【正文】 因為 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 24 ???????????????????????????????????1000100010121102121210???????EA?? ?? ??21 21 rr cc???????????????????????????????????PB1000110010123102123211???????， 所以可逆矩陣???????????100011001P ，使得 BAPPT ? 。 （ 2） 設(shè) A 為 n 階正定矩陣， B 是同階實對稱矩陣，則必存在可逆矩陣 P ，使 ? ?nTT d ia gBPPEAPP ??? ， ?21?? ， 其中 ? ?nii ， ?21? 全是 BA1? 的特征值。 （ 法 2） 設(shè) n??? ， ?21 是 A 的特征值，由 A 正定知 ? ?nii ， ?210 ??? 。 注： 矩陣 A lA kA 1?A ?A TA APP1? 特征值 ? ?l k? 1?? ?A ? ? 例 5 （上海交通大學） A 為 n 階實對稱矩陣， E 為 n 階單位矩陣。證明： 2BA? 是正定矩陣。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 17 正定矩陣 正定矩陣的定義 設(shè) ? ? xAxxxxf Tn ?, 21 ? 是 n 元 實二次型 （ A 為實對稱矩陣），如果對任意不全為零的實數(shù) nccc , 21 ? 都有 ? ? 0, 21 ?ncccf ? ，則 f 稱為正定二次型， A 為正定矩陣。 第二步：當 1?ir 時，將特征向量iirii ppp ， ?21用 Schmidt 方法正交化： ? ?ijijijijiijiiiiijijijii rjpppp ， ?? 2][ ][][ ][ 1,1,1,1,111111 ?????? ???? ??? ???? ??? ， 再單位化 ? ?iijijij rjq ， ?211 ?? ??， 如果 1?ir ，直接將 1ip 單位化 得111 1 iii ppq ?。 類似可知 BA? 是正交 矩 陣，故有 ? ? ? ? ABBAEBABAE TTT ?????? 2， ? ? ? ? ABBAEBABAE TTT ?????? 2， 兩式相加得 EE 42 ? 。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 12 （ 2）證明 AB 的特征值都是實數(shù)。 解：（法 1 用配方法） A 所對應(yīng)的二次型為 ? ? 322222132222121 42442 xxxxxxxxxxxf ???????? 。試求可逆矩陣 P ，使得 APP1? 為對角矩陣。 在等式 12 ?? ? AA 的 兩邊取逆 ， 即有 ? ????????????????????410600202002000022 1AA ， 經(jīng)簡單計算有 ? ??????????????????? ?102400606006000063 1 AEAX 。 （ 1） 證明 : AA?2 （ 2） 證明 : nAAAEB ????? ?2是可逆矩陣， 并 求 1?B 這里 E 是 n 階單位矩陣 。 （ 2）當 ABE? 可逆時，試證明 ? ? AABE 1?? 為對稱矩陣。 為了幫助考生加深對矩陣知識的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技巧，提高應(yīng)試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概念、定理 ，矩陣與矩陣的關(guān)系、性質(zhì) 和解題的技巧 方法 ，列舉出數(shù)學考研有關(guān)矩陣的典型例題。同時，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強，不少題型反復(fù)出現(xiàn)，把這些反復(fù)出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復(fù)習時間，對考生迎考大有幫助。 求逆矩陣的例子 例 1 （清華大學） 設(shè) A 為主對角線元素為零的 4 階實對稱可逆矩陣， E 為 4 階單位陣。又由 EAAA?? 知 ? ? 1??? AAA ，可見求得 A 和 ? ?1??A 后即可得到 A 。 解 :由關(guān)系式 EXAAXA 311 ?? ?? , 可 得 ? ? AEAX 13 ??? 。 第三步：當 A 可對角化時，把 n 個線性無關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣 ? ?ttrttrr pppppppppP ，， ???? 212222111211 21? ， 則 ??????????????????trtrrEEEAPP????21211 。 若 2?? 不是特征方程的二重根，則 a31882 ??? ?? 為完全平方，從而 16318 ?? a ，解得 32??a 。 （ 2）顯然有 TTT CCCCCCA????????????????????????????????????100010001010001000101000100010， 那么有對稱矩陣???????????????????????????????????????????910459104491022910449104591022910229102291081000100010TCCB， 使得 2BA? 成立 。 例 2 （中國科學院）求證：不存在正交 矩 陣 A ,B ，使 22 BABA ?? 。 實對稱矩陣 ? ?nnijaA ??正交相似于對角矩陣的計算方法 ： 第一步：求 A 的特征值和對應(yīng)的線性無關(guān) 特征向量。 