jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化(畢業(yè)論文)-在線瀏覽
2024-10-30 17:52本頁(yè)面
【正文】 ?????? 易知 , J 的初等因子就是 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss? ? ? ? ? ?? ? ?. .由于 J 與 A 有相同的初等因子 ,所以它們相似 . 假設(shè)有另一個(gè) Jordan 型矩陣 K 與 A 相似，那么與 A 有相同的初等因子，因此， K 與 J 除了其中 Jordan 塊排序外是相同的，唯一性得證 .證畢 . 畢業(yè)論文 第 13 頁(yè) 共 27 頁(yè) 例 題 5 （ 1） 在 例 中 求出的 B?()的初等因子的基礎(chǔ)上 ,求出 B 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 . （ 2） 求出例 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 . 解 （ 1） 由于 B?()的初等因子為 : ? ? ? ?33,a b a b??? ? ? ? 所以 B 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型為 1111abababababab?????????????? （ 2） 由 22 4 3 14 6 3 13 3 1 ( 1 ) ( 2)IA???? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 知 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型為 1212????????. 4 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型的性質(zhì) 及 應(yīng)用 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)化 的應(yīng)用是廣泛的 ,下面 將利用其給出 H am ilton C ayley?定理的證明 ,并說(shuō)明其 在矩陣分解及在求解線性微分方程組中的應(yīng)用 . 4． 1 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 在證明 H am ilton C ayley? 定理中的應(yīng)用 定理 [4]13 （ H am ilton C ayley? 定理 ） 設(shè) A 是 復(fù)數(shù)域 C 上任意 n 階方陣 , A 的特征多項(xiàng)式為 () IA? ? ???||,則 ( ) 0A? ? ,其中 I 為 n 階單位矩陣 . 畢業(yè)論文 第 14 頁(yè) 共 27 頁(yè) 證明 ：存在秩為 n 的 n 階 復(fù) 方陣 P ,使 1P AP J? ? ,其中 J 是 A 的 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 ,可以寫(xiě)成 12nJ??????????????, 其中 ? 代表 1 或 0,因?yàn)?12, , , n? ? ? 是 A 的 特征值 ,故 12( ) = nIA? ? ? ? ? ? ? ? ???| | ( ) ( ) ( ). 從而 12( ) nA A I A I A I? ? ? ?= ( )( ) ( ) 1 1 1 11 2 1 2 ( nnP J P I P J P I P J P I P J I J I J I P? ? ? ? ? ?? ? ? ?= ( ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) 12 121 2 112000nnnnPP?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?= 12 10 0 00 0 00nn??? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?= = = 0 利用 H am ilton C ayley? 定理 可 以簡(jiǎn)化矩陣計(jì)算 . 其實(shí) ,該定理?yè)Q成線性變換語(yǔ)言 為： 定理 14[5] （關(guān)于線性變換的 H am ilton C ayley? 定理） 設(shè) V 為 n 維復(fù)線性空間 , :T V V? 為給定的線性變換 ,設(shè) 12m? ? ?， ， 為 T 的特征值 . 1( ) ( ( )Tmf ? ? ? ? ?? ? ?) 為 T 的特征多項(xiàng)式 .令 g()T 表示將 ()Tf ? 中的 ? 用 T 代替 , k? 用 kI? 代替之后所得到的常系數(shù)變換 ,即 畢業(yè)論文 第 15 頁(yè) 共 27 頁(yè) 1g( ) ( ( mT T I T I??? ? ?） ）, 則 g()T 是零算子 ,即 g()T 將 V 中每一個(gè)向量都映為零向量 ： g( )( ) 0,T x x V? ? ?. 注意 每 個(gè)特征值 k? 都滿足多項(xiàng)式方程 ( ) 0Tf ? ? , H am ilton C ayley?定理則是說(shuō) T 滿足方程 ( ) 0TfT? . 4． 2 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 在 矩陣分解 中的應(yīng)用 定理 15 復(fù)數(shù)域 C 上任意 n 階方陣 ,都等于兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積 ,并且其中之一是的 非退化的 . 證明 ： 設(shè) A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 為 12SJJJJ????????? 則存在 P , 使 1PAP J? ? 令 111iQ????? ????, iQ 與 iJ 階數(shù)相同 . 令 12S?????????, 則有 畢業(yè)論文 第 16 頁(yè) 共 27 頁(yè) 39。,Q Q Q J Q J Q?? ? ?. 故 1 1 39。 39。 1 1 39。 39。 39。( ) ,B P Q P C A P Q P????, 則 A BC? 其中 , B 對(duì)稱(chēng)且非退化 ,C 為對(duì)角陣 ,這是因?yàn)? 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。()P Q J Q Q P P J Q P P J P P Q P A P Q P C?? ? ? ? ?. 定理 16[6] 設(shè) A 是數(shù)域 P 上的 n 階方陣 ,能分解成 P 上一次因子之積 ,則A M N??,其中 M 是冪零陣 , N 相似于對(duì)角陣 ,且 MN NM? . 證明 （ 證法一） AM?()能 分解成 P 上一次因子之積 ,說(shuō)明 A 的 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 J 是一個(gè) n 階方陣 12SJJJJ????????? 令 01010iii i iiJ B C???????????? ? ? ??????? ?? iB 是冪零 Jordan 塊 , iC 是對(duì)角陣 . 設(shè) iJ 的階為 ir , 12m ax( , , , )nk r r r? . 則 畢業(yè)論文 第 17 頁(yè) 共 27 頁(yè) 1 1 1 1()A P J P P B C P P B P P C P? ? ? ?? ? ? ? ? 其中 1122,SSBCBCBCBC? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 令 11,P B P M P CP N???? 則 1100kkM P B P P P??? ? ?, N 相似于對(duì)角陣 C ,且 1 1 1 1 1 1M N P B P P C P P B C P P C B P P C P P B P N M? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 證畢 . 證明 （證法二）由定理 12,存在可逆矩陣 P , 使得 1A P JP?? , 其中 1 1()()smmsJJJ????????? 并且 ( )( 1, , )imiJ i s? ?是主對(duì)角線元為 i? 的im階 Jordan 塊 . 令 畢業(yè)論文 第 18 頁(yè) 共 27 頁(yè) 01( ) , ( 1 , , )10iiiii m i i mmm
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