jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對角化(畢業(yè)論文)-wenkub.com
2024-08-23 17:52 本頁面
【正文】 、圖表要求： 1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準(zhǔn)請他人代寫 2）工程設(shè)計類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計算機繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技 術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。 39。 39。 39。 39。( ) ,B P Q P C A P Q P????, 則 A BC? 其中 , B 對稱且非退化 ,C 為對角陣 ,這是因為 39。 39。 39。 1 , 2 , , )ijf i m j n? ?? 為數(shù)域 F 上關(guān)于 ? 的多項式 . 定義 2 稱 n 階 ? 矩陣 ()A? 是可逆的 ,如果有 ? ? ? ? ? ? ? ? nA B B A I? ? ? ??? 畢業(yè)論文 第 2 頁 共 27 頁 并稱 B?()為 ()A? 的逆矩陣 .反之亦然 . 定理 [1] 矩陣 ()A? 可逆的充要條件是其 行列式為非零的常數(shù) ,即 ( ( )) 0det A c? ??. 證明：（ 1）充分性 設(shè) ? ?=Ad? 是一個非零的數(shù) . ? ?*A? 表示 ()A? 的伴隨矩陣 ,則 ? ?1*dA?? 也是一個 ? 矩陣 ,且有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 * 1 *A d A d A A I? ? ? ????? 因此 , ()A? 是可逆的 . (2)必要性 設(shè) ()A? 有可逆矩陣 B?(),則 ? ? ? ?A B I??? 兩邊取行列式有 ? ? ? ? 1A B I?? ?? 由于 ? ?A? 與 ? ?B? 都是多項式 ,而它們的乘積為 1,所以它們都是零 次多項式 ,即都是非零常數(shù) .證畢 . 例 題 1 判斷 ? 矩陣 ? ?2 + 1 2 1=11A??? ? ????????? 是否可逆 . 解 雖然 ? ?22+ 1 2 1= 1 = 01A??? ? ? ? ??? ? ? ? ()A? 是滿秩的 ,但 ? ?A? 不是非零常數(shù) ,因而 ()A? 是不可逆的 . 畢業(yè)論文 第 3 頁 共 27 頁 注意 與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可 逆的 .這么 定義 可逆是有必要的 ,可逆的本質(zhì)就是要保證變換的矩陣可以 通過 非零 常數(shù)的倒數(shù) 逆回去 . 定義 3 如果矩陣 ()A? 經(jīng)過有限次的初等變換化成矩 陣 B?()，則稱矩陣 ()A? 與 B?()等價 ,記為 ? ? ? ?AB??? 定理 2 矩陣 ()A? 與 B?()等價的充要 與 條件是存在可逆矩陣? ? ? ?QP ??、 ,使得 ? ? ? ? ? ? ? ?QB P A? ? ? ?? 證明 因為 ? ? ? ?AB??? ,所以 A?()可以經(jīng)過有限次初等變換變成B?(),即存在初等矩陣 12( ), ( ), , ( )sP P P? ? ? 與初等矩陣 12( ), ( ), , ( )tQ Q Q? ? ? 使得 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )stB P P P A Q Q Q? ? ? ? ? ? ? ?? 令 12( ) ( ) ( ) ( )sP P P P? ? ? ?? , 12( ) ( ) ( ) ( )tQ Q Q Q? ? ? ?? 就是所要求的 ? 矩陣 .它們都是初等矩陣的乘積 ,從而使可逆的 .證畢 . 引理 1 設(shè) ? 矩陣 1 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =( ) ( ) ( )nnm m m na a aa a aAa a a? ? ?? ? ??? ? ??????? 的左上角元素 11( ) 0a ? ? ,并且 至少有一個 ()ija? 不能被 11()a ? 整除 ,則一定可畢業(yè)論文 第 4 頁 共 27 頁 以找到一個與 ()A? 等價的矩陣 ,它的左上角元素不為零 ,且次數(shù)比 11()a ? 的次數(shù)低 . 定理 3 任意 mn? 階的 ? 矩陣 ()A? 都必定 可以通過初等變換找到 一個與之等價的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 . ? ?1200rddD d??? ?????? ??????()()() 這里 ( ( ))rank A r? ? . 非零對角元 1 2 r( ), ( ), , ( )d d d? ? ?是首一（首項系數(shù)為 1）多項式，并且 1( ) ( ) ( i 1, 2 , , r 1 )iidd??? ??| 例 題 [2]2 求 ? 矩陣 22 2 21()1+A? ? ?? ? ? ?? ? ??????????? 的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 . 解 222 2 2 21 1 1 0 0( ) 0 0 0 01 0 0 0 0A? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 即為所求的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型 . 2． 2 ? 矩陣 的性質(zhì) 定義 4 矩陣 ()A? 的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型中的非零對角元 畢業(yè)論文 第 5 頁 共 27 頁 1 2 r( ), ( ), d ( )dd? ? ?， 稱為 ()A? 的不變因子 . 定義 5 矩陣 ()A? 的所有非零 k階子式的首一（最高次項系數(shù)為 1） 最大公因式 ? ?Dk ? 稱為 ()A? 的 k 階行列式因子 . 定理 4 等價矩陣具有相同的秩和相同的各級行列式因子 . 證明 設(shè) ? 矩陣 ()A? 經(jīng)過一次行初等變換化為了 B?()， f?()與 g?()分別是 A?()與 B?()的 k 階行列式因子 .需要證明 fg??( )= ( ) .分 3 種情況討論： （ 1） ? ?,ijAB??????( ) ( ),此時 ,B?()的每個 k 階子式或者等于 A?()的某個 k 階子式 ,或者與 A?()的某個階子式反號 ,所以 , f?()是 B?()的 k 階子式的公因子 ,從而 fg??( )| ( ) . （ 2） iAB?????????? (c)( ) ( ),此時 ,B?()的每個 k 階子式或者等于 A?()的某個 k 階子式 ,或者等于 A?()的某個 k 階子式的 c 倍 .所以 , f?()是 B?()的 k階子式的公因式 ,從而 fg??( )| ( ) . （ 3） ijAB????????????? ()( ) ( ),此時 ,B?()中那些包含 i 行與 j 行的階子式和那些不包含 i 行的 k 階子式都等于 A?()中對應(yīng)的 k 階子式； B?()中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 階子式 ,按 i 行分成兩個部分 ,而等于 A?()的一個 k 階子式與另一個 k 階子式的 ???()倍的和 ,也就是 A?()的兩個 k 階子式的線性組合 ,所以 , f?()是的 k 階子式公 因式 ,從而 fg??( )| ( ) . 對于列變換 ,可以一樣地討論 .總之 , A?()經(jīng)過一系列的初等變換變成B?()，那么 fg??( )| ( ) .又由于初等變換的可逆性 ,B?()經(jīng)過一
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