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高二數(shù)學(xué)隨機變量及其分布列-在線瀏覽

2025-01-15 16:41本頁面
  

【正文】 2 ) 二項分布 在 n 次獨立重復(fù)試驗中,事件 A 發(fā)生的次數(shù) ξ 是一個隨機變量,其所有可能取的值為 0 , 1 , 2 , 3 , ? , n ,并且 P ( ξ = k ) = Cknpkqn - k( 其中 k = 0 , 1 , 2 , ? , n , q = 1 - p ) . 顯然 P ( ξ = k ) ≥ 0( k = 0 , 1 , 2 , ? , n ) , ∑nk = 0Cknpkqn - k= 1. 稱這樣的隨機變量 ξ 服從參數(shù) n 和 p 的二項分布,記為 ξ ~ B ( n , p ) . 6 .離散型隨機變量的期望與方差 若離散型隨機變量 ξ 的分布列為 ξ x1 x2 ? xn ? P p1 p2 ? pn ? 則稱 Eξ = x1p1+ x2p2+ ? + xnpn+ ? 為 ξ 的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望. Dξ = ( x1- Eξ )2 p2+ ? + ( xn- Eξ )2 B ) = P ( A )C24C29=221, P ( D ) =C24C27 A4+ B3 A5+ A3 A5, 由于各局比賽結(jié)果相互獨立,故 P ( B ) = P ( A3 A4 B4 P ( B4) A4+ B3 A4) + P ( B3 B ) + P ( A A ) =2313+ (23)3=1427, 所以甲至少摸到一次紅球的概率為 P2= 1 - P1= 1 -1427 =1327. ( 3 ) 根據(jù)題意, ξ 的可能取值為 0 , 1 , 2 , 3 ,則 P ( ξ = 0) = P ( A B A ) + P ( A A ) =1323+ (23)213=1027, P ( ξ = 2) = P ( A A ) = (13)223=227, P ( ξ = 3) = P ( A A ) = (13)3=127. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1427 1027 227 127 數(shù)學(xué)期望 Eξ = 0 1427+ 1 1027+ 2 227+ 3 127=1727. 題型三 隨機變量及分布列的綜合應(yīng)用 例 3 在某學(xué)校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投 3 次;在 A 處每投進一球得 3 分,在 B 處每投進一球得 2 分;如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃,否則投第三次.某同學(xué)在 A 處的命中率q1為 0 . 2 5 ,在 B 處的命中率為 q2.該同學(xué)選擇先 在 A處投一球,以后都在 B 處投,用 ξ 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分,其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0 . 0 3 p1 p2 p3 p4 ( 1 ) 求 q2的值; ( 2 ) 求隨機變量 ξ 的數(shù)學(xué)期望 Eξ ; ( 3 ) 試比較該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3 分的概率的大?。? 思維啟迪 ( 1) ξ = 0 對應(yīng)的事件是在三次投籃中沒有一次投中. ( 2) 類似地找清 ξ 為 2,3,4,5 對應(yīng)的事件. 解 (1 ) 由題設(shè)知, “ ξ = 0 ” 對應(yīng)的事件為 “ 在三次投籃中沒有一次投中 ” ,由對立事件和相互獨立事件性質(zhì)可知 P ( ξ = 0) = (1 - q1)( 1 - q2)2= ,解得 q2= . (2) 根據(jù)題意 p1= P ( ξ = 2) = (1 - q1)C12(1 - q2) q2= 2 = , p2= P ( ξ = 3) = q1(1 - q2)2= (1 - )2= , p3= P ( ξ = 4) = (1 - q1) q22= 2= , p4= P ( ξ = 5) = q1q2+ q1(1 - q2) q2 = + = . 因此 Eξ = 0 3 + 2 + 3 + 4 +5 = . ( 3 ) 用 C 表示事件 “ 該同學(xué)選擇第一次在 A 處投,以后都在 B 處投,得分超過 3 分 ” ,用 D 表示事件 “ 該同學(xué)選擇都在 B 處投,得分超過 3 分 ” ,則 P ( C ) = P ( ξ = 4) + P ( ξ = 5) = P3+ P4= 0 . 4 8 + 0 . 2 4 = 0 . 7 2 . P ( D ) = q22+ C12q2(1 - q2) q2= 0 . 82+ 2 0 . 8 0 . 2 0 . 8 =0 . 8 9 6 . 故 P ( D ) P ( C ) . 即該同學(xué)選擇都在 B 處投 籃得分超過 3 分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在 A 處投以后都在 B 處投得分超過 3分的概率. 探究提高 ( 1 ) 要讀懂分布列、用好分布列的性質(zhì). ( 2 )當(dāng)一個事件的概率比較難求時,可考慮事件的對立事件. 變式訓(xùn)練 3 某中學(xué)組建了 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個不同的社團組織,為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好,要求每個學(xué)生必須參加,且只能參加一個社團.假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團的選擇是等可能的. ( 1 ) 求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個社團的所有選法種數(shù); ( 2 ) 求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團的概率; ( 3 ) 設(shè)隨機變量 ξ 為甲、乙、丙這三個學(xué)生參加 A 社團的人數(shù),求 ξ 的
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