jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化(畢業(yè)論文)-文庫(kù)吧資料
2024-09-04 17:52本頁(yè)面
【正文】 12( ) ( ) ( ) ( )tQ Q Q Q? ? ? ?? 就是所要求的 ? 矩陣 .它們都是初等矩陣的乘積 ,從而使可逆的 .證畢 . 引理 1 設(shè) ? 矩陣 1 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =( ) ( ) ( )nnm m m na a aa a aAa a a? ? ?? ? ??? ? ??????? 的左上角元素 11( ) 0a ? ? ,并且 至少有一個(gè) ()ija? 不能被 11()a ? 整除 ,則一定可畢業(yè)論文 第 4 頁(yè) 共 27 頁(yè) 以找到一個(gè)與 ()A? 等價(jià)的矩陣 ,它的左上角元素不為零 ,且次數(shù)比 11()a ? 的次數(shù)低 . 定理 3 任意 mn? 階的 ? 矩陣 ()A? 都必定 可以通過(guò)初等變換找到 一個(gè)與之等價(jià)的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 . ? ?1200rddD d??? ?????? ??????()()() 這里 ( ( ))rank A r? ? . 非零對(duì)角元 1 2 r( ), ( ), , ( )d d d? ? ?是首一（首項(xiàng)系數(shù)為 1）多項(xiàng)式，并且 1( ) ( ) ( i 1, 2 , , r 1 )iidd??? ??| 例 題 [2]2 求 ? 矩陣 22 2 21()1+A? ? ?? ? ? ?? ? ??????????? 的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 . 解 222 2 2 21 1 1 0 0( ) 0 0 0 01 0 0 0 0A? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 即為所求的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 . 2． 2 ? 矩陣 的性質(zhì) 定義 4 矩陣 ()A? 的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型中的非零對(duì)角元 畢業(yè)論文 第 5 頁(yè) 共 27 頁(yè) 1 2 r( ), ( ), d ( )dd? ? ?， 稱為 ()A? 的不變因子 . 定義 5 矩陣 ()A? 的所有非零 k階子式的首一（最高次項(xiàng)系數(shù)為 1） 最大公因式 ? ?Dk ? 稱為 ()A? 的 k 階行列式因子 . 定理 4 等價(jià)矩陣具有相同的秩和相同的各級(jí)行列式因子 . 證明 設(shè) ? 矩陣 ()A? 經(jīng)過(guò)一次行初等變換化為了 B?()， f?()與 g?()分別是 A?()與 B?()的 k 階行列式因子 .需要證明 fg??( )= ( ) .分 3 種情況討論： （ 1） ? ?,ijAB??????( ) ( ),此時(shí) ,B?()的每個(gè) k 階子式或者等于 A?()的某個(gè) k 階子式 ,或者與 A?()的某個(gè)階子式反號(hào) ,所以 , f?()是 B?()的 k 階子式的公因子 ,從而 fg??( )| ( ) . （ 2） iAB?????????? (c)( ) ( ),此時(shí) ,B?()的每個(gè) k 階子式或者等于 A?()的某個(gè) k 階子式 ,或者等于 A?()的某個(gè) k 階子式的 c 倍 .所以 , f?()是 B?()的 k階子式的公因式 ,從而 fg??( )| ( ) . （ 3） ijAB????????????? ()( ) ( ),此時(shí) ,B?()中那些包含 i 行與 j 行的階子式和那些不包含 i 行的 k 階子式都等于 A?()中對(duì)應(yīng)的 k 階子式； B?()中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 階子式 ,按 i 行分成兩個(gè)部分 ,而等于 A?()的一個(gè) k 階子式與另一個(gè) k 階子式的 ???()倍的和 ,也就是 A?()的兩個(gè) k 階子式的線性組合 ,所以 , f?()是的 k 階子式公 因式 ,從而 fg??( )| ( ) . 對(duì)于列變換 ,可以一樣地討論 .總之 , A?()經(jīng)過(guò)一系列的初等變換變成B?()，那么 fg??( )| ( ) .又由于初等變換的可逆性 ,B?()經(jīng)過(guò)一系列的初等變畢業(yè)論文 第 6 頁(yè) 共 27 頁(yè) 換可以變成 A?