【正文】 12161Q，使得 ?????????????9000400001 AA T 。又 A 對應(yīng)的特征值 121 ???? 的線性無關(guān)特征向量分別為 ? ? ? ?TT pp 101011 21 ， ???? ，將其正交化 ? ? TT ppp ?????? ???????? 1,2121][ ][011 111122211 ， ??? ??? ， 再單位化 Tq ?????? ??? 021211111 ，??, Tq ???????? ????626161222 ，??， A 對應(yīng)的特征值 43?? 的特征向量為 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 16 ? ?Tp 1113 ，? ， 單位化得 Tppq ??????????3131311333 。 解題技巧 :要將實對稱矩陣 A 化為對角矩陣，應(yīng)先通過 0??AE? 來求 A 的特征值。若某一特征值有重數(shù)，則應(yīng)先將其特征向量正交化，然后再單位化。 解：易解得 A 的三個特征值為 1， 16, 49，找出這三個特征值的特征向量，然后再單位化并組成 正 交矩陣 Q ，即有 (注意到對稱 矩 陣對應(yīng)于不同的特征值的特征向量必正交，所以這里不需要正交化 ) ???????????????323231323132313232Q ， 那么有 ? ? ? ?? ? ? ?? ? 274174149161 X d i a g d i a g d i a gA TTT ??? ， ， 即有 ? ?????????????520242023741 T d ia gX ， 。 所以首先應(yīng)求出正交矩陣 Q 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 17 正定矩陣 正定矩陣的定義 設(shè) ? ? xAxxxxf Tn ?, 21 ? 是 n 元 實二次型 （ A 為實對稱矩陣），如果對任意不全為零的實數(shù) nccc , 21 ? 都有 ? ? 0, 21 ?ncccf ? ，則 f 稱為正定二次型， A 為正定矩陣。 正定矩陣的性質(zhì) （ 1） A 是正定矩陣，則 ?A 也是正定矩陣（例 3） ； （ 2） A 是正定矩陣，則 1?A 也是正定矩陣 ； （ 3） EA? 是正定矩陣，則 1??AE 也是正定矩陣 ； （ 4） A 是正定矩陣，則其 k 階順序主子陣 kA ? ?121 ?? nk ， ? 也是正定矩陣 ； （ 5） ? ? ? ? nnbBnnaA ijij ???? ， 均是正定矩陣，則 ? ? nnbaC ijij ?? 也是正定矩陣。 （ 2）根據(jù)判 定 條件來判斷（一般通過檢驗 A 的各 階 順序主子式 是否都大于零 ） 。 方法 2：利用特征值：當(dāng) A 的所有特征值大于零時， A 為正定矩陣（當(dāng)證明矩陣 A 的各種運算，如數(shù)乘、方冪、逆矩陣、伴隨矩陣、多項式矩陣等為正廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 18 定矩陣，常用此法）。 證：（這是要證明三個矩陣之積是正定的，可采用定義證之 ） 充分性：因為 ? ? ABBBABABB TTTTT ?? ，所以 ABBT 為實對稱矩陣。又 A 為 正定 矩陣，所以對于 0?xB 有 ? ? ? ? 0?xBAxB T 。 必要性：已知 ABBT 為 正定 矩陣，則對任意的實 n 維列向量 0?x ，有? ? 0?xABBx TT ，即 ? ? ? ? 0?xBAxB T ， 由 A 正定知 0?xB ，因此 0?xB 只有零解，從而 ? ? nBr ? 。此題證明充分性時，還用到矩陣的秩與其線性方程組的關(guān)系來推出正定矩陣的判 定 條件。證明： 2BA? 是正定矩陣。又 B 是實反對稱矩陣， 即 BBT ?? ，從而 ? ? ? ? ? ? 2222 BABABABA TTT ???????? ， 即 2BA? 是實對稱矩陣，又對任意實 n 維列向量 0?x ，有 ? ? ? ? ? ? ? ? 02 ?????? xBxBxAxxBBAxxBAx TTTTT 。 解題技巧：本題主要利用 B 為 n 階實反對稱矩陣 BBT ??? 來解題的。 證： （ 法 1） 由于 A 正定，所以 0?A ，且對任意 0?x 有 0?xAxT 。 （ 法 2） 因為 1?? ? AAA ， 所以 ? ? ? ? ? ? ????? ???? AAAAAAAA TTT 111 ，即 ?A 是實對稱矩陣。而 ?A 的特征 值為nAAA ??? ， ?21，且 0?iA? ? ?ni ,2,1 ?? ，故 ?A 是正定矩陣。證明 A 是正定矩陣。 由 0?x 知 ? ?? ?? ? 0431121674 2234 ????????? ??????? ， 解得其根為 i231 ???? ??? ， 。 注： 矩陣 A lA kA 1?A ?A TA APP1? 特征值 ? ?l k? 1?? ?A ? ? 例 5 （上海交通大學(xué)） A 為 n 階實對稱矩陣， E 為 n 階單位矩陣。 證：可證 AE?? 為實對稱矩陣。令 ? ?n???? ， ?2,10 ma x? 不妨設(shè) 00?? （因為若 00?? ，則 021 ???? n??? ? ， 0?A ，結(jié)論已證）。則 ? ?nii ， ?21110 ???? ? ① 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 20 又有 ? ? ???????? ??????? 11110011 ? ?? ?? nd ia gTAET ， ? 由式 ① 知 ? ?nii ， ?21011 0 ???? ? ? 故 AE ?? 為正定矩陣。 證：因為 ? ? ? ? ? ? ABABABABABAB TTTTTT ????? ，所以 ABAB T? 是 n 階實對稱矩陣。 由此可知 ABAB T? 