【正文】 ( 3 ) , c os ,866 6 7 7c os , c os 。 解 co s spsp? ??1 , 2 , 3p q r? ? ?s p q r? ? ? s ps s s?? ? ? ? ?p q r p q r? ? ? ? ?2 2 2 14pqr? ? ? ?()p q r psp???2114psp??例 12 設(shè)向量 ，且 平行于 ， 求 . }3,2,{},1,2{ ??? nbma a bnm,解 向量 平行于 ，所以 a b3212 mn ???則 .23,4 ???? mn1 3 ( 1 , 2 , 3 ) , ( 3 , 4 , 5 ) , ( 2 , 4 , 7 ).A B CS例 求 以 為 頂 點 的三 角 形 的 面 積ACABS ?? 21解 由向量定義，三角形面積： 因為 kjiACkjiAB ?????? 42,222 ??????kjikjiACAB??????264421222 ?????1421 ??? ACABS所以 （ 觀察教材的解法，考慮是否有比這更方便的方法？ ） 例 1 4 在頂點為 )2,1,1( ?A 、 )2,6,5( ?B 和)1,3,1( ?C 的三角形中，求 AC 邊上的高 BD . ABC解 D}3,4,0{ ??AC}0,5,4{ ??AB三角形 ABC的面積為 ||21 ABACS ?? 222 16121521 ??? ,225?|| AC ,5)3(4 22 ???? ||21 BDS ?? || AC||521225 BD??? .5|| ?? BD例 15 求垂直于向量 與 的單位 向量 . },1,2,2{?a }3,5,4{?b解 垂直于向量 、 的向量有 和 a b ba? ab?354122kjiba ?? kjikji 22542234125512 ??????kjiab 22 ?????同理可得 所以所求向量為 和 }32,32,31{ ????baba }32,32,31{ ?????abab例 16已知 且 ，求 解 2法 設(shè) 3 , 4ab??則 解法 1 ab? ( 3 ) ( 2 )a b a b? ? ?? ? ? ?3 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0ab??( 3 ) ( 2 )a b a b? ? ?3 3 2 2a a a b b a b b? ? ? ? ? ? ? ?5 ab? ? ?( 3 ) ( 2 ) 5a b a b a b? ? ? ? ?5 si n 6 02ab???? ? ? ?3 9 , 4 , 0 , 2 3 , 8 , 0a b a b? ? ? ? ? ?( 3 ) ( 2 ) 9 4 03 8 0i j ka b a b? ? ? ? ??? ?0 , 0 , 60?( 3 ) ( 2 ) 6 0a b a b? ? ? ?向量代數(shù) 向量概念（模、方向余弦、 坐標(biāo)表示、單位向量） 向量運算（加減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積、夾角、平行 四邊形面積） 向量運算性質(zhì) 非零向量的平行、垂直 小結(jié) 作業(yè) ? 1， 2， 3。 xyzo0MMn},{ CBAn ? },{ 0000 zzyyxxMM ????0 0 0( ) ( ) ( 1)0 ()A x x B y y C z z? ? ? ? ? ?則由 00 ?? MMn,得 )( 000 CzByAxD ????(2) 稱為平面一般方程 . 例 1 （ 1 ） 試寫出與 yOz 面平行 , 且過 x 軸上的點 )0,0,1( 的平面方程 . 解 因為 x 軸垂直于 yOz 面 , 所以 , x 軸上的單位向量 i 可作為與 yOz 面平行的平面的法向量 n ，即 { 1 , 0 , 0 }ni ?? ，所以，過點 )0,0,1( , 且以 ? ?1 , 0 , 0 為法向量的平面方程為 特殊的平面方程 0)0(0)0(0)1(1 ??????? yxx1?x1?x )0,0,1( yOz整理得 即 表示過點 且與 面平行的平面方程 . 特殊的平面方程 例 1 （ 2 ） 求過點 )1,1,0(),1,0,0(),0,0,0( 21 BBO 的平面方程 . 解 點 )1,1,0(),1,0,0(),0,0,0(21 BBO 不在一直線上 , 所以 ,這三點惟一確定一平面 , 令所求平面方程為 0???? DCzByAx 將三點坐標(biāo)分別代入上式得 ?????????????????011001000000DCBADCBADCBA ( 1 ) ,( 2) ,( 3 ) , 由方程 ( 1) 得 0?D , 再由 (2) 的 0?C 再將 0,0 ?? DC代入方程 )3( 知 0?B , 于是得 0?Ax )0( ?A 即 0?x 為所求平面方程。