【正文】 A ， 式 ① 變形為 ? ? 2BBAA ?? ，再左乘 1?A 得 21BABA ??? ， 由于 A ,B 是正交 矩 陣，從而 12 ?BA 是正交 矩 陣，此即 BA? 是正交 矩 陣。 例 2 （中國科學(xué)院）求證：不存在正交 矩 陣 A ,B ，使 22 BABA ?? 。 ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?????????? ???? 1111 SASASASASASASASA TTT ? ? ? ?? ?? ? 11 ?? ???? SASASASA ， 又由 SAAS? ，得 ? ?? ? ? ?? ?SASASASA ????? 。 正交矩陣的例子 例 1 （南京大學(xué)）設(shè) A 為 n 階實對稱矩陣， S 為 n 階實反對稱矩陣 ? ?TSS ??即 ，且 SASAAS ?? ， 為 滿秩矩陣，試證： ? ?? ? 1??? SASA 為正交矩陣 。 正交 矩陣 正交矩陣的定義 如果 n 階實矩陣 A 滿足 ? ?TTT AAEAAEAA ??? ? 1，或或 ，則 稱 A 為正交矩陣。 由于 02?Q ， 所以 n??? ， ?21 為 BA ??1? 的特征值，也為 ABE?? 的實根。 （ 2）由 A 正定可知 1?A 正定，由（ 1）可知，存在可逆矩陣 Q ， 使得 EQAQT ??1 ， ? ?nT diagB ?? ， ?1? ,? ?niRi ?， 21??? ， 由于 0??ABE? ，所以 01 ??? BA? 。 解：（ 1）因為 A 為正定矩陣， B 為實對稱矩陣，則存在可逆矩陣 Q ，使 EAT ? ， ? ? BQBQB TTTTT ?? ，所以 BT 為實對稱矩陣 ， 所以存在正交矩陣 P 使得 ??BQPQP TT 。 （ 1）證明存在可逆矩陣 ? 使 EAT ??? ， ??BT 為對角矩陣。 （ 2）顯然有 TTT CCCCCCA????????????????????????????????????100010001010001000101000100010， 那么有對稱矩陣???????????????????????????????????????????910459104491022910449104591022910229102291081000100010TCCB， 使得 2BA? 成立 。 解： （ 1） 顯然易 見，可 求得 A 的特征多項式為 ? ? ? ?? ?2110 ??? ???f ， 于是 A 的 特征值為 101 321 ??? ??? ， 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 11 例 4 （天津大學(xué)）設(shè)三階實對稱矩陣???????????????542452222A （ 1） 求一個正交矩陣 C 及對角形矩陣 ? ，使 ??ACCT 。 單位化 得 TTT qqq ?????? ???????? ?????????? 313232323132323231 321 。 (法 2)可求得 ? ?? ?? ?142 ????? ???? AE ， 所以 A 的特征值為 412 321 ???? ??? ， 。 所用可逆線性變換為 ???????????33322321122zxzzxzzzx ，即?????????????????????????????????321321100210211zzzxxx 。 令?????????3322211xyxyxxy ， 即?????????3322211yxyxyyx ，得 ? ? 2323221322221 42242 yyyyyyyyf ??????? 。 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 10 例 3 已知實對稱矩陣???????????????020212022A ， 求可逆矩陣 P ,使 APPT 為對角矩陣 。 若 2?? 不是特征方程的二重根，則 a31882 ??? ?? 為完全平方，從而 16318 ?? a ，解得 32??a 。 若 2?? 是特征方程的二重根，則有 0318162 2 ???? a，解得 2??a 。 例 2 設(shè)矩陣??????????????51341321aA 的特征方程有一個二重根，求 a 的值，并討論 A 是否可相似對角化。 而對應(yīng)于特征值 63?? 的特征向量為 ? ?T3213 ， ??? 。 由 10541321 ?????? ??? ，可得 63?? 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 9 所以， 矩陣???????????????533242111A 。 解：因為 A 有三個線性無關(guān)的特征向量， 2?? 是 A 的二重特征值，所以 A 的對應(yīng)于 2?? 的線性無關(guān)的特征向量有兩個，故 ? ? 12 ??AEr 。 有關(guān)可對角化矩陣的例子 例 1 設(shè)矩陣??????????????5334111yxA ，已知 A 有三個線性無關(guān)的特征向量， 2?? 是 A 的二重特征值。 第三步：當(dāng) A 可對角化時，把 n 個線性無關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣 ? ?ttrttrr pppppppppP ，， ???? 212222111211 21? ， 則 ??????????????????trtrrEEEAPP????21211 。 第二步：對每一特征值 i? ，解方程組 ? ? 0?? xAEi? 得對應(yīng) i? 的線性無關(guān)特征向量（即齊次方程組的基礎(chǔ)解系） ? ?tipppiisii ， ?? 2121 ?。設(shè) A 的所有互異特征值為 t??? ， ?2,1 ，其重數(shù)分別為 trrr ， ?21 ，且 nrrr t ???? ?21 。 