高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列-在線(xiàn)瀏覽
2025-01-15 16:41本頁(yè)面
【正文】 2 ) 二項(xiàng)分布 在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) ξ 是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為 0 , 1 , 2 , 3 ， ? ， n ，并且 P ( ξ ＝ k ) ＝ Cknpkqn － k( 其中 k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ， q ＝ 1 － p ) ． 顯然 P ( ξ ＝ k ) ≥ 0( k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ) ， ∑nk ＝ 0Cknpkqn － k＝ 1. 稱(chēng)這樣的隨機(jī)變量 ξ 服從參數(shù) n 和 p 的二項(xiàng)分布，記為 ξ ～ B ( n ， p ) ． 6 ．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 若離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列為 ξ x1 x2 ? xn ? P p1 p2 ? pn ? 則稱(chēng) Eξ ＝ x1p1＋ x2p2＋ ? ＋ xnpn＋ ? 為 ξ 的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望． Dξ ＝ ( x1－ Eξ )2 p2＋ ? ＋ ( xn－ Eξ )2 B ) ＝ P ( A )C24C29＝221， P ( D ) ＝C24C27 A4＋ B3 A5＋ A3 A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 P ( B ) ＝ P ( A3 A4 B4 P ( B4) A4＋ B3 A4) ＋ P ( B3 B ) ＋ P ( A A ) ＝2313＋ (23)3＝1427， 所以甲至少摸到一次紅球的概率為 P2＝ 1 － P1＝ 1 －1427 ＝1327. ( 3 ) 根據(jù)題意， ξ 的可能取值為 0 , 1 , 2 , 3 ，則 P ( ξ ＝ 0) ＝ P ( A B A ) ＋ P ( A A ) ＝1323＋ (23)213＝1027， P ( ξ ＝ 2) ＝ P ( A A ) ＝ (13)223＝227， P ( ξ ＝ 3) ＝ P ( A A ) ＝ (13)3＝127. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1427 1027 227 127 數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝ 0 1427＋ 1 1027＋ 2 227＋ 3 127＝1727. 題型三 隨機(jī)變量及分布列的綜合應(yīng)用 例 3 在某學(xué)校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投 3 次；在 A 處每投進(jìn)一球得 3 分，在 B 處每投進(jìn)一球得 2 分；如果前兩次得分之和超過(guò) 3 分即停止投籃，否則投第三次．某同學(xué)在 A 處的命中率q1為 0 . 2 5 ，在 B 處的命中率為 q2.該同學(xué)選擇先 在 A處投一球，以后都在 B 處投，用 ξ 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0 . 0 3 p1 p2 p3 p4 ( 1 ) 求 q2的值； ( 2 ) 求隨機(jī)變量 ξ 的數(shù)學(xué)期望 Eξ ； ( 3 ) 試比較該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過(guò) 3 分與選擇上述方式投籃得分超過(guò) 3 分的概率的大小． 思維啟迪 ( 1) ξ ＝ 0 對(duì)應(yīng)的事件是在三次投籃中沒(méi)有一次投中． ( 2) 類(lèi)似地找清 ξ 為 2,3,4,5 對(duì)應(yīng)的事件． 解 (1 ) 由題設(shè)知， “ ξ ＝ 0 ” 對(duì)應(yīng)的事件為 “ 在三次投籃中沒(méi)有一次投中 ” ，由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)可知 P ( ξ ＝ 0) ＝ (1 － q1)( 1 － q2)2＝ ，解得 q2＝ . (2) 根據(jù)題意 p1＝ P ( ξ ＝ 2) ＝ (1 － q1)C12(1 － q2) q2＝ 2 ＝ ， p2＝ P ( ξ ＝ 3) ＝ q1(1 － q2)2＝ (1 － )2＝ ， p3＝ P ( ξ ＝ 4) ＝ (1 － q1) q22＝ 2＝ ， p4＝ P ( ξ ＝ 5) ＝ q1q2＋ q1(1 － q2) q2 ＝ ＋ ＝ . 因此 Eξ ＝ 0 3 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋5 ＝ . ( 3 ) 用 C 表示事件 “ 該同學(xué)選擇第一次在 A 處投，以后都在 B 處投，得分超過(guò) 3 分 ” ，用 D 表示事件 “ 該同學(xué)選擇都在 B 處投，得分超過(guò) 3 分 ” ，則 P ( C ) ＝ P ( ξ ＝ 4) ＋ P ( ξ ＝ 5) ＝ P3＋ P4＝ 0 . 4 8 ＋ 0 . 2 4 ＝ 0 . 7 2 . P ( D ) ＝ q22＋ C12q2(1 － q2) q2＝ 0 . 82＋ 2 0 . 8 0 . 2 0 . 8 ＝0 . 8 9 6 . 故 P ( D ) P ( C ) ． 即該同學(xué)選擇都在 B 處投 籃得分超過(guò) 3 分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在 A 處投以后都在 B 處投得分超過(guò) 3分的概率． 探究提高 ( 1 ) 要讀懂分布列、用好分布列的性質(zhì)． ( 2 )當(dāng)一個(gè)事件的概率比較難求時(shí)，可考慮事件的對(duì)立事件． 變式訓(xùn)練 3 某中學(xué)組建了 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個(gè)不同的社團(tuán)組織，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好，要求每個(gè)學(xué)生必須參加，且只能參加一個(gè)社團(tuán)．假定某班級(jí)的甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五個(gè)社團(tuán)的選擇是等可能的． ( 1 ) 求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個(gè)社團(tuán)的所有選法種數(shù)； ( 2 ) 求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團(tuán)的概率； ( 3 ) 設(shè)隨機(jī)變量 ξ 為甲、乙、丙這三個(gè)學(xué)生參加 A 社團(tuán)的人數(shù)，求 ξ 的
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