即 x,0)3( ?? BA 平面平行于 坐標(biāo)面 。2?x （ 2 ） 。1?? yx （ 4 ） 1???czbyax（ cba , 均不為 )0 z O x y 2 z O x y 1 z O x y 1 1 A B C c a b z O x y 例 1 （ 4 ） 描繪出下列平面方程所代表的平面： 平面位置關(guān)系 兩平面的位置關(guān)系 1?2???1n2n定義： 稱兩平面的法向量的夾角稱為 兩平面的夾角 （通常指銳角）． 設(shè)有二平面 ：1 1 1 1 1: 0 ,A x B y C z D? ? ? ? ? 2 2 2 2 2:0A x B y C z D? ? ? ? ? 則其法向量分別為： 1 1 1 1 2 2 2 2{ , , }, { , , }n A B C n A B C??由點 積與余弦關(guān)系得： 222222212121212121c osCBACBACCBBAA?????????（ 1）兩平面所成的夾角 0: 11111 ???? DzCyBxA?0: 22222 ???? DzCyBxA?設(shè)平面 則它們的位置關(guān)系分別為 : 垂直、平行、重合 0212121 ??? CCBBAA 的充要條件為 21 ?? ? ∥ 的充要條件為 1? 2?1? 2? 與 重合的充要條件為 21212121DDCCBBAA ???21212121DDCCBBAA ???（ 2）兩平面的平行、垂直、重合判定 例２ 判定下列各組平面間的位置關(guān)系： 12:)1( 1 ??? zyx? 2633:2 ???? zyx?21623131????????解： 因為兩個平面的法向量分別為： ,}2,1,1{1 ??n }6,3,3{2 ???n018)6(23)1()3(121 ????????????? nn因此平面 不垂直， 21,??又 所以兩平面平行但不重合。 解： 因為 03}1,1,2{}2,1,1{21 ?????? nn121121 ???兩個平面既不垂直也不平行，所以兩個平面斜交。 判定兩平面的位置關(guān)系 ,并求兩平面間的距離 . 28149)6(42526)1(412222????????????d由于點（ 1， 1， 2）在平面 上，所以點到 的 距離即為所求： 2? 1?建立平面方程方法小結(jié) （ 2）以平面點法式方程為基礎(chǔ)，先找出平面的法 向量，結(jié)合空間想像確定平面方程。 這 時方 程 應(yīng) 理 解 為pzznyymxx 000 ?????‥‥ (2) 000, , 0 0xxm n pyy???? ???當(dāng) 中 有 兩 個 為 時 應(yīng) 該 理 解 為（ 3）直線的參數(shù)方程 tp zzn yym xx ?????? 000 ???????????ptzzntyymtxx000 那么由于 ∥ ,設(shè) MM0S)3( 000????????????ptzzntyymtxx即稱 (3)為 直線的參數(shù)式方程 幾種建立直線方程的條件分析 : （ 1）求過一個已知點且垂直于某平面 (或平行與某直線 )的直線方程 —— 則取該點及已知直線的方向向量或平面法向量即可 (2)求過兩個已知點的直線方程 —— 則取該點與兩點所確定的向量作為直線的方向向量 （ 3）求過一個已知點且平行于兩個（不平行）的平面的直線方程 —— 則取法 兩個（不平行）法向量的叉積作為直線的方向 向量 直線標(biāo)準(zhǔn)式方程 —— 已知直線上一個 點的坐標(biāo) 和直線的 方向向量 即可 ???????????012012:1 zyxzyxl}1,1,3{}1,2,1{}2,1,1{ ?????解 因為所求直線的方向向量為 所以所求直線 方程為 : l例 7 求過點 且平行于直線 的直線 方程 )1,2,1(0 ?M111231 ?????? zyx如果此題改為與兩個已知平面都平行,其結(jié)果會怎樣 1l例 8 解 求過點 ( , , )1 2 4 2 3 4 0? ? ? ? ?且與 x y z垂直的直線方程 ． 因為直線的方向向量為平面的法向量 ? ?1,3,2 ? ， 故所求直線方程為： ? ?1,3,2 ??n??143221 ?????? zyx解 已知直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 : 11232 ???? zyxtx 32 ??例 9 求過點 且與直線 L: 垂直的平面方程 . )3,2,1(0Mty 2? tz ??? 1,}1,2,3{因為