有關(guān)對角矩陣的證明與應(yīng)用畢業(yè)論文設(shè)計(jì)-文庫吧資料
2025-06-11 14:20本頁面
【正文】 a? ? ?????=(a1)( 2a 25),故 A 的特征值為 1 2 31, 5, 5a a a? ? ? ?。P 為對稱矩陣，從而 1C 為對 稱矩陣，進(jìn)而 21,..., rCC? 全為對稱矩陣且 r( 1C A)=r( 1iiCC? ? )=r(B 1rC? )=1,i=1,2,? ,r2. 簡化矩陣乘方的計(jì)算 如果 A可對角化，即存在可逆陣 P 使 1P? AP=12naaa????????，兩邊做 k次方，因而 1P? kA P=12kkknaaa????????，得到計(jì)算矩陣乘方的公式：kA =P12kkknaaa????????1P? 。P 。P ， ? ， 1rC? = 2rC? + P10000ra ???????????39。P , B 1rC? =P0000ra??????????39。不妨令 1C A=P100a????????39。P (BA)P=100raa??????????，故 BA=P100raa??????????39。A =BA,從而BA 為對稱矩陣。()BA? = 39。A =A, 39。 例 4：設(shè) A， B為數(shù)域 P上的兩個(gè)不同的 n階對稱矩陣，且 r(BA)=r，這里 r(A)代表矩陣 A 的秩。 第二種情況：利用對于任意一個(gè) n級實(shí)對稱矩陣 A，都存在一個(gè) n 級正交矩陣 T，使 1T? AT 成對角形。由 A cE dE B? ? ? 為正定矩陣知 dc+is 0, 1,2,...,in? .即 is cd0, 1,2,...,in? 。M = 1nss?????? 故 M((cd)E+（ AB） ) 39。由于39。X ()dE B? X0,且39。 ()X A cE dE B X? ? ?= 39。由于 ia c0( 1,2,...,in? )， d jb0（ 1,2,...,jn? ），故 A cE? ， dE B? 全為正定矩陣。()P A cE P? = 1nacac????????， 39。QBQ = 1nbb??????，從而 39。還有存在正交陣 P,Q 使 39。()A cE? = A cE? ， 39。 1,..., na a a a??全部大于零，故存在實(shí)數(shù) a，使得 aEA為正定矩陣。 證： 因?yàn)?A 為實(shí)對稱矩陣，所以 aEA也為實(shí)對稱矩陣， a 為任意值。 設(shè) A,B 均為 n級正定矩陣， , 1,2,...,ia i n? 為 A的 n個(gè)特征值，, 1, 2,...,jb j n? 為 B的 n個(gè)特征值。由于 0ib 1, ( 1,2,..., )in? ,所以 1ib? 10,故 1B? 1A? 合同于一個(gè)對角線元素都大于零的對角矩陣，即 11BA??? 也是正定矩陣。P ，故 1P? （ 1B? 1A? ）139。 1 1 1( ( ) )nbbPPb? ? ?????????=P11121nbbb???????????39。 1 1 1(( ) )PP? ? ? =P 39。P （ AB）P=12111 nbbb?????????且 AB 正定知 1b ， 2b ， ? , nb 全小于一。T BT為正定矩陣，所以 1b ， 2b ， ? , nb 全大于零。QTATQ =E, 39。P AP= 39。T BT的特征值。39。T AT=E，顯然 39。 例 2：設(shè) A,B 都是 n 階正定矩陣，證明：如果 AB正定，則 11BA??? 也是正定矩陣。00 ssaEaE??????也為對角陣，從而得證①式成立。00 ssaEaE??????1s??????=39。1T? AT=111s????????39。iB = iB （ i=1， 2， ? ,n），從而存在正交陣 iQ ，使39。P BP= 1P? BP= 1 00 SBB??????,其中 iB 與 iE 是同階方陣（ i=1， 2， ? ,n）由39。1,..., saa互不相同。00 ssaEaE??????，其中 iE 是單位陣， 39。事實(shí) 上，存在正交陣 P，使 1P? AP=39。A =BA=AB∴ AB 是 n階實(shí)對稱陣。()AB = 39。 例 1：已知 A,B 均為 n階實(shí)對稱正定陣，且有 AB=BA，試證： AB也是正定矩陣。T AT = 1T? AT 成對角形。而且不同特征值的特征向量有線性無關(guān)，令 T=（ 12, ,..., n? ? ? ）則 T 為可逆陣而且 AT=（ 12, ,..., n? ? ? ）1212rrssraEaEaE????????此即 1T? AT=1212rrssraEaEaE????????故 A可對角化。因此（ ia EA）? =0 的基礎(chǔ)解析所含向量為 ir 個(gè)（ i=1,2， ? ,s），那么在（ 1a EA） ? =0中，有 1r 個(gè)線性無關(guān)的特征向量為11,..., r??；在（ 2a EA） ? =0 中，有 2r 個(gè)線性無關(guān)的特征向量為1 1 21,...,r r r????； ? 。 （ 2）再證充分性。設(shè) A相似與對角陣，即存在可逆陣 T=（ 12, ,..., n? ? ? ），使 1T? AT=1212rrssraEaEaE????????則 1T? （ 1a EA）= 21210()()rssra a Ea a E????????.所以秩（ 1a EA） =2r +? + sr =n1r 。 證：設(shè) f(? )= 1212( ) ( ) ...( ) srrr sa a a? ? ?? ? ?。由此知 A可對角化。進(jìn)一步得到 1m + 2m =n。另一方面，有（ IA） （ I+A） =0，得到 r（ IA） + r（ I+A） ≤ n。設(shè) 2a =1 的幾何重?cái)?shù)為 2m 就是方程組（ I+A） X=0 的基礎(chǔ)解析所含向量的個(gè)數(shù)，因而 2m =nr（ I+A） ?，F(xiàn)在來求它們的幾何重?cái)?shù)。 證：設(shè) A的特征值為 a，對應(yīng)的特征向量是 X。 第三種情況：用 A可對角化的充分必要條件（ 3） A的每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)和她的代數(shù)重?cái)?shù)相等來做一些證明題。進(jìn)而 A 相似于對角矩陣。用反證法，若 A不相似于對角矩陣，一定存在若當(dāng)性矩陣 J使111stT A TJJ???????? ??????其中11111nnaJa ??????????，1n ＞ w=a，則1T? ()wE A? T=10110staaaE J???????????????????????????1T?2()wE A? T=2122()()0 0 1100()staaaE J???????????????????????????從而 1dimV ＜ 2dimV 從而與 1V =2V 矛盾。 再證充分性。從而 1T? 2()wE A? T= 212()0()kkn??????????????仍有秩 ()wE A? =秩 2()wE A? 。 當(dāng)kw ?? （還可能有多重特征值。所以秩 ()wE A? =秩 2()wE A? ，于是 1
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