矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計算畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-07 22:17本頁面
【正文】 1693年）（微積分理論的提出者之一）在大致相同的時地獨自建立了行列式理論。1750年，加布里爾隨后，由于研究的需要，行數(shù)等于列數(shù)的行列式在解決重要的數(shù)學(xué)問題是有很大的局限性，無法滿足實際需要。矩陣的當(dāng)代概念體系在19世紀(jì)慢慢完成。在這一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中，1850年，英國的詹姆斯（James Joseph Sylvester）最開始使用矩陣這個名字將數(shù)字構(gòu)成的矩形陣列和最開始的行列式分離。在1858年，凱萊（Cayley）在他所寫的《矩陣論的研究報告》里面有體系地說明了矩陣的一些基本理論。除此之外，凱萊（Cayley）亦在報告里寫下了方陣的特征方程以及特征根還有矩陣的少許基本結(jié)論。德國數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯（Frobenius）最先提出了最小多項式的概念，矩陣中秩的概念介紹、不變的因素和主要因素、正交矩陣的相似變換，矩陣的其他概念，如合同、不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等。1892年，梅茨勒（Metzler）使用并發(fā)展了矩陣函數(shù)及其相關(guān)概念并用它們整理出矩陣冪級數(shù)的形式。到了這個時候，矩陣體系業(yè)已很完善了。本論文的題目是矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計算，所以主要論述便是性質(zhì)和計算。最后本文將會介紹矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用。矩陣的譜 矩陣通過數(shù)學(xué)運算計算出來的特征值的集合就是一個矩陣的譜，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來也就是：表示的譜，即；矩陣的譜半徑 設(shè)是階數(shù)為的矩陣，其中矩陣的特征值是，若寫作數(shù)學(xué)表達(dá)式也就是：為A的譜半徑。矩陣的化零多項式與它的最小多項式 , 如果多項式滿足，則稱是的化零多項式。依據(jù)高等代數(shù)的基本定理，在復(fù)數(shù)域的范圍里可以有如下證明： 設(shè) ,是中的個特征值，他們互不相同，為矩陣A的最小多項式同時,其中 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值擁有足夠多階，同時一下個值(稱在影譜上的值) 有意義，則可以說函數(shù)在矩陣的譜影上有定義。 矩陣級數(shù)：設(shè)是的矩陣序列，在這里，矩陣集的無窮和稱為矩陣的級數(shù)，可以記作。如果矩陣級數(shù)不收斂，則可稱作發(fā)散的。齊次微分方程組 在線性微分方程組 （）如果則稱（）為非齊次線性的，如果則為齊次線性的，此時方程形式為 通常上式稱為對應(yīng)于（）的齊次線性微分方程組。在雙線性代數(shù)的領(lǐng)域中，正定矩陣似復(fù)數(shù)中的正實數(shù)的性質(zhì)。正定矩陣的定義分為廣義的定義和狹義的定義。例如：一個階的矩陣，表示一個單位矩陣，指正實數(shù)。狹義定義：是階的實對稱矩陣，同時是正定的，在這里當(dāng)且僅當(dāng)，對于所有的非零實系數(shù)向量，都存在。Hermitian矩陣是階復(fù)方陣，在這里如果的對稱單元互為共軛，也就是說的共軛轉(zhuǎn)置矩陣就是它自己，則方陣是埃爾米特矩陣(Hermitian Matrix)。推論 是階Hermitian矩陣，同時也是正定（半正定）矩陣的充分必要的條件是矩陣中所求得的所有的特征值都大于等于0。范德蒙矩陣范德蒙矩陣是法國數(shù)學(xué)家范德蒙(Vandermonde,AlexandreTheophile, 1735～1796) 提出的一種各列為幾何級數(shù)的矩陣。酉矩陣 如果一個的復(fù)數(shù)矩陣，這個矩陣滿足條件：在這里，是的共軛轉(zhuǎn)置，是階單位矩陣，可以被稱作酉矩陣。