【正文】 矩陣，則存在可逆矩陣 Q ，使 EAT ? ， ? ? BQBQB TTTTT ?? ，所以 BT 為實對稱矩陣 ， 所以存在正交矩陣 P 使得 ??BQPQP TT 。 正交矩陣的例子 例 1 （南京大學）設 A 為 n 階實對稱矩陣， S 為 n 階實反對稱矩陣 ? ?TSS ??即 ，且 SASAAS ?? ， 為 滿秩矩陣，試證： ? ?? ? 1??? SASA 為正交矩陣 。矛盾，即證結(jié)論。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 14 令 ?????????? ???? ? 3113 311322 1121 PPP，則 P 為正交陣，且 BAPPT ? 。 第三步：構(gòu)造正交矩陣 ? ?ttrttrr qqqqqqqqqQ ，， ???? 212222111211 21? ， 則?????????????????trtrrTEEEAA????21211 。若其特征值互異，則可通過解 ? ? 0?? xAEi? 來求對應的特征向量，然后直接將其單位化。 正定矩陣的判定條件 （ 1） n 階 實對稱矩陣 A 是正定的充分必要條件是 A 與單位矩陣 E 合同 ； （ 2） n 階 實對稱矩陣 A 是正定的充分必要條件是，存在 n 階實可逆矩陣 C ，使得 CCA T? ； （ 3） n 階 實對稱矩陣 nnijaA ?? ）（ 是正定的充分必要條件是 A 的 順序主子式都為正 ， 即 0212222111211?kkkkkkaaaaaaaaa??????； （ 4） n 階 實對稱矩陣 A 是正定的充分必要條件是 A 的特征值全為正 ； （ 5） A 是正定矩陣，由 A 的對稱正定性知，存在正交矩陣 Q ，使得 ? ?nT d ia gAA ??? ?， 211 ??? ，其中 ? ?nii ?， 210 ??? 。由于? ? nBr ? ，則齊次線性方程組 0?xB 只有零解，從而對于任意實 n 維列向量0?x 有 0?xB 。 證：（這是證明兩矩陣之差為 正定 矩陣，可采用定義證之） 因為 A 是 正定 矩陣，所以 AAT? ，且對任意 n 維實列向量 0?x 有 0?xAxT 。 設 n??? ， ?21 是 A 的特征值，由 A 正定知 ? ?nii ,2,10 ???? 。求證：對充分小的正數(shù) ? ， AE ?? 為正定矩陣。 必要性：若 ? ? nAr ? ，則 1?A 存在，令 1??AB ，則 ? ? ? ? EAAEAAAAABAB TTT 2111 ?????? ???。又EA 2? 的特征值為 222 21 ??? n??? ， ?，從而 ? ?? ? ? ? nnEA 22222 21 ?????? ??? ?。 即 2P 是正交矩陣，且 ? ? ? ?nTT d ia gCCCCPAAPAPP ?? ， ?112111211 ???? ??? 。 這個結(jié)論的證明如下： 因為 A 是正定矩陣，由 (1)知存在可逆矩陣 P ，使 EAPPT ? ，又矩陣BPPT 也是實對稱矩陣，故有正交矩陣 Q ，使 ? ? ? ?nTT d ia gQBPPQ ??? ， ?21? ， 令 PQC? ，則 C 滿足題目的結(jié)論的形式 ,又 ? ? ? ?nTT d ia gBCCECBAC ???????? ??????? ， ?21， 因此 n??? ， ?21 是 多項式 BA?? 的根 。 （法 2）對 A 采用相同的初等行、列變換化為對角矩陣（因不需求合同變換矩陣P ,故不必構(gòu)造矩陣 ????????BA進行化簡） A ?? ?? ?? 23 23 22rr cc???????????600010001 ， 故 A 的秩為 3，且正慣性指數(shù)為 2。 解題技巧 ： 就本題要求出使兩矩陣合同的可逆矩陣。 第三章 矩陣與矩陣之間的關系和應用 25 矩陣相似 相似矩陣的定義 若存在可逆矩陣 P ，使得 BAPP ??1 ，則 A 相似于 。 （法 2）采用初等變換法。 有關合同矩陣的例題 例 1 與矩陣????????????220210001A 合同的矩陣是（ ） ? ? ???????????011A ， ? ? ???????????111B ， ? ? ????????????111C ， ? ? ????????????011D 。 實際上，對于任何正整數(shù) k ，都有正定矩陣 C ，使得 kCA? 。 證：由于 A 實滿秩， 所以 A 可逆， 從而 AAT 為正定矩陣，所以存在正交矩陣1P ，使得 ? ? ? ?nTT d ia gPAAP ?? ， ?111 ? ， ① 其中 ? ?nii ， ?210 ??? 。 于是 ? ? ??????????? ?? EQEQEEA 2222 11 ? ? ? ?? ? ? ? nnnd i a g 2222222 2121 ???????? ?????? ?? ， 。 例 6 （北京大學）設 A 為 mn? 實對稱矩陣，證明： ? ? nAr ? 的充分必要條件是存在一實 nn? 矩陣 B ，使得 ABAB T? 正定，其中 TB 為 B 的轉(zhuǎn)置。因為實對 稱矩陣 A 的特征值為實數(shù)，所以A 的特征值為 1 或 3，即 A 的特征值全大于零，故 A 為正定矩陣。又 1??? AAA ，從而對任意 0?x ，有 （注意 AAT? ，且當 0?x 時 01 ?? xA ） 第二章 幾種矩陣的判定和應用 19 ? ? ? ? 011111 ???? ?????? xAAxAAxAAAxAxAAxxAx TTTT 又 ? ? ? ? ? ? ????? ???? AAAAAAAA TTT 111 ，即 ?A 是實對稱矩陣，故 ?A 是 正定矩陣。 例 2 設 A 為 n 階 正定 矩 陣， B 為 n 階實反對稱矩陣。 有關正定矩陣的例題 例 1 設 A 為 m 階 實對稱 且 正定 ， B 為 nm? 實矩陣， TB 為 B 的 轉(zhuǎn)置矩陣，試證 明 ： ABBT 為 正定 矩陣的充分必要條件是 B 的秩 ? ? nBr ? 