對角 化 矩陣判定條件和方法 數(shù)域 P 上 n 階矩陣 A 可 對角 化的 判定條件 ： （ 1）充分必要條件： A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量； 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 8 （ 2）充分必要條件： A 的所有重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)等于其重數(shù)； （ 3）充分必要條件： A 的最小多項式?jīng)]有重根； （ 4）充分必要條件： A 的不變因子都沒有重根； （ 5） 充分條件： A 有 n 個互異的特征值； （ 6） 充分條件： A 是實對稱矩陣。 由上式得 ? ? ? ? ? ?njigf ijij ， ?21?? ?? , 即有無窮多個 ? 使上式成立，但 ? ? ? ??? ijij gf ， 都是多項式，從而上式對一切 ? 都成立 .特別令 0?? ，這時有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ??? ABABBAAB 0000 。 由上面（ 1） 的結(jié)論有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ABBA 。 例 2(吉林工業(yè)大學(xué)，吉林大學(xué) )設(shè) A ,B ，均為 n 階方陣，求證 ? ? ??? ? ABAB 。 注意到 8??A ，于是有 2?A ， 可得 12 ?? ? AA 。 解 :由關(guān)系式 EXAAXA 311 ?? ?? , 可 得 ? ? AEAX 13 ??? 。 伴隨矩陣 的性質(zhì) （ 1） EAAAAA ?? ?? ； （ 2） 若 A 可逆，則 ???? ?? AAAAAA 111，； （ 3） ? ? ??? ? ABAB （例 2） ； （ 4） 注 意 到 ?A 中的每個元素都是矩陣 A 的 1?n 階子式乘以某個值為 1或 1? 的常數(shù)，于是對于常數(shù) a ，有 ? ? ??? ? AaaA n 1 。 伴隨矩陣 伴隨矩陣的定義 若 ? ?nnijaA ??，那么它的伴隨矩陣 ? ?nnijAA ?? ? (其中 ijA 表示矩陣中元素 ija 的代數(shù)余子 式 )。 若 A 不可逆，那么 A 的秩小于 n ，不妨設(shè) ? ? nrAr ?? ，于是有可逆矩陣 P ,Q ， 使得 QOO OEPA r ?????????，取 ????????? ?? rnEOOOQC 1 ，顯然有 OAOO OOPAEO OOOO OEPA C Arnr ????????????????????????????? 1， 若存在 B 使得 AABA? ，那么對于矩陣 CB? ，也有 ? ? AOAA C AABAACBA ?????? ， 這與 B 的唯一性相矛盾。 分析 :注意反證法的應(yīng)用。 于是有 ? ? 12 111 ???????? PnP d ia gAAAEB n ， ??。 證 :（ 1） 顯然有 AA TTTTT ????????????????? ?????????? 12 （ 2） 顯然可求得 A 為對稱 矩 陣且 A 的全部特征值為 0( 1?n 重〕， 1(1 重 )。 例 3（武漢大學(xué) ） 設(shè)矩陣 TA ??? ，其中 ? 是 n 維列向量， T? 是 ? 的轉(zhuǎn)置 ， 又已知 1???T 。又由 EAAA?? 知 ? ? 1??? AAA ，可見求得 A 和 ? ?1??A 后即可得到 A 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 5 又因為 ?????????? 21 AOOAA ，其中 ?????????? 01 341A ， ????????? ?? 33 632A ，可求得 ???????? ??? ?? 41 10311 1111 AAA ， ??????????? ?? 33 63912212 AAA ， 故由 EAAA?? 得 ? ????????????????????????????????110021000041001012111AOOAAAAA 。 例 2 已知???????????????????3300630000010034A ，試求 1?A 和 A 。 做本題（ 2）時，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若 A 是對稱矩陣，則 AAT? 。 由于 BBAA TT ?? ， ，所以 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1111111111 ?????????? ????????? BABABABABA TTTTT ， 即是 ? ?11 ?? ?BA 對稱矩陣，故 ? ? AABE 1?? 是對稱矩陣。即當(dāng) 01 234 ??kla 時， ABE? 為可逆矩陣。 解： （ 1） 設(shè)???????????????0000342414342313242312141312aaaaaaaaaaaaA ，則????????????????lkalalakalakaABE343424231413001001001。 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 4 （ 1）試計算 ABE? ，并指出 A 中元素滿足什么條件時， ABE? 為可逆矩陣。 求逆矩陣的例子 例 1 （清華大學(xué)） 設(shè) A 為主對角線元素為零的 4 階實對稱可逆矩陣， E 為 4 階單位陣。 法 2：初等變換法： 矩陣的階大于或等于 3 的一般采用初等變換法 （ 1） ? ? ? ?1?AEEA ?? 初等行變換 （ 2） ???????????????? ?1AEEA 初等列變換 （ 3）當(dāng)矩陣 A 可逆時， 可利用 ? ? ? ?BAEBA 1??? 初等行變換 , ???????????????? ?1CAECA 初等列變換