【正文】 dimV =n秩 ()wE A? =n秩 2()wE A? = 2dimV 。當 w≠ i? （ i=1,2， ? ,n）時， 1T? ()wE A? T= 1nww??????????。設 11nT A T??????????。因此本體可改為 n階方陣 A相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數 w，總有 1V = 2V 。 例 5：證明： n 階方陣 A 相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數 w，由 2( ) 0wE A x??可以導出 ( ) 0wE A x??，其中 E是單位方陣， x是 n維列向量。由題設 AB=BA，有 1P? AB= 1P? BAP，即（ 1P? AP）（ 1P? BP） =（ 1P? BP） ( 1P? AP),也即∧（ 1P? BP） =（ 1P? BP）∧。 例 4：設 n 階方陣 A 的 n 個特征值互異，又設 n 階方陣 B 滿足 AB=BA，證明 B 可對角化。故 A 相似于對角矩陣000rE??????。于是，由題設條件 r（ A） =rn 得 r(AE)=nr，從而齊次線性方程組 A? =（ A0E） ? =0的基礎解析含有 nr 個解向量，即 A的屬于特征值 ? =0的線性無關特征向量有 nr個；而齊次線性方程組（ AE） ? =0的基礎解析含有 r個解向量，即 A的屬于特征值 ? =1的線性無關特征向量有 r個。 證：設 A? =? ? （ ? ≠ 0），即 ? 是 A 的特征值， ? 是 A對應 ? 的特征向量。 第一種情況：用 定理 1來做 下面 證明題。 定理 2：設 A 為 n 階實對稱矩陣，則必有正交矩陣 P，使 1P AP? =? ，其中 ?是以 A的 n個特征值為對角元素的對角矩陣。 證明一個矩陣可對角化 矩陣相似對角化 的定義 ： 所謂矩陣相似對角化是指矩陣和某對角形矩陣相似。 （ 2）1kii A??= 1T? 1kII??????T= 1T? nI T=nI 。令iA = 1T?00iI????????T，（ i=1,2， ? ,k） ,則 2iA = iA ，（ i=1,2， ? ,k），此即 iA 為冪等陣。 例 2：設 A 是 n n 方陣， A有 k個不同的特征值 1? ? k? .證明：若 A可對角化，則必存在 n n 冪等陣 1A ,? , kA ,使得（ 1） ijAA =0（ i≠ j）；（ 2）1kini AI? ??（ nI 是 n n單位陣）；（ 3） A=1kiii A???。唯一性得證。同理， U= 1U 。下證 A=LDU分解的唯一性。1*01????????。 P=12 1 2 212000n n nnpppp p p????????= 10*1?????? 11 00 nnpp??????， Q=11 12 122 2000nnnnq q qqqq????????= 11 00 nn??????39。0nnQ p aa???????=Q，則 1p? 為下三角矩陣從而 p 也為下三角矩陣， Q 為上三角矩陣。0nnQ p aa???????。其中 A1=P1Q1 ， P1 為下三角矩陣， Q1 為上三角矩陣。⑴當 n=1時， A=PQ 顯然正確。 A=PQ,P 為一系列初等下三角矩陣之積仍為下三角矩陣， Q為最后 A經變化所得的階梯形上三角矩陣。 例 1：設 n 級矩陣 A 的順序主子式都不等于零，則 A 可以唯一的分解成 A=LDU的形式，其中 L為單位下三角矩陣（對角線元素都是 1 的下三角 矩陣）， D 為對角矩陣， U為單位上三角矩陣。而每一個上（下）三角矩陣又等于一個單位上（下）三角矩陣和一個對角陣的乘積。 本科生畢業(yè)論文設計 有關對角矩陣的證明與應用 作 者 姓 名 ： 韓忠珍 指 導 教 師 ： 劉淑霞 所 在 學 院 ： 數學與信息科學學院 專 業(yè) （ 系 ） ： 數學與應用數學 班 級 （ 屆 ）： 2021 屆數學 C 班 二〇一 三 年 五 月 一 日目 錄 有關對角矩陣的證明與應用 數學與信息科學學院 數學與應用數學專業(yè) 指導教師 劉淑霞 作 者 韓忠珍 摘要： 矩陣的對角化是反映矩陣性質的一個重要概念 ,不論是對數學專業(yè)學生學習高等代數還是非數 學專業(yè)學生學習線性代數而言學習和理解它的含義都是十分必要的。通過本篇論文 主要研究矩陣的對角化的有關問題 ,總結了矩陣對角化的運算 ,性質 ,求法 ,以及在解決高等代數，常微分方程、空間解析幾何的問題中所滲透的一些與矩陣對角化相關的知識 ,使得對矩陣的對角化有了更加深刻的理解與認識 ,從而能夠更加靈活運用相關知識解決相關問題 . 關鍵詞 :矩陣的對角化 特征值 特征向量 1 有關對角矩陣的證 明 有關對角矩陣的分解 第一種情況：對任意一個 n 級矩陣 A 的順序主子式都不等于零，我們可以利用初等變換將其 化為一個上三角矩陣，即 A等于一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。利用以上結論可以證明一些例題。 證明：令 A= 11 11nn nnaaaa??????，由于 n級矩陣 A的順序主子式都不等于零故 a11≠ 0，用 ai1/a11(i=2,3, ? )乘以第一行 依次加到以下各行，又由于 A的順序主子式都不等于零，則 a22′ ≠ 0，依次往下消零，相當于 A進行一系列初等變換得到一個上三角矩陣。令P=12 1 2 212000n n nnpppp p p????????， Q=11 12 122 2000nnnnq q qqqq????????. 下面用數學歸納法證明上面 A 可以分解成 A=PQ 的形式是正確的。⑵假設當 A 為 n1 階矩陣時結論成立，則當 A 為 n 階矩陣時有 A= 1nnAaba??????。A= 1nnAaba??????= 11nnpq aba??????. 1101nEbQ?????????11 001p???????11nnp q aba?????? = 11139。令1 1 01nEbQ?????????11 001p???????= 1p? ， 11139。那么 A=PQ 。1*01????????. 令L= 10*1??????， D= 11 00 nnpp??????11 00 nn??????， U=39。則 A=LDU其中L 為單位下三角矩陣（對角線元素都是 1 的下三交矩陣）， D 為對角矩陣， U 為單位上三角矩陣。假設又有 A= 1 1 1LDU 也滿足分解條件，則 LDU= 1 1 1LDU ，11L? LDU 1U? = 111 1 1 1L LDUU??, 11L? L= 1111DUU D??,由于等式左邊是單位下三角矩陣等式右邊是單位上三角矩陣，故 11L? L=E,即 L= 11L? 。從而 D= 1D 。 第二種情況：利用分塊矩陣和若 A可對角化則存在可逆陣 T使A= 1T? 1s????????T，我們可以證明一些有關矩陣分解的問題。 證：（ 1）由于 A 可對角化，因此存在可逆陣 T，使 A= 1T? 11kkII????????T，其中 1I ， ? , kI 均為 1n ， ? , kn 階單位陣，且 1n +2n +? +kn =n。且 ijAA =0（ i≠ j）。 （ 3）