【正文】 身線性相關(guān)。（注意線性表出有唯一和不唯一分。（如果個(gè)數(shù)等于維度，相關(guān)，如果個(gè)數(shù)大于維度一定相關(guān)，如果小于，不一定。局部問題，如果無關(guān)，局部也無關(guān)（就是說每一個(gè)都不能為另外的表示，這個(gè)表示當(dāng)然也可以說某個(gè)為零，也相當(dāng)于不能為其他的任意個(gè)數(shù)的向兩組的表示）反之也行，說線性相關(guān)，只要有其他組內(nèi)的的任意個(gè)的線性組合都可以說是相關(guān)了（因?yàn)槟硞€(gè)數(shù)可以為零了），所以從表達(dá)上可以說不為其他的向量組線性表出，這是個(gè)基本的形式。如果一個(gè)向量可以表示為一個(gè)向量的線性組合，那么如果表示唯一，則這個(gè)向量組一定不相關(guān)（充要條件）。（反之的命題也要知道）（不管另外的向量的關(guān)系。當(dāng)然其中的一個(gè)小點(diǎn)單獨(dú)拿出來，如果B維度等于個(gè)數(shù)，那么A的就個(gè)數(shù)大于維度了，肯定相關(guān)了。）（可以這種解釋，從定義的理解出發(fā)，非獨(dú)立性理解，因?yàn)榇笥诹硗庀蛄拷M的個(gè)數(shù)，說明這個(gè)向量組之間肯定有關(guān)系，因?yàn)槠渌目梢韵嗷ゼ訙p可以消去（因?yàn)樵?，所以容易消）某些元，帶入其中的某個(gè)向量，但是如果）正如A＝BC如果，A的列數(shù)大于B的列數(shù)，那么A一定線性相關(guān)（不管要表出別人的向量組是相關(guān)的還是無關(guān)的，證明時(shí)都保證了，如果相關(guān)如果證明時(shí)復(fù)雜一點(diǎn)，（注意如果一直一個(gè)向量組相關(guān)，不是說只有一組X能滿足的，也許會(huì)有很多X會(huì)滿足的）），但是小于，是不一定的。）C=AB如果B線性相關(guān)可以得出C一定是線性相關(guān)的（同時(shí)說明R(AB)的關(guān)系R(A)，用C=AB來看更好，如果B可逆，也就是線性無關(guān)，那么R(C)=R(A)（因?yàn)锽相當(dāng)于初等矩陣的乘積，初等矩陣初等變換過來的，初等變換不改變秩）,如果B（注意位置，B是再右邊的這個(gè)條件）線性相關(guān)即不可逆，可以得出C一定是線性相關(guān)的利用A B1= C1,…A B2= C2…代入法。）(也可以用下面的矩陣來證明)如果一個(gè)向量組A可以有另外一個(gè)B線性表出，而且A向量組的個(gè)數(shù)s大于B的向量組的個(gè)數(shù)t，則這個(gè)向量組線性相關(guān)。證明：A線性相關(guān)，就要證明AX=0有非零解，而A=BC，代入，即證明BCX＝0有非零解，而C的行等于B的列s，C的列等于A的列t，那么可以根據(jù)ts，根據(jù)維度問題，可以說明cx＝0有非零解。逆否命題的性質(zhì)：如果一個(gè)向量組線性無關(guān)，個(gè)數(shù)一定小于等于維度。一個(gè)向量可以有別的向量組表示不唯一，則相關(guān)。（從A=BC上再次思考）學(xué)會(huì)新的向量組合。 關(guān)于極大無關(guān)組： （刪除線別的角度來理解的）（定義：無關(guān)，再增大就相關(guān)）一個(gè)向量組也許線性相關(guān)，那么最多能夠幾個(gè)向量組成的是線性無關(guān)的，我們的目的就是要找出這個(gè)個(gè)數(shù)最大的看看，如果出現(xiàn)最大的線性無關(guān)小組，同時(shí)再多一個(gè)的向量的那么新的向量組都是線性相關(guān)的（注意這點(diǎn)不同于書上的定義形式，但是意思就是說對(duì)于這個(gè)極大無關(guān)組，再加個(gè)向量新的向量組一定是線性相關(guān)的了，否則就不是最大的了），我們就稱這個(gè)極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)為秩，（當(dāng)然，如果個(gè)數(shù)大于這個(gè)秩的向量組，那么一定是相關(guān)的，否則這個(gè)不是極大的了，那么新的這個(gè)就是極大的了，如果確定那個(gè)是極大的了，那么就滿足上面的條件了。）