．從 {1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為 a，從 {1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為 b，則 b＞ a 的概率是 ( )． 解析 基本事件的個數(shù)有 5 3＝ 15(種 )，其中滿 足 b＞ a的有 3種，所以 b＞ a的概率為 315＝ 15. 答案 D 5． (2020全國新課標 )有 3 個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 ( )． 解析 甲、乙兩人都 有 3 種選擇，共有 3 3＝ 9(種 )情況，甲、乙兩人參加同一興趣小組共有 3種情況． ∴ 甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率 P＝ 39＝ 13. 答案 A 考向三 古典概型的綜合應(yīng)用 【例 3】 ?(2020山東 )甲、乙兩校各有 3 名教師報名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女． (1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選 1 名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的 2 名教師性別相同的概率； (2)若從報名的 6 名教師中任取 2 名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的 2 名教師來自同一學(xué)校的概率． 錯因 未寫出基本事件的空間，缺少必要的文字說明． 實錄 (1)P＝ 49＝ 23. (2)P＝ 615＝ 25. 正解 (1)甲校兩男教師分別用 A、 B 表示，女教師用 C 表示；乙校男教師用 D表示，兩女教師分別用 E、 F 表示． 從甲校和乙校報名的教師中各任選 1 名的所有可能的結(jié)果為： (A， D)， (A， E)，(A， F)， (B， D)， (B， E)， (B， F)， (C， D)， (C， E)， (C， F)，共 9 種， 從中選出 2 名教師性別相同的結(jié)果有： (A， D)， (B， D)， (C， E)， (C， F)，共 4種，選出的 2 名教師性別相同的概率 為 P＝ 49. (2)從甲校和乙校報名的教師中任選 2 名的所有可能的結(jié)果為： (A， B)， (A， C)，(A， D)， (A， E)， (A， F)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (B， F)， (C， D)， (C， E)，(C， F)， (D， E)， (D， F)， (E， F)，共 15 種． 從中選出 2 名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有： (A， B)， (A， C)， (B， C)， (D， E)， (D， F)， (E， F)，共 6 種， 選出的 2 名教師來自同一學(xué)校的概率為 P＝ 615＝ 25. 【試一 試】 從含有兩件正品和一件次品的 3 件產(chǎn)品中每次任取一件． (1)每次取出后不放回，連續(xù)取兩次； (2)每次取出后放回，連續(xù)取兩次． 試分別求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率． [嘗試解答 ] (1)用 a1， a2和 b1表示兩件正品和一件次品，則不放回地抽取兩次，其一切可能的結(jié)果為： (a1， a2)， (a1， b1)， (a2， a1)， (a2， b1)， (b1， a1)， (b1， a2)． 其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第一次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第二次取出的產(chǎn)品，用 A 表示 “ 取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品 ” 這一事件，則 A 所含的結(jié)果為 (a1， b1)， (a2， b1)， (b1， a1)， (b1， a2)，即基本事件的總數(shù) n＝ 6，事件A 包含的事件總數(shù) m＝ P(A)＝ 46＝ 23. (2)若為有放回的抽取，其基本事件包含的結(jié)果共有 (a1， a1)， (a1， a2)， (a1， b1)，(a2， a1)， (a2， a2)， (a2， b1)， (b1， a1)， (b1， a2)， (b1， b1)，用 B 表示 “ 恰有一件產(chǎn)品為次品 ” 這一事件，則 B 包含的結(jié)果為 (a1， b1)， (a2， b1)， (b1， a1)， (b1，a2)，即 基本事件的總數(shù) n＝ 9，事件 B 包含的事件總數(shù) m＝ P(B)＝ 49. 第 4 講 離散型隨機變量的分布列 【高考會這樣考】 1．考查離散型隨機變量及其分布列的概念理解； 2．兩點分布和超幾何分布的簡單應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時，要會求與現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系的離散型隨機變量的分布列，掌握兩點分布與超幾何分布列，并會應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．離散型隨機變量的分布列 (1)隨機變量 如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個 變量 來表示，那么這樣的變量叫 做隨機變量，隨機變量常用字母 X， Y， ξ， η 等表示． (2)離散型隨機變量 對于隨機變量可能取的值，可以按一定 次序 一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量． (3)分布列 設(shè)離散型隨機變量 X 可能取得值為 x1， x2， ? ， xi， ? xn， X 取每一個值 xi(i＝ 1,2， ? ，n)的概率為 P(X＝ xi)＝ pi，則稱表 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn 為隨機變量 X 的概率分布列，簡稱 X 的分布列． (4)分布列的兩個性質(zhì) ① pi≥ 0， i＝ 1,2， ? ， n； ② p1＋ p2＋ ? ＋ pn＝ _1_. 2． 兩點分布 如果隨機變量 X 的分布列為 X 1 0 P p q 其中 0p1， q＝ 1－ p，則稱離散型隨機變量 X 服從參數(shù)為 p 的 兩點分布． 3． 超幾何分布列 在含有 M 件次品數(shù)的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品數(shù)，則事件 {X＝ k}發(fā)生的概率為： P(X＝ k)＝ CkMCn－ kN－ MCnN (k＝ 0,1,2， ? ， m)，其中 m＝ min{M， n}，且 n≤ N， M≤ N， n、 M、 N∈ N*，則稱分布列 X 0 1 ? m P C0M北京改編 )以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù) 分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(xué) (1)求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù) y 的分布列； (2)每植一棵樹可獲 10 元，求這兩名同學(xué)獲得錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望． [審題視點 ] 本題解題的關(guān)鍵是求出 Y 的取值及取每一個值的概率，注意用分布列的性質(zhì)進行檢驗． 解 (1)分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)的方法種數(shù)是 4 4＝ 16，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù) Y 的取值分別為 17,18,19,20,21， P(Y＝ 17)＝ 216＝ 18 P(Y＝ 18)＝ 416＝ 14 P(Y＝ 19)＝ 416＝ 14 P(Y＝ 20)＝ 416＝ 14 P(Y＝ 21)＝ 216＝ 18 則隨機變量 Y 的分布列是： Y 17