有關(guān)對(duì)角矩陣的證明與應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2025-06-29 17:14本頁(yè)面
【正文】 為對(duì)稱陣，則存在正交陣Q使，其中，…, 為BT的特征值。由于A,B正定，所以0, 0(i=1,2,…,n)進(jìn)而=（AT）（BT）=∵0(i=1,2,…,n),∴AB是正定陣。有AB=BA得（AP）（BP）=ABP=BAP=（BP）（AP）于是BP=BP=,其中與是同階方陣（i=1，2，…,n）由=B，可得=（i=1，2，…,n），從而存在正交陣，使=（i=1,2，…,s）都是對(duì)角陣，再令Q=那么Q是正交陣，且令T=PQ，則BT=（BP）Q=為對(duì)角陣。可以證明：存在同一個(gè)實(shí)可逆陣，使AT=，BT=①。例1：已知A,B均為n階實(shí)對(duì)稱正定陣，且有AB=BA，試證：AB也是正定矩陣。 用矩陣對(duì)角化的方法證明高代里的一些問題第一種情況：利用對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T，使AT =AT成對(duì)角形。 在（EA）=0中，有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為。由于秩（EA）=n（i=1,2，…,s）。類似可證秩（EA）=n（i=1,2，…,s）。其中 ，…, 互不相同，且 ++…+ =n.(1)先證必要性。例7：設(shè)A是一個(gè)n階復(fù)矩陣，f()是A的特征多項(xiàng)式，求證：A可對(duì)角化的充分必要條件是如果a是f()的k重根，則aEA的秩等于nk。又由于幾何重?cái)?shù)不大于代數(shù)重?cái)?shù)，所以它們相等。故有r（IA）+ r（I+A）=n。由于r〔（IA）+（I+A）〕≤r（IA）+ r（I+A），得到n≤r（IA）+ r（I+A）。設(shè)=1的幾何重?cái)?shù)為就是方程組（IA）X=0的基礎(chǔ)解析所含向量的個(gè)數(shù)，因而=nr（IA）。則可得X= X=X，因而有=1，所以A的特征值為=1，==1的代數(shù)重?cái)?shù)為，=1的代數(shù)重?cái)?shù)為，則有+=n。例6：設(shè)A是n階方陣，滿足=I，證明A可對(duì)角化。證畢。所以假設(shè)不成立。設(shè)=。所以=即=。證法類似）時(shí)，有T=。而，從而=。從而T=。其中，…, 為A的全部特征值。先證必要性。證：是的解空間，是 的解空間，條件“可以導(dǎo)出”的含義是但總有。設(shè)D=BP=，則由∧D=D∧得=，即（）=≠（i≠j）知=0（i≠j）即D= ，故B可對(duì)角化。證：設(shè)A的n個(gè)互異特征值為，則存在n階可逆矩陣P，使得AP==∧。第二種情況：用定理2來(lái)做下面證明題。這表明A共有n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，從而A可對(duì)角化。用右乘=A得=A，于是有=，即（）=0，由≠0得=0，從而=1或==A=A（AE），得r（A）+r(AE)≤（A）+r(AE)= r（A）+r(EA)≥r(A+EA)=r(E)=n故有r（A）+r(AE)=n。例3：設(shè)n階方陣A滿足=A,且r（A）=r。定理3：若A的每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)和她的代數(shù)重?cái)?shù)相等，則A可對(duì)角化。定理1：n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似（即A可對(duì)角化）的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。（3）=T=A。且=0（i≠j）。證：（1）由于A可對(duì)角化，因此存在可逆陣T，使A=T，其中，…, 均為，…, 階單位陣，且++…+=n。第二種情況：利用分塊矩陣和若A可對(duì)角化則存在可逆陣T使A=T，我們可以證明一些有關(guān)矩陣分解的問題。從而D=。假設(shè)又有A=也滿足分解條件，則LDU=，LDU=,L=,由于等式左邊是單位下三角矩陣等式右邊是單位上三角矩陣，故L=E,即L=。則A=LDU其中L為單位下三角矩陣（對(duì)角線元素都是1的下三交矩陣
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