jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化(畢業(yè)論文)(參考版)
2024-08-31 17:52本頁面
【正文】 圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印 4）圖表應(yīng)繪制于無格子的頁面上 5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔 1）設(shè)計(jì)（論文） 畢業(yè)論文 第 27 頁 共 27 頁 2）附件：按照任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂 3）其它 。 ：任務(wù)書、開題報(bào)告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送 交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 作者簽名： 日 期： 畢業(yè)論文 第 24 頁 共 27 頁 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。對(duì)本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。 Tele Press,2020 [6] 王卿文 ,線性代數(shù)核心思想及應(yīng)用 [M],北京 ,科學(xué)出版社 ,2020 Jordan Canonical Form and Diagonalization of Matrix Author: Xu Zhucheng Supervisor: Wan Jinlong Abstract This paper basing on the properties of ? matrix and diagonalization as the main line,deduces the most profound conclusion of Linear Algebra Jordan canonical form theorem. Then,it uses the Jordan canonical form theorem to solve the problems of the proof of HCaylay Theory, the matrix deposition, linear differential equations and so on. Keywords diagonalization of matrix ? matrix Smith canonical form Jordan canonical form HamiltonCaylay Theory 畢業(yè)論文 第 22 頁 共 27 頁 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。 39。 1 39。 39。 39。C P Q P A P Q P A P P P Q P A P P P Q J P??? ? ? ? 39。 1 39。 1 39。 39。 39。 39。( ) ( ( ) ) ( )A P J P P Q J Q P P Q P A P Q P P Q P A P Q P? ? ? ? ? ?? ? ? ? 令 1 1 39。 39。 39。 1 1 39。 1 39。畢業(yè)論文 第 1 頁 共 27 頁 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與矩陣可對(duì)角化 摘要 本文以 ? 矩陣 的性質(zhì)為基礎(chǔ) ,對(duì)角化問題為主線 ， 推導(dǎo)出線性代數(shù)中最深刻的結(jié)論 —— Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型定理 .然后 ,應(yīng)用 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型定理去解決 HamiltonCayley定理的證明 ,矩陣分解 ,線性 微分方程組 求解 的問題 . 關(guān)鍵詞 矩陣對(duì) 角化 ? 矩陣 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 HamiltonCayley定理 1 引言 n 階矩陣 A 與對(duì)角陣相似的充要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 .那么 當(dāng)只有 mm n?()個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí) ,A 與對(duì)角陣是不相似的 .對(duì)這種情況 ,我們“退而求其次” ,尋找“幾乎對(duì)角的 ”矩陣 來與 A 相似 .這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問題 . Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型是最接近對(duì)角的矩陣并且其 有關(guān) 的理論包含 先前 有關(guān)與對(duì)角陣相似的理論作為特例 .此外 , Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 的廣泛應(yīng)用涉及到HamiltonCayley 定理的證明 ,矩陣分解 ,線性微分方程組的求解等等 . 2 ? 矩陣 由于 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型的求解與特征多項(xiàng)式有關(guān) ,而從函數(shù)的角度看 ,特征多項(xiàng)式實(shí)際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣） ,這就 引出對(duì) ? 矩陣 的研究 . ? 矩陣 及其標(biāo)準(zhǔn)型 定義 1 稱矩陣 ( ) ( ( ))ijAf??? 為 ? 矩陣 ,其中元 素 ( ) ( 1 , 2 , , 。 1 , 2 , , )ijf i m j n? ?? 為數(shù)域 F 上關(guān)于 ? 的多項(xiàng)式 . 定義 2 稱 n 階 ? 矩陣 ()A? 是可逆的 ,如果有 ? ? ? ? ? ? ? ? nA B B A I? ? ? ??? 畢業(yè)論文 第 2 頁 共 27 頁 并稱 B?()為 ()A? 的逆矩陣 .反之亦然 . 定理 [1] 矩陣 ()A? 可逆的充要條件是其 行列式為非零的常數(shù) ,即 ( ( )) 0det A c? ??. 證明：（ 1）充分性 設(shè) ? ?=Ad? 是一個(gè)非零的數(shù) . ? ?*A? 表示 ()A? 的伴隨矩陣 ,則 ? ?1*dA?? 也是一個(gè) ? 矩陣 ,且有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 * 1 *A d A d A A I? ? ? ????? 因此 , ()A? 是可逆的 . (2)必要性 設(shè) ()A? 有可逆矩陣 B?(),則 ? ? ? ?A B I??? 兩邊取行列式有 ? ? ? ? 1A B I?? ?? 由于 ? ?A? 與 ? ?B? 都是多項(xiàng)式 ,而它們的乘積為 1,所以它們都是零 次多項(xiàng)式 ,即都是非零常數(shù) .證畢 . 例 題 1 判斷 ? 矩陣 ? ?2 + 1 2 1=11A??? ? ????????? 是否可逆 . 解 雖然 ? ?22+ 1 2 1= 1 = 01A??? ? ? ? ??? ? ? ? ()A? 是滿秩的 ,但 ? ?A? 不是非零常數(shù) ,因而 ()A? 是不可逆的 . 畢業(yè)論文 第 3 頁 共 27 頁 注意 與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可 逆的 .這么 定義 可逆是有必要的 ,可逆的本質(zhì)就是要保證變換的矩陣可以 通過 非零 常數(shù)的倒數(shù) 逆回去 . 定義 3 如果矩陣 ()A? 經(jīng)過有限次的初等變換化成矩 陣 B?()，則稱矩陣 ()A? 與 B?()等價(jià) ,記為 ? ? ? ?AB??? 定理 2 矩陣 ()A? 與 B?()等價(jià)的充要 與 條件是存在可逆矩陣? ? ? ?QP ??、 ,使得 ? ? ? ? ? ? ? ?QB P A? ? ? ?? 證明 因?yàn)?? ? ? ?AB??? ,所以 A?()可以經(jīng)過有限次初等變換變成B?(),即存在初等矩陣 12( ), ( ), , ( )sP P P? ? ? 與初等矩陣 12( ), ( ), , ( )tQ Q Q? ? ? 使得 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )stB P P P A Q Q Q? ? ? ? ? ? ? ?? 令 12( ) ( ) ( ) ( )sP P P P? ? ? ?? ,
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