如果知道了極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)，或者知道其存在，但是并不是說明原向量組的任意小于秩的個(gè)數(shù)的向量組都是無關(guān)的。（前提是這個(gè)向量組是極大無關(guān)組）極大無關(guān)組本身是等價(jià)的。（注：這里的等價(jià)并沒有表示東東，下面會(huì)有一些結(jié)論的）兩個(gè)極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)應(yīng)該一樣，可根據(jù)線性表出的逆否定理，S＝t,s=t，所以，個(gè)數(shù)相等，同時(shí)說明等價(jià)的兩個(gè)向量組，如果都是不相關(guān)的，那么個(gè)數(shù)一定相等。（前面也說了，零向量本身相關(guān)）（學(xué)會(huì)假設(shè)一個(gè)極大無關(guān)組。秩的意義是極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)，也就是說存在一個(gè)無關(guān)組個(gè)數(shù)是等于秩的。（可以證明，分為這個(gè)是不是極大無關(guān)組來證，注意利用線性表出的傳遞性）而且這兩個(gè)向量組是等價(jià)的。如果一個(gè)向量可以有一個(gè)向量組線性表出，那么包含這個(gè)向量在內(nèi)的新的向量組的秩等于原向量組的秩。（充要條件）一個(gè)向量組可以被另一個(gè)向量組線性表出的結(jié)論：R(A)=R(A,B)的充要條件也是B可以被A線性表出，（反證法利用極大無關(guān)組設(shè)出來極大無關(guān)組）就是（線性無關(guān)但是等于秩的個(gè)數(shù)的向量組也是極大無關(guān)組）推論：R(A)=R(B)（加入B的秩是大于A的，那么R(A)=R(A,B)，就不成立了），同時(shí)相當(dāng)于，如果一個(gè)向量組A可以由另一個(gè)向量組B線性表出，那么，（R(A)=R(A,B)。根據(jù)上面的現(xiàn)性表出秩的關(guān)系，秩相等。注意證明的先后順序，可理清楚思路）一個(gè)向量組可以被另一個(gè)向量組線性表出―――R(A,B) =R(A)，―――R(B)=R(A)。（因?yàn)樗遣桓淖冎鹊模凶兓歉淖冎鹊模W(xué)會(huì)用定義的K1X1，K2X2那種系數(shù)的方程的方法。對(duì)于線性無關(guān)的一些條件，比如說，如果一個(gè)向量組不能被另一個(gè)向量組線性表出，那么R（A）R（A,B）.。為什么行變換不改變矩陣的列秩？首先，看一個(gè)命題：如果兩個(gè)向量組具有相同個(gè)數(shù)，如果他們的x1a1+……+x s a s=0和x1b1+……x s a s=0具有相同的解，那么則稱他們有相同的線性關(guān)系。（可以得出一點(diǎn)小的結(jié)論，說明部分為零的總體式子既是表達(dá)總體相關(guān)性的解，也是表達(dá)部分向量組的相關(guān)性的解，即在說明一個(gè)向量組的相關(guān)性時(shí)的解如果有很多時(shí)，這些解有些也同時(shí)表達(dá)出了部分向量組的相關(guān)性。）（同時(shí)又證明了當(dāng)一個(gè)向量有一個(gè)向量組線性表出的時(shí)候，法唯一時(shí)，向量組是線性無關(guān)的，當(dāng)然這個(gè)證明也可以由上面我曾經(jīng)寫過的定義證明的）極大無關(guān)組對(duì)應(yīng)，秩相等。當(dāng)然秩也相等了。實(shí)際上轉(zhuǎn)化成第一個(gè)的證明。而行向量的變換，根據(jù)方程組的變換原理，是同解的，是橫向平行的整體變換，不改變其解的，所以同解，所以滿足上面的性質(zhì)A和B向量組有相同的線性關(guān)系的。求極大無關(guān)組不要進(jìn)行列變換對(duì)于列向量組初等列變換不改變秩，改變向量組的極大無關(guān)組和起對(duì)應(yīng)位置（如兩列交換）。所以不管列變換還是行變換都不改變列秩和行秩矩陣的秩：根據(jù)上面的可以知道，行變換不改變矩陣的列秩，列變換不改變矩陣的行秩，那么隨便給你個(gè)矩陣可以化成簡(jiǎn)單矩陣的形式，那么行秩和列秩都不變，那么行秩和列秩的關(guān)系就要看簡(jiǎn)單初等矩陣的行秩和列秩的關(guān)系的。