正定。 由上式可知 0?xA ，這就是說，對任意 0?x ，都有 0?xA ，從而 0?xA 僅有零解，故 ? ? nAr ? 。 證： （ 法 1） 因為 A 是正定矩陣，所以存在正交矩陣 Q ，使得 ? ?nT d ia gAA ??? ， ?211 ????? ，其中 ? ?nii ， ?210 ??? 。 （ 法 2） 設(shè) n??? ， ?21 是 A 的特征值，由 A 正定知 ? ?nii ， ?210 ??? 。 例 8 （華中師范大學(xué)，北京郵電學(xué)院）設(shè) A 是一個 n 階實可逆矩陣，證明：存在一個正定矩陣 S 和正交矩陣 P ，使 PSA? 。從而 ? ? PSSSASAA TT ??? ?? ])[( 121 ， 其中 ? ? SAP T 1?? 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 21 例 9（武漢大學(xué)）若 A 是實滿秩矩陣，求證：存在正交矩陣 21 PP， ，使 ? ?ndiagAPP ?? ， ?1211 ?? ， ? ?nii ， ?210 ??? 。令 ? ?niii ， ?21?? ?? ， 再令 ? ?ndiagC ?? ，?1? ， 則由式 ① 有 ? ? 211 CPAAP TT ? ， 令 112 ?? CPAP T ,則 ? ?? ? ECCCCPAAPCCPAAPCPP TTTTT ???? ?????? 1211111111122 。 例 10 (華中科技大學(xué) )證明 :任意 n 階實可逆矩陣 A 可以表成一個正定矩陣S 與一個正交矩陣 Q 之積。 于是 Q是正交矩陣，且有 SQA? 。 （ 1）對于正定矩陣 A ，存在正定矩陣 C ，使得 2CA? 。 （ 2） 設(shè) A 為 n 階正定矩陣， B 是同階實對稱矩陣，則必存在可逆矩陣 P ，使 ? ?nTT d ia gBPPEAPP ??? ， ?21?? ， 其中 ? ?nii ， ?21? 全是 BA1? 的特征值。 因為 A 可逆，所以也是 BAE 1??? 的根。 合同矩陣的性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論 （一）合同矩陣的性質(zhì) ： （ 1）反身性： A 與 A 合同 ； （ 2）對稱性：若 A 與 B 合同，則 B 與 A 合同 ； （ 3）傳遞性：若 A 與 B 合同， B 與 C 合同，則 A 與 C 合同 ； （ 4）若 A 與 B 合同，則 A 的秩與 B 的秩相等 ； （ 5）若 A 與 B 合同，且 A 對稱，則 B 也對稱。 矩陣合同的判定和證明 （ 1）兩個 n 元復(fù)二次型可通過復(fù)的可逆線性變換互化的充分必要條件是，二者有相同的秩 ； （ 2）兩個 n 階實對稱矩陣在實數(shù)域上合同的充分必要條件是，二者有相同的秩與符號差（實對稱矩陣 A 的符號差即二次型 xAxT 的符號差）。 解：（法 1）由 A 寫出二次型，并用配方法得 ? ? 232221232322123322221 66224 yyyxxxxxxxxxxAxf T ???????????? ， 第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用 23 從而 A 的秩為 3，且正慣性指數(shù)為 2，與 ??B 中矩陣的秩和正慣性指數(shù)相同，故選??B 。 （法 3）可求得 ? ?? ?? ?231 ????? ???? AE ， 即 A 的特征值為 1,3， 2，從而 A的秩為 3 且正慣性 指數(shù)為 2。 例 2 己知實對稱矩陣 ??????????????????????????????01231021232110121102121210BA ， 求可逆矩陣 P ，使得 BAPPT ? 。令 ?????????3321211yxyyxyx ，即???????????????????????????????321321100011001yyyxxx ， 將其代人前一個二次型可得到后一個二次型，故所求的可逆矩陣為 ???????????100011001P 。因為 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 24 ???????????????????????????????????1000100010121102121210???????EA?? ?? ??21 21 rr cc???????????????????????????????????PB1000110010123102123211???????， 所以可逆矩陣???????????100011001P ，使得 BAPPT ? 。 有以下兩種方法： （法 1） 先 通過 xAxT 和 yByT 來 求得 實對稱矩陣 A 、 B 對應(yīng)的 二次型 ， 用 可逆線性變換 ，使 x 與 y 相關(guān)。 例 3 設(shè)矩陣 A 合同于 C ，矩陣 B 合同于 D ，試證 ???????? BA0 0既合同于 ???????? DC0 0，又合同于 ???????? CD0 0。 由 P 和 Q 可逆知，分塊矩陣 ???????? QP0 0與 ???????? 00Q P都是可逆的，且有 TQP ????????0 0 ???????? BA0 0 ????????? QP0 0 ???????? TTQP0 0 ???????? BA0 0 ????????? QP0 0 ????????? BAPP TT0 0 ???????? DC0 0 ， TQ P???????? 00 ???????? BA0 0 ????????? 00Q P ???????? 00TTQ P ???????? BA0 0 ????????? 00Q P ????????? APPB TT0 0 ???????? CD0 0 ， 故 ???????? BA0 0既合同于 ???????? DC0 0，又合同于 ???????? CD0