(),從而也有 gf??( )| ( ) . 當(dāng) A?()所有的階子式為零時(shí) ,B?()所有的 k 階子式也就等于零 ； 反之亦然 .故 A?()與 B?()又相同的各階行列式 因子 ,從而有相同的秩 .證畢 . 既然初等變換不改變行列式因子 ,所以 ,每個(gè) ? 矩陣 與它的標(biāo)準(zhǔn)型有完全相同的行列式因子 .而求標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣是較為簡(jiǎn)單的 ,因而 ,在求一個(gè) ? 矩陣 的行列式因子時(shí) ,只要求出它的標(biāo)準(zhǔn)型的行列式因子即可 . 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的行列式因子 .設(shè)標(biāo)準(zhǔn)型為 1200rddd?????????????()()() 其中 1, ,id i r? ?( )( )是首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 多項(xiàng)式 ,且1 1, , 1iid d i r??? ??( )| ( )( ),其他的元素都是 ,在這種形式的矩陣中 ,如果有一個(gè) k 階子式包含的行與列的標(biāo)號(hào)不完全相同 ,那么這個(gè) k 階子式一定為 ,為了計(jì)算 k 階行列式因子 ,只要看 由 12, , , ki i i 有行與 12, , , ki i i 列12 ki i i r??(1 )組成的 k 階子式就可以了 ,而這個(gè) k 階子式等于 12i i ikd d d? ? ?( ) ( ) ( ). 顯然 ,這種 k 階子式的最大公因式就是 12 kd d d? ? ?( ) ( ) ( ). 定理 5 矩陣 A?()的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的 ,并且 11 1()( ) ( ) , 2 , 3 , ,()kk kDd D d k rD ?? ? ? ??? ? ?( ) ( ). 證明 設(shè) ()A? 的標(biāo)準(zhǔn)是 畢業(yè)論文 第 7 頁(yè) 共 27 頁(yè) 1200rddd?????????????()()(). 由于 ()A? 與1200rddd?????????()()()等價(jià)，則它們有相同的秩與相同的行列式因子 ,因此 , ()A? 的秩就是標(biāo)準(zhǔn)型的主對(duì)角線上非零元素的個(gè)數(shù) r . ()A? 的 k 階子式因子就是 12( ) 1 , 2 , ,kkD d d d k r? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) 于是 21 1 211( ) ( )( ) ( )rrrDDd D d d??? ? ? ??( ) = ( ) , ( ) = , , ( ) =. 這說(shuō)明 A?()的標(biāo)準(zhǔn)型的主對(duì)角線上的非零元素是被 A?()的行列式因子所唯一決定的 ,所以 A?()得標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的 .證畢 . 定理 6 矩陣 ()A? 與 B?()等價(jià)的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子） . 證明：上一個(gè)定理的證明給出了 ? 矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系 .這個(gè)關(guān)系式說(shuō)明行列式因子與不變因子是相互確定的 .因此 ,說(shuō)兩個(gè)矩陣有相同的各階行列式因子 ,就等于說(shuō)它們有相同的各級(jí)不變因子 . 必要性已由定理 給出 . 充分性 顯然 .事實(shí)上，若 ? 矩陣 ()A? 與 B?()有相同的不變因子 ,則 ()A?畢業(yè)論文 第 8 頁(yè) 共 27 頁(yè) 與 B?()和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型等價(jià) ,因而 ()A? 與 B?()等價(jià) .證畢 . 定義 6 矩陣 ()A? 的所有非常數(shù)不變因子 的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的不可約因式方冪的全體 稱為 ()A? 的初等因子 . 定理 7 矩陣 ()A? 與 B?()等價(jià)的充要條件是它們有相同的初等因子 ,并且秩相等 . 例 題 3 求矩陣 B 的
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1