簡(jiǎn)單初等矩陣就是形如『E0』【00】 的形式，當(dāng)然簡(jiǎn)單初等矩陣的行秩等于列秩。反之亦然，這是充要條件。不會(huì)超過其向量的個(gè)數(shù)，這是個(gè)范圍）有上面的注意，用秩的關(guān)系來證明，同時(shí)證明反過來的方法：也用秩的關(guān)系，設(shè)多個(gè)向量，根據(jù)已知，每個(gè)都都可以為之線性表出，那么相當(dāng)于每個(gè)向量組都可以為之表出，R(A) =R(B)那么其中的向量組會(huì)有存在一個(gè)秩就等于維度的，要保持這種關(guān)系，那么B就會(huì)秩等于N。R(A,B)=R(A)+R(B)可以把秩的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闃O大無關(guān)組的向量的個(gè)數(shù)。如果不取等號(hào)，只是小于，那么充要條件是：至少存在一個(gè)向量既可以用A向量組線性表出，又可以用B線性表出。矩陣的等價(jià)不同于向量組的等價(jià)。當(dāng)然這兩個(gè)都要求維度一樣的。如果向量組個(gè)數(shù)相同的兩個(gè)向量組等價(jià)，那么他們的矩陣是否等價(jià)？等價(jià)的，因?yàn)榭梢跃€性表出，相當(dāng)于乘以一個(gè)可逆的矩陣，那么相當(dāng)于初等變換。矩陣的秩等于非零階子式的最大值，就是書上前面的定義。注意：初等變換因?yàn)椴桓淖冎龋?dāng)然不改變可逆性，但是改變行列式的大小。（初等矩陣是由單位矩陣初等變換來的，當(dāng)然也可逆了）行秩和列秩：行滿秩和列滿秩的意義是不同的，（除非方陣）。（因?yàn)橹鹊扔跇O大無關(guān)組個(gè)數(shù)）同時(shí)AX＝0是沒有非零解的。（梯形矩陣的非零行個(gè)數(shù)不是行秩）A的轉(zhuǎn)置的秩等于A的秩。更進(jìn)一步的條件：（不一定是方陣了）如果A列滿秩，那么R (AB)=R(A)，如果B行滿秩，那么R (AB)=R(B)（用方程組來解釋，上面（很上面）我曾經(jīng)有解釋）如果AB＝0，那么R(A)+R(B)=N（A 的列秩）（用方程組來解釋）R(A)+R(B)n (A列秩) =R(AB)=min{A , B}如果一個(gè)矩陣可以表示成兩個(gè)非零向量的乘積(這和向量組的內(nèi)積有聯(lián)系)，那么秩一定等于1（反之亦然，充要條件）（可以用上面的解釋）所以，如果知道一個(gè)方陣秩為1，那么AK＝tr(A)K1 A，（注意對(duì)比求AK的對(duì)角化的方法A=P1BP）(還可以利用多項(xiàng)是的特征向量的一些性質(zhì)的)A為方陣，則A*的秩只能為三種情況（N,1,0）如果求一個(gè)矩陣混合式子的秩，要轉(zhuǎn)化，利用上面的一些性質(zhì)，可逆的，大小的，等等轉(zhuǎn)化為已知的矩陣的秩。矩陣：伴隨矩陣：注意伴隨矩陣的排列順序不同于原矩陣的?？赡?，秩的問題，特征值的問題，特征向量的問題。注意：(A*)1普通的性質(zhì)：A*的行列式等于A的行列式的N1次方。在利用A*與A1的關(guān)系時(shí)，只有行列式不為零時(shí)可以運(yùn)用。當(dāng)A為非零矩陣時(shí)A*=AT時(shí)，如果N2,那么A的行列式等于1。初等矩陣要學(xué)會(huì)計(jì)算其行列式。）分塊矩陣的運(yùn)算：？？加法和乘法的運(yùn)算法則都知道，那么秩？行列式怎么原算？轉(zhuǎn)置（轉(zhuǎn)置后每個(gè)再轉(zhuǎn)置）（最關(guān)鍵的是準(zhǔn)對(duì)角矩陣）逆矩陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣是每個(gè)小部分逆就行了）糾正上面：分塊矩陣的加法和乘法的要求：首先當(dāng)然AB能夠乘，就是A的列等于B的行，然后才能分，原則：A的列的分割方式和B 的行的分割方式應(yīng)該一樣，這里的分割方式，一定要對(duì)應(yīng)的，不是說整體的列和行一樣就行了，實(shí)質(zhì)上是滿足對(duì)應(yīng)的小矩陣可以相乘。兩個(gè)都是對(duì)角矩陣的矩陣（當(dāng)然是方陣了）相乘，結(jié)果矩陣就等于對(duì)應(yīng)的對(duì)角線上的相乘。