解題技巧 :通過 觀察 A 可知其為實對稱矩陣，則存在正交矩陣 Q ，使得 AQDQT ?或 DAT ? ，再將對角陣 D 寫成 20D ，即可得答案 TDX 0? 。 解題技巧：要證矩陣正定時，應(yīng)先證其為對稱矩陣，然后在利用正定矩陣的判 定 條件來進行證明。 證：（ A 滿足多項式矩陣方程，只要證明 A 的特征值全大于零即可） 設(shè) xxA ?? ，即 ? 是 A 的特征值， x 是 A 對應(yīng) ? 的特征向量，則有 ? ? ? ?xxEAAAA 1216741216740 234234 ?????????? ????。 例 7 設(shè) A 是 n 階正定矩陣，證明 nEA 22 ?? 。 注意： 對于與正定矩陣有關(guān)的題目，下面結(jié)論往往會有用。 解：（法 1）因為實對稱矩陣 A ， B 對應(yīng)的二次型分別為 323121 2 xxxxxx ?? 與 32312121 23 yyyyyyy ??? ， 直接做出可逆線性變換使前者變?yōu)楹笳?，則此可逆線性變換的矩陣即為所求的可逆矩陣。 （法 2） ????????EA ?????????? ?? 換只進行其中的初等列變對和初等列變換進行同樣的初等行變換對 EA????????PB ， 當 A 化為 B 時，單位矩陣 E 也相應(yīng)地化為可逆矩陣 P ，則 BAPPT ? 。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 22 第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用 矩陣合同 合同矩陣的定義 設(shè) BA， 是數(shù)域 P 上的矩陣，如果存在數(shù)域 P 上的可逆 nn? 矩陣 C ， 使 ACCB T? ， 則稱 A 與 B 合同。 證：因為 AAT 是正定矩陣，所以存在正定矩陣 S ，使 2SAAT ? 。因為存在正交矩陣 T ，使 ? ?nd ia gATT ??? ， ?211 ?? 其中 n??? ， ?21 為 A 的全部實特征值。 故 2BA? 是正定矩陣。 正定矩陣的判定方法 對于具體 給出的 矩陣 A 來說： （ 1）判斷是否為實對稱矩陣 。 解：（ 1）可求得 ? ?? ?94333351315?????????? ??????? AE ， A 的特征值為 940 321 ??? ??? ， 。 例 3 （長春地質(zhì)學院）設(shè)有二階矩陣 ?????????????????? 03 3212 21 BA ， ，試分別將它們用正交矩陣化為對角矩陣，并求正交矩陣 P ，使 BAPPT ? 。 （ 2）由 A 正定可知 1?A 正定，由（ 1）可知，存在可逆矩陣 Q ， 使得 EQAQT ??1 ， ? ?nT diagB ?? ， ?1? ,? ?niRi ?， 21??? ， 由于 0??ABE? ，所以 01 ??? BA? 。 所用可逆線性變換為 ???????????33322321122zxzzxzzzx ，即?????????????????????????????????321321100210211zzzxxx 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 9 所以， 矩陣???????????????533242111A 。 由上面（ 1） 的結(jié)論有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ABBA 。 于是有 ? ? 12 111 ???????? PnP d ia gAAAEB n ， ??。即當 01 234 ??kla 時， ABE? 為可逆矩陣。當矩陣 A 可逆時，逆矩陣由 A 惟一確定，記為 1?A 。同時，隨著高等教育的大眾化，本科人才越來越多，相當一部分 大學畢業(yè)生找不到理想工作，很多人希望取得更高的學歷，以增強自己的競爭實力，因此，近年來，“考研熱”持續(xù)升溫。 所以， ????????????112112221 1 aa aaAA 注：對 分塊矩陣 ???????? DC BA不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣 。 解：對 EAAA?? 兩邊取行列式得 4AAA ?? ，于是 2733 6301 3433006300000100343 ??????????? ?AA ， 即 3??A ，故?????????????????????? ??11002100000310013111 AAA。 注： ? ? ijjiij MA ??? 1 ， (其中 ijM 表示矩陣中元素 ija 的余子式 )。若 nt? ，即 A 有 n 個互異的特征值，則 A 可對角化。 解： A 的特征多項式為 ? ?? ?aaAE 31882513413112 ????????????? ??????? 。 （ 2） 求一個對稱矩陣 B 使 2BA? 。 證：因為 SA? 為滿秩矩陣，所以 ? ? nSAr ?? ， 則 SA? 可逆。 實對稱矩陣 實對稱矩陣的 定義 對于實矩陣 A ，若 AAT? ，則稱 A 為實對稱矩陣。若某一特征值有重數(shù)，則應(yīng)先將其特征向量正交化，然后再單位化。又 A 為 正定 矩陣，所以對于 0?xB 有 ? ? ? ? 0?xBAxB T 。而 ?A 的特征 值為nAAA ??? ， ?21，且 0?iA? ? ?ni ,2,1 ?? ，故 ?A 是正定矩陣。 由此可知 ABAB T? 正定。 例 10 (華中科技大學 )證明 :任意 n 階實可逆矩陣 A 可以表成一個正定矩陣S 與一個正交矩陣 Q 之積。 （法 3）可求得 ? ?? ?? ?231 ????? ???? AE ， 即 A 的特征值為 1,3， 2，從而 A的秩為 3 且正慣性 指數(shù)為 2。 由 P 和 Q 可逆知，分塊矩陣 ???????? QP0 0與 ?????