【正文】 t11111 其中 11 ??? QEPB iii ，而由 ? ? ? ? 1)( 11 ??? ?? iiiii Er a n kQEPr a n kBr a n k 和 ? ? )()(1 iiii Br a n kQPBr a n kEr a n k ??? 知 ? ? riBr a n k i ,2,1,1 ??? 命題得證。 1討論向量組 ? ? ? ? ? ?TTT t,3,5,1,3,1,0,1,1 321 ???? ??? 的線性相關(guān)性。 注 討論 n 個(gè) n 維向量的線性相關(guān)性時(shí)，可將其排成 n 階方陣，通過計(jì)算該方陣的行列式，即可判別向量組的線性相關(guān)性，這是用矩陣子式判別的特殊情形。 解 （ 1） 1? 能由 32,?? 線性表示，因?yàn)?321 , ??? 線性無關(guān)，所以 32,?? 線性無關(guān)。 （ 2） 4? 不能由 321 , ??? 線性表示，用反證法：若 4? 可由 1? ， 32,?? 線性表示，即存在數(shù)組 321 , ??? 使 332214 ??????? ??? ，根據(jù)（ 1）的結(jié)論，可設(shè) 32111 ??? ll ?? ，則有 ? ? ? ? ? ? 332122113322322114 ?????????????? ???????? llll 即 4? 可由 32,?? 線性表示，從而 432 , ??? 線性相關(guān)，這與題設(shè)予盾，故 4? 不能由321 , ??? 線性表示。 解 取 01?? 故 1? 線性無關(guān)，添加 2? ，易知 21,?? 線性無關(guān)，再添加 3? ，由于 213 3 ??? ?? 所以 321 , ??? 線性相關(guān)，改添加 4? ，易知 421 , ??? 線性無關(guān)，再添加 5? ，由于 4215 ???? ??? ，所以 5421 , ???? 線性相關(guān)，故 421 , ??? 是該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，從而向量組的秩為 3。 2求下列向量組的 秩和最大無關(guān)組。 （ 2）對(duì)以 4321 , ???? 為列構(gòu)成的矩陣 B 時(shí)行初等行變換 1042133000000042133005500042131215342BB ?????????????????????????????????????????? 則 21 ?? rank BranB 又 1B 的第 1,3 列是 1B 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，故 31,?? 是所級(jí)向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 2設(shè)矩陣 ? ?RkkkA ?????????????3021101231 求 （ 1） A的零空間 ??AN 的基與維數(shù)； （ 2） A的列向量 4321 , ???? 生成的向量空間的基與維數(shù)。向量空間 ? ?4321 , ????L 中的所有向量都可由向量組 4321 , ????線性表示，從而都可由該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組線性表示，故向量組 4321 , ???? 的秩和任一最大地關(guān)組分別是 ? ?4321 , ????L 的維數(shù)和基。 當(dāng) 2?k 時(shí)， 3?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ?T1,1,0,3??? ，從而它的維數(shù)為 1。 2在 4R 中，求 ? ?1,1,2,1?? 在基 ? ? ? ? ? ?1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 321 ??????? ??? ? ?1,1,1,14 ???? 下的坐標(biāo)。 解法 1 設(shè) 44332211 ????? kkkk ???? ，由向量相等的定義得 ???????????????????????11214321432143214321kkkkkkkkkkkkkkkk 解此線性方程組，得惟一解 ,41,41,45321 ???? kkk 414 ??k ，故 ? 在給定基下的坐標(biāo)為 ?????? ?? 41,41,41,45 解法 2 向量 ? 的 4 個(gè)分量可以理解為 ? 在 4R 的基 ? ? ? ? ? ? ? ?1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321 ???? eeee 下的坐標(biāo)，容易求出由基4321 , eeee 到基 4321 , ???? 的過渡矩陣 ???????????????????1111111111111111C 設(shè) ? 在基 4321 , ???? 下的坐標(biāo)為 ? ?4321 , yyyy 則由坐標(biāo)變換公式求得 ??????????????????????????????????????????????????????4/14/14/14/5112141112114321CCyyyy 2設(shè) 3R 的兩組基為 （Ⅰ）：??????????????????????????????????101,101,111321 ??? （Ⅱ）：?????????????????????????????????343,432,121321 ??? 求曲基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣。 解 采用中介基法求過渡矩陣 C，引進(jìn) 3R 的標(biāo)準(zhǔn)基 321 , eee ，并寫出由它到基（Ⅰ）的過渡矩陣 A，及到基（Ⅱ）的過渡矩陣 B。 