AB1=A1b1+A2b2+……和方程組一樣的原理。矩陣的乘法可以用分塊矩陣做更容易。找個(gè)式子看看！練習(xí)一下。利用A*的性質(zhì)，和A*和A1的關(guān)系。把未知量放在一起。利用AB＝E。3. 數(shù)字的位置可以變換。求A，初等變換A變到E，同時(shí)B也變？？？？？（利用A1B有點(diǎn)復(fù)雜）6. 分析：AB=AC能說明B=C嗎？什么條件可以？7. 如果有A*和A1那么利用A乘都可以得到。多項(xiàng)式可以交換再證明。利用相似，向量等價(jià)。一種方法：A()=an E另一種方法：特征值不存在零的。那么EAB可逆和EBA可逆是充要條件。因?yàn)锽ABā=λB?，而Bā，可以看作新的特征向量。下面的很多性質(zhì)都是根據(jù)這個(gè)可以證明的：如：（AB）T=BTATA0＝E矩陣無交換率：（A+B）2=A2+2AB+B2和A2B2=(AB)(A+B)的充要條件是AB=BA而(A+B)K=二項(xiàng)式定理，（AB）K=AKBK需的充分而不必要條件是AB=BA（就是說AB＝BA能滿足上面的式子，但是上面的式子成立不是能推出AB=BA的，或者說不要求AB＝BA也可能推出上面的例子的）但是同一個(gè)矩陣的多項(xiàng)式可以分解的了。思想直接出現(xiàn)結(jié)果。（方法是矩陣分塊，也就是列向量組和行向量組）不妨以右乘來講解：則如果初等矩陣是交換行（或列）形成的，那么就都是對(duì)應(yīng)的列向量組交換，如果某行（列）乘倍數(shù)，那么就是列向量組對(duì)應(yīng)的倍數(shù)。A不可逆，是不可以的。其他的也是這樣的。當(dāng)不能化成，試試看歸納法。如果證明高次方的，那么看看證明一次方的看看成立的。找規(guī)律的。兩個(gè)基本的矩陣方程：AX=B，XA＝B，（與向量組的相互線性表出一樣）從矩陣的角度出發(fā)，如果A可逆，那么兩邊同時(shí)乘A1那么X只有唯一的解了。（注意這個(gè)與方程組AX＝B1與很大的關(guān)系，根據(jù)方程組，如果A的秩等于(A, B1)的秩，那么就有解，當(dāng)然這是一個(gè)通用的條件，但是如果A方陣的話，這樣也行的，（因?yàn)槿绻袧M秩，任意向量都可以用之來線性表出，）或者這樣說(A, B1)的秩是大于等于A的秩的（對(duì)于解方程組非常的有利）。AX=B比較簡(jiǎn)便的計(jì)算，如果A可逆，那么X的結(jié)果的計(jì)算方式是（A,B）初等行變換，A變成E，同時(shí)B也初等行變換，那么B變成的結(jié)果就是X了，原理：因?yàn)閄=A1B要求A1要左乘B，所以只能初等行變換，A變到E就相當(dāng)于乘個(gè)A1那么，B所以也要同時(shí)變了。但是結(jié)果對(duì)應(yīng)的是XT要再轉(zhuǎn)置回來。AB=E。二者相同。如果前提是方陣，那么AX＝E，表示可逆，否則，不行。求逆矩陣的方法，AX=E,A行變換到E，E同樣變換就行了，和上面AX=B，如果A可逆，A行變換到E，B同樣變換。分別求出來。A,B都可逆，那么AB也可逆，反之不行。但是非零的行數(shù)是一定的。（相等也不行）（或者說是個(gè)行第一個(gè)非零元素的列號(hào)是單調(diào)遞增的。（因?yàn)椴桓淖兡莻€(gè)遞增的原則，或者說列號(hào)是不變的）但是列就不一樣了，去掉某一列后，就不一定是是梯矩陣的。但是如果去最右列那么就是對(duì)的了，后面一列沒有的，就沒有辦法上來的。（利用上面的可以解釋）行列式：有一個(gè)的不同與上下三角的，反過來的，行列式是側(cè)對(duì)角線的乘積，然后CN2這是1的指數(shù)。數(shù)乘的行列式，等于系數(shù)的N次方。拉普拉斯定理范德蒙行列式，行列式不等于零，那么，那個(gè)N個(gè)元素給不相同。假如說求某一行的代入余子式的和，那么，因?yàn)榇鷶?shù)余子式不管本行的式，那么可以先看看代數(shù)余子式與剩下的行列式的系數(shù)問題，創(chuàng)造一個(gè)新的矩陣的行列式。（見視頻）遞推思路。方程組：克來母法則：AX=B（B為一個(gè)向量）。（同時(shí)前面也講了，如果線性表出的形式唯一，那么A向量組線性無關(guān)）（通過變換）而AX=B（B為矩陣），/A/不等于零，也是唯一解