在本章中，將從齊次線性微分方程組基解矩陣的求解開始，對矩陣指數(shù)的概念進(jìn)行研究，然后再對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)討論，本文將會一步一步將矩陣指數(shù)函數(shù)和齊次線性微分方程組聯(lián)系起來，并證明矩陣就是齊次線性微分方程組的基解矩陣。首先，齊次線性微分方程組可以簡單的表示為 （）這里是常數(shù)矩陣。為了求解（）的基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù)。特別的，在這里，我們可以設(shè)定。特別的，對所有的元都為的零矩陣，有。易知對于一切正整數(shù)，有，又因為任意矩陣，是一個確定的實數(shù)，所以數(shù)值級數(shù)是收斂的（上式和為）。進(jìn)一步指出，級數(shù) （）在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。因為（）是一致收斂的，所以可以對（）進(jìn)行求導(dǎo)。在之前的兩個小節(jié)中，本文已經(jīng)證明了（）的收斂性同時也介紹了矩陣指數(shù)相關(guān)性質(zhì)。 矩陣 （）是（）的基解矩陣。又有。證畢。由此，求解（）基解矩陣的問題便可以轉(zhuǎn)化為對矩陣指數(shù)函數(shù)的求解。在本章開始我們將簡單的介紹矩陣函數(shù)的性質(zhì)，再對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行描述與證明. 假設(shè)和是兩個互相不一樣的多項式，在這里是一個階矩陣，那么他的充要條件就是在的影譜上和的值對應(yīng)相等，即通過利用矩陣多項式，以下將寫出矩陣函數(shù)的定義． 設(shè)在階矩陣的影譜上函數(shù)有定義，即它的值是確定值．如果是一個多項式，同時符合那么矩陣函數(shù)可以定義作。 設(shè)，是復(fù)值函數(shù)，并且在有定義，那么矩陣指數(shù)函數(shù)，擁有下面7條性質(zhì)：（1）（2）（3）如果和可交換，也就是說當(dāng)時，有；（4）對于任何矩陣，總是可逆的，同時；（5）；（6），其中是的跡。證明 (1) 知若命，則但由于，于是有反之亦然．（2） 知（3）在滿足的情況下，二項式公式成立，因此在證明(1)過程中的式子可以整理為或故。因此令 ，那么在上有定義，又設(shè) ，為整函數(shù)， ，又也是整函數(shù)，若， ，從而 .同時．如果將表示為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，即知，且．令，唯一，并有假使是正規(guī)矩陣，可以推導(dǎo)得 （）另一方面，若符合式（），那么是正規(guī)矩陣，即 設(shè)，是正規(guī)矩陣的充分必要的條件為成立。證明 必要性．設(shè)存在 ，有．記的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是式中：是Jordan塊的階數(shù)，由引理可知，從而有 ，即存在，有充分性．設(shè)對任何，方程有解存在．令的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是于是存在可逆矩陣，使,于是作式中：從而有故知 ()若令，則式()中. 設(shè)，式(7)成立的充要條件是：存在酉矩陣，使得 ()式中：是可以對角化的矩陣．證明 必要性．設(shè)式(7)成立， 是正規(guī)矩陣，存在酉矩陣，使得 （）式中： 是單位陣。4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法矩陣指數(shù)函數(shù)的計算，即的計算有很多種計算方法。本文在本節(jié)會提到的三種方法，此三種方法并沒確定矩陣，因此對矩陣并沒有特殊的要求，即矩陣并不是特殊矩陣。當(dāng)時，矩陣指數(shù)函數(shù)的每個元素都滿足階線性微分方程，并且是階矩陣線性微分方程 () ()的唯一解。下面證明這唯一解就是矩陣指數(shù)函數(shù)． 階方陣的特征多項式:如果，則，(Hamilton‐Cayley定理)．同時滿足初值條件()．所以是階矩陣線性微分方程，的唯一解．證畢．在這里本文設(shè)定矩陣存在個互不相等的特征值．所以微分方程的通解是為階常數(shù)矩陣。通常矩陣有重復(fù)的特征值，假設(shè)有個互不相同的特征值，每
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