分析 采用中介基法求過渡矩陣比較方便，已經(jīng)知道 ? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)，可利用坐標(biāo)變換公式求出 ? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)。 2已知方陣??????????????11312221?A ， 3 階方陣 0?B 滿足 OAB? ，試求 ? 的值。 解 將 B 按列分塊為 ? ?321 , ????B ，則 OAB? 等價(jià)于 ? ?3,2,10 ?? jA j? 由 0?B 知0?Ax 有非零解，故必有 0det ?A ,由此解得 1?? 2設(shè) ?????????????????????164242156241121113011A 求方程組 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示方程組的通解。 由式（ *）得出通解 ?????????????????25241321221122kxkxkxkkxkkx或向量形式???????????????????????????????????110220011121 kkx ? ?Rkk ?,21 基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?TT 1,1,0,2,2,0,0,1,1,1 21 ??? ?? 方法 2 先求基礎(chǔ)解系， 再寫出通解 在式（ *）中依次令 ??????????????????? 10,0153xx 可求得????????????????????????????????122,011321xxx 組合成基礎(chǔ)解系 ? ? ? ?TT 1,1,0,2,2,0,0,1,1,1 21 ??? ?? 通解為 ),( 213211 Rkkkkx ??? ?? 2設(shè)???????????101102121cccA ，且方程組 0?Ax 的解空間的維數(shù)為 2，求 0?Ax 的通解。 解 ? ? ? ? ???????????????????????????????22 1100102221011120102121cccccccccA 欲使 2?rankA ，只有 ? ? 012 ??c ，可得 1?c ，此時(shí)，同解方程組為 ??? ????41231 xxx xx 通解為 ? ? ? ?TT kkx 1,0,1,00,1,1,1 21 ???? ? ?Rkk ?21, 。 2設(shè) 1? 與 2? 是非齊次線性方程組 bAx? 的兩個(gè)不同的解， 1? 與 2? 是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0?Ax 的基礎(chǔ)解系， 1k 與 2k 是任意常數(shù)，則 bAx? 的通解為 。且線性無關(guān)，故構(gòu)成基礎(chǔ)解系，從而（ b）是 bAx? 的通解。（ a）中的表達(dá)式僅是 0?Ax 的解，（ c）中的表達(dá)式不定是 bAx? 的解（比如 212?k）。 解 對(duì)方程的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，可得 ? ? ? ?? ? ????????????????????????????????21000121211221112121122 ?????bA ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????210001321104311012100012122331???????? 易見，當(dāng) 1?? 或 2??? 時(shí)，方程組有解。 2??? 時(shí)通解為??????????????????????111022kx ， k 為任意常數(shù)。 測(cè) 試 題 —— 解析幾何與線性代數(shù) （一） 一 判斷題 (對(duì)的寫“ Y”錯(cuò)的寫“ N” ) ? ?是有理數(shù)babaP i ,/?? 是數(shù)域。 ( ) 3 的整數(shù)倍的全體都構(gòu)成數(shù) 域。 （ ） 其中 n， m 為任意非負(fù)整數(shù)， ia ， jb （ i=0，?， n； j=0，?， m）是整數(shù)。 （ ） 零多項(xiàng)式次數(shù)為 0。 （ ） 如 ? ? ? ? 0?xgxf ，則必有 ? ? 0?xf 或 ? ? 0?xg 。 ( ) 如 ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxf ? ，則 ? ? ? ? ? ? ? ?xhxfxgxf 或 。 （ ） 1一個(gè)多項(xiàng)式若只有零次多項(xiàng)式作它的因 式，則它也是零次多項(xiàng)式。 （ ） 14 、 常數(shù) C 與任一多項(xiàng)式的最大公因式為此常數(shù) C 。 （ ） 1如 ? ? ? ?xdxd 21 , 分別 是 ??xf 與 ??xg 的最大公因式， 且 ? ? ? ?xdxd 21 ? ， 則? ? ? ?xgxf ?。 （ ） 1 若兩多項(xiàng)式互素，則它們的次數(shù)都大于 或 等于零。 （ ） 若 ? ?xf 不整 除 ??xg ， ??xg 不整除 ??xf ，那么 ? ? ? ?? ?xgxf , =1。 23 、 p[x]中每個(gè) n 次多項(xiàng)式都在 P 中有 n 個(gè)根，對(duì)嗎？ （ ） 24 、 零次多項(xiàng)式有零個(gè)根，即沒有根，這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？ （ ） 25 、 A與 B都是 3 2 矩陣，則 A與 B的乘積也是 3 2 矩陣 。 （ ） 2 A是 nm