[高考數(shù)學(xué)]平面向量與解析幾何綜合問題-在線瀏覽
2025-02-24 19:44本頁面
【正文】 x,y)的軌跡 C的方程 . [提示：設(shè) K( 3 ,0)， F ( 3 ,0)，則 b? ? i? 表示 KP 在 x軸上射影，即點(diǎn) P到 x= 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 第 2 頁共 13 頁 3 的距離，所以點(diǎn) P 到定點(diǎn) F 的距離與到定直線 x= 3 的距離比為?1 ??iba??? ，當(dāng) 110 ??? 時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡是以 ( 3 ,0)為焦點(diǎn)，以 x= 3 為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓；當(dāng) 11?? 時(shí)，點(diǎn) P的軌跡是以 ( 3 ,0)為焦點(diǎn)，以 x= 3 為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線的右支；若想得到雙曲線的雙支 ? 應(yīng)滿足什么條件？ ] [題設(shè)變式 ] 已知平面上兩定點(diǎn) K、 F， P為一動(dòng)點(diǎn)，滿足， KFKP? KFPF? .求點(diǎn) P(x,y)的軌跡 C的方程 .(以 F焦點(diǎn)，過 K且垂直于 KF的直線為準(zhǔn)線的拋物線 ) [題設(shè)變式 ] 已知平面上兩定點(diǎn) K、 F， P 為一動(dòng)點(diǎn)，滿足， KFKP? PF?? .求點(diǎn) P(x,y)的軌跡 C的方程 .(以 F焦點(diǎn)，過 K且垂直于 KF的直線為準(zhǔn)線的圓錐曲線。 例 已知 1F ， F 橢圓 126 22 ?? yx 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的直線 BC 交橢圓于 B、 C兩點(diǎn)， (1) )(21 OBOCOM ?? ，求點(diǎn) M的軌跡方程 . [答案 13)1( 22 ??? yx ] (2)若相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的準(zhǔn)線 l 與 x軸相交于點(diǎn) A， |OF|=2|FA|，過點(diǎn) A 的直線與橢圓相交于 P、 Q 兩點(diǎn) .設(shè) AQAP ?? （ 1?? ），過點(diǎn) P 且平行于準(zhǔn)線 l 的直線與橢圓相交于另一點(diǎn) M，證明 : FQFM ??? . 解： (1)略 (2) 證明： ),3(),3( 2211 yxAQyxAP ???? .由已知得方程組 ?????????????????.126,126,),3(3222221212121yxyxyyxx?? 注意 1?? ，解得 ??2 152 ??x 因 ),(),0,2( 11 yxMF ?，故 ),1)3((),2( 1211 yxyxFM ??????? ? ),2 1(),21( 21 yy ???? ?????? . 而 ),2 1(),2(222 yyxFQ ?? ????，所以 FQFM ??? . 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 第 5 頁共 13 頁 [結(jié)論發(fā)散 ]設(shè) P( 00,yx )為橢圓上一點(diǎn)， (1)求 PFPF?1 的 Min (2)求 PFPF?1的 Max (3)當(dāng) PFPF?1 0時(shí)， 0x 的取值范圍。 (6)已知點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (1,1)，求 PFPQ26?的最小值 (7)已知點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (1,1)，求 PFPQ? 的最值 [提示 ] PFPQ? ? PFPQ? =QF PFPQ? =2a+ 1PFPQ? ? 2a+ 1PFPQ? =2a+ QF1 例 A、 B為拋物線 pyx 22 ? (p0)上兩點(diǎn)，直線 AB過焦點(diǎn) F， A、 B在準(zhǔn)線上的射影分別為 C、 D， （ 1） 若 6???OBOA ，求拋物線的方程。 [題設(shè)變更 2]（ 2022 全國湖南文 21）如圖，過拋物線 x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn) P（ 0,m） (m0)作直線與拋物線交于 A， B 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) P分有向線段 AB 所成的比為 ? ，證明 : )( QBQAQP ??? ； 解：依題意，可設(shè)直線 AB的方程為 ,mkxy ?? 代入拋物線方程 yx 42 ? 得 .0442 ??? mkxx ① 設(shè) A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ),( 11 yx 、 122 ),( xyx 則 、 x2是方程①的兩 根 . 所以 .421 mxx ?? 由點(diǎn) P（ 0， m）分有向線段 AB 所成的比為 ? ， 得 .,01 2121 xxxx ????? ??? 即 又點(diǎn) Q是點(diǎn) P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 故點(diǎn) Q的坐標(biāo)是（ 0，－ m），從而 )2,0( mQP? . ).)1(,(),(),( 21212211 myyxxmyxmyxQBQA ????? ?????????? ])1([2)( 21 myymQBQAQP ??? ?????? 2212121222121 4 4)(2])1(44[2 x mxxxxmnxxxxxxm ????????? .04 44)(2 221 ?????? x mmxxm 所以 ).( QBQAQP ??? 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 第 7 頁共 13 頁 思維能力訓(xùn)練 一、選擇題 （ 2022年新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知 )3,1(),1,3( ?BA ，若點(diǎn) C 滿足 OBOAOC ?? ?? ，其中 R???, ，且 1???? ，則點(diǎn) C 的軌跡方程為 ( ) A. 01123 ??? yx B. 5)2()1( 22 ???? yx C. 02 ??yx D. 052 ??? yx 已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )2( , b? = jyix ???? )2( ,且滿足 |a? |+|b? |= P(x,y)的軌跡是 .( ) A、橢圓 B．雙曲線 C．線段 D．射線 已知四邊形 ABCD 是菱形，點(diǎn) P在對(duì)角線 AC上（不包括端點(diǎn) A、 C），則 AP=
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