。因為本題所求出 A 的特征值互異，所以其對應特征向量必正交，從而對特征向量直接單位化即可。 故正交矩陣??????????????????????31620316121316121Q，使得 ?????????????4000100011 AA T 。又設對應特征值i? 的 ir 個線性無關的特征向量為 ? ?tippp iirii ， ?? 2121 ?。也可求得正交陣 ，???????????? ??232121232P 使得 ???????? ?? 10 0322 BPP T。若存在 n 階正交 矩 陣 A ,B 使 22 BABA ?? ， ① 式 ① 右乘 1?B 得 12 ??? BABA ， 式 ① 變形為 ? ? 2BBAA ?? ，再左乘 1?A 得 21BABA ??? ， 由于 A ,B 是正交 矩 陣，從而 12 ?BA 是正交 矩 陣，此即 BA? 是正交 矩 陣。 正交 矩陣 正交矩陣的定義 如果 n 階實矩陣 A 滿足 ? ?TTT AAEAAEAA ??? ? 1，或或 ，則 稱 A 為正交矩陣。 （ 1）證明存在可逆矩陣 ? 使 EAT ??? ， ??BT 為對角矩陣。 單位化 得 TTT qqq ?????? ???????? ?????????? 313232323132323231 321 。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 10 例 3 已知實對稱矩陣???????????????020212022A ， 求可逆矩陣 P ,使 APPT 為對角矩陣 。 而對應于特征值 63?? 的特征向量為 ? ?T3213 ， ??? 。 有關可對角化矩陣的例子 例 1 設矩陣??????????????5334111yxA ，已知 A 有三個線性無關的特征向量， 2?? 是 A 的二重特征值。 對角 化 矩陣判定條件和方法 數(shù)域 P 上 n 階矩陣 A 可 對角 化的 判定條件 ： （ 1）充分必要條件： A 有 n 個線性無關的特征向量； 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 8 （ 2）充分必要條件： A 的所有重特征值對應的線性無關特征向量的個數(shù)等于其重數(shù)； （ 3）充分必要條件： A 的最小多項式?jīng)]有重根； （ 4）充分必要條件： A 的不變因子都沒有重根； （ 5） 充分條件： A 有 n 個互異的特征值； （ 6） 充分條件： A 是實對稱矩陣。 注意到 8??A ，于是有 2?A ， 可得 12 ?? ? AA 。 若 A 不可逆，那么 A 的秩小于 n ，不妨設 ? ? nrAr ?? ，于是有可逆矩陣 P ,Q ， 使得 QOO OEPA r ?????????，取 ????????? ?? rnEOOOQC 1 ，顯然有 OAOO OOPAEO OOOO OEPA C Arnr ????????????????????????????? 1， 若存在 B 使得 AABA? ，那么對于矩陣 CB? ，也有 ? ? AOAA C AABAACBA ?????? ， 這與 B 的唯一性相矛盾。 例 3（武漢大學 ） 設矩陣 TA ??? ，其中 ? 是 n 維列向量， T? 是 ? 的轉(zhuǎn)置 ， 又已知 1???T 。 做本題（ 2）時，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若 A 是對稱矩陣，則 AAT? 。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 4 （ 1）試計算 ABE? ，并指出 A 中元素滿足什么條件時， ABE? 為可逆矩陣。 2 階方陣求逆矩陣： 2 階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元變號”的規(guī)律。而矩陣 不僅 是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是高等代數(shù)的很多分支研究問題的工具，它貫穿了整個高等代數(shù)的內(nèi)容。 I 線數(shù) 考研 第一章 前 言 ............................................................... 1 第二章 幾種矩陣的判定和應用 ................................................. 2 .............................................................. 2 階矩陣可逆的定義 ............................................. 2 .................................................. 2 ................................................ 2 ................................................ 2 ................................................ 3 ............................................................ 6 ................................................ 6 ................................................ 6 ............................................ 6 .........................................................