jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對角化(畢業(yè)論文)-展示頁
2024-09-08 17:52本頁面
【正文】 初等因子 ,其中 11abbaabBbaabba????????????????= 解 : 11abbaabIBbaabba?????????????? ????????= 由于有兩個 5 階子式 2 2 2 311[ ( ) ] ( ) , 011a b bb a aa b a ba b a bb a aa a b????????????? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? 是互素的 ,所以 5 =1D ?() 從而 14DD??( )= = ( )= 1 畢業(yè)論文 第 9 頁 共 27 頁 而又 2 2 36 [ ( a ) b ]D I B? ? ?? ? ? ?( ) = 所以 B 的不變因子為 331 5 6 6( ) ( ) 1 , ( ) ( a b ) ( a b ) ,d d d D? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?() 所以 B 的初等因子為 33( a b) , ( a b) .??? ? ? ? 3 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與矩陣可對角化 在掌握了 ? 矩陣 的基本概念 :行列式因子、不變因子、初等因子基礎(chǔ)上我們將進(jìn)入 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與矩陣可對角化 理論的核心 . 3． 1 對角化的 定義及判定 定理 定義 7 如果方陣 A 相似于對角陣 ,即存在可逆矩陣 P 和對角陣 D ,使得1A PDP?? ,則 稱 A 可對角化 . 定理 [3]8 (對角化定理 ) n 階 矩陣 A 可對角化的充分必要條件是 A 有 n個線性無關(guān)的特征向量 . 事實(shí)上 , 1A PDP?? ,D 為對角陣的充分必要條件是 P 的列向量是 A 的 n個線性無關(guān)的特征向量 .此時 ,D 的對角線上的元素分別是 A 的對應(yīng)于 P 中的特征向量的特征值 . 換句話說 ,A 可對角化的充分必要條件是 有 n 個線性無關(guān)的 特征向量形成n 的基 ,我們稱這樣的向量為特征向量基 . 證 首先看到 ,若 P 是列為 12, , , n? ? ? 的任一 n 階矩陣 ,D 是對角線元素為 12, , , n? ? ? 的對角陣 ,那么 ? ? ? ?1 2 1 2, , , , , ,nnA P A A A A? ? ? ? ? ??? （ 1） 而 畢業(yè)論文 第 10 頁 共 27 頁 ? ?121 1 2 2, , , nnnAP D P?? ? ? ? ? ? ???????????? （ 2） 現(xiàn)在假設(shè) A 可對角化且 1A PDP?? ,用 P 右乘等式兩邊 ,則有 AP PD? .此時由 （ 1）和（ 2）得 ? ? ? ?1 2 1 1 2 2, , , , , ,n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 3） 由列相等 ,有 1 1 1 2 2 2= , = , , =n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 4） 因?yàn)?P 可逆 ,故 P 的列 12, , , n? ? ? 必定線性無關(guān) .同樣 ,因?yàn)檫@些 12, , , n? ? ?非零 ,（ 4）表示 12, , , n? ? ? 是特征值 , 12, , , n? ? ? 是相應(yīng)的特征向量 .這就證明了定理中第一 ,第二和隨后的第三個命題的必要性 . 最后 ， 給定任意 n 個特征向量 12, , , n? ? ? ， 用它們作為矩陣 P 的列 ,并用相應(yīng)的特征值來構(gòu)造矩陣 D ,由 （ 1） ~（ 3） ,等式 AP PD? 成立而不需要特征向量有任何條件 .若特征向量是線性無關(guān)的，則 P 是可逆的 ,由 AP PD? 可推出 1A PDP?? .證畢 . 例 題 4 可能的話 ,將下面的矩陣 A 對角化 ： 2 4 34633 3 1A????? ? ? ??? 解 由 A 的特征多項(xiàng)式 ： 3 2 20 de t ( ) 4 ( 1 ) ( 2)AI ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得特征值是 1?? 和 2?? .但當(dāng)我們找特征向量時 對于 1?? 的特征向量： 1111????????????? 畢業(yè)論文 第 11 頁 共 27 頁 對于 2?? 的特征向量 ： 2110????????????? 沒有有其他特征向量了 ,A 的每個特征向量都是 1? 或 2? 的倍數(shù) ,因此不能利用A 的特征向量構(gòu)造出 3 的基 .由定理 ,A 不能對角化 . 3． 2 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與對角化的關(guān)系 定義 8 形如 1212()()()knnnkJJJJ??????????,（ 12+ + =kn n n n? ） 的 塊對角陣為 Jordan 型矩陣 ,并稱方陣 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i k???? ??????????? 為 in 階 Jordan 塊 . 注意 當(dāng) ()iniJ ?都是一階 Jordan 塊時 ,即 ? ? ? ? ? ?121 1 2 2( ) , ( ) , , ( )kn n n k kJ J J? ? ? ? ? ?? ? ?, 有 J 為對角陣 ,由此看出 對角陣 其實(shí) 只是 Jordan 陣的特例 . 性質(zhì) 1 矩陣 J 可對角化 ,當(dāng)且僅當(dāng) kn? . 性質(zhì) 2 Jordan塊的個數(shù) k （相同的子塊計(jì)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)）是 J 的 .線性無關(guān)特征值向量的個數(shù) . 定理 9 兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià) . 定義 9 稱 n 階數(shù)字矩陣 A 的特征矩陣 EA? ? 的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣 A 的行列式因子、不變因子和初等因子 . 定理 10 兩 個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子） . 畢業(yè)論文 第 12 頁 共 27 頁 定理 11 復(fù)數(shù)域上兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子 . 注意 其實(shí) ,結(jié)合上定理 ,不難發(fā)現(xiàn) 初等因子 ? ?ma?? 與 m 階 Jordan 塊 mm11aaa ????????? 存在一一對應(yīng)關(guān)系 .因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 ,即有如下定理： 定理 12(Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 定理 ) 復(fù)數(shù)域上任何一個數(shù)字方陣 A 都與一個Jordan 型矩陣相似 ,這個 Jordan 型矩陣除去其中 Jordan 塊排序外是被 A 唯一確定的 ,稱它為 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 . 證明 : 設(shè) n 階復(fù)矩陣 A 的初等因子為 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss? ? ? ? ? ?? ? ? 其中 12, , , s? ? ? 可能有相同的 ,指數(shù) 12 smm m 也可能有相同的 .每一個初等因子 m()ii??? 對應(yīng)于一 個 Jordan 塊 , 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i s???? ???????????. 這些 Jordan 塊構(gòu)成一個 Jordan 型矩陣 , 12sJJJJ???
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