【正文】 klaABE ??? 。即當(dāng) 01 234 ??kla 時(shí)， ABE? 為可逆矩陣。 （ 2） ? ? ? ?? ? ? ? 11111 ????? ????? BAABEAAABE 。 由于 BBAA TT ?? ， ，所以 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1111111111 ?????????? ????????? BABABABABA TTTTT ， 即是 ? ?11 ?? ?BA 對(duì)稱矩陣，故 ? ? AABE 1?? 是對(duì)稱矩陣。 解題技巧： 做本題（ 1）時(shí)，可運(yùn)用可逆矩陣的充要條件 ： A 可逆 ? 0?A 。 做本題（ 2）時(shí)，首先要考慮到對(duì)稱矩陣的定義：若 A 是對(duì)稱矩陣，則 AAT? 。像 ? ? AABE 1?? 是兩矩陣的乘積，應(yīng)將其化為一個(gè)矩陣，再利用對(duì)稱矩陣的定義來(lái)解決。 例 2 已知???????????????????3300630000010034A ，試求 1?A 和 A 。 解：對(duì) EAAA?? 兩邊取行列式得 4AAA ?? ，于是 2733 6301 3433006300000100343 ??????????? ?AA ， 即 3??A ，故?????????????????????? ??11002100000310013111 AAA。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 5 又因?yàn)??????????? 21 AOOAA ，其中 ?????????? 01 341A ， ????????? ?? 33 632A ，可求得 ???????? ??? ?? 41 10311 1111 AAA ， ??????????? ?? 33 63912212 AAA ， 故由 EAAA?? 得 ? ????????????????????????????????110021000041001012111AOOAAAAA 。 解題技巧： 當(dāng)我們 看到 A 的伴隨矩陣 ?A ，首先應(yīng)該考慮采用伴隨矩陣法來(lái)求 1?A ，因?yàn)?? ? AAA 11 ，所以求 1?A 的關(guān)鍵是求 A 。又由 EAAA?? 知 ? ? 1??? AAA ，可見(jiàn)求得 A 和 ? ?1??A 后即可得到 A 。 對(duì)于求解 A ，也可利用 1?A 來(lái)求，根據(jù) 1?A 的特點(diǎn)，可先將 1?A 化為分塊矩陣的形式，如 ?????????? 211 AOOAA ， ? ? ????????????????????????121112111 AO OAAO OAAA ，再通過(guò)初等變換法 來(lái) 求 1A ， 2A 的逆矩陣 即可 。 例 3（武漢大學(xué) ） 設(shè)矩陣 TA ??? ，其中 ? 是 n 維列向量， T? 是 ? 的轉(zhuǎn)置 ， 又已知 1???T 。 （ 1） 證明 : AA?2 （ 2） 證明 : nAAAEB ????? ?2是可逆矩陣， 并 求 1?B 這里 E 是 n 階單位矩陣 。 證 :（ 1） 顯然有 AA TTTTT ????????????????? ?????????? 12 （ 2） 顯然可求得 A 為對(duì)稱 矩 陣且 A 的全部特征值為 0( 1?n 重〕， 1(1 重 )。 那么不妨設(shè)可逆 矩 陣 P 使得 ? ? 1001 ?? PPdiagA ，， ?。 于是有 ? ? 12 111 ???????? PnP d ia gAAAEB n ，， ??。 顯然 B 為可逆 矩 陣，且有 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問(wèn)題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 6 ? ?AnnEPP d ia gnnEPnP d ia gB100111111111?????????????????，，，?? 例 4 (華中科技大學(xué) )設(shè) A 為 n 階方陣，若存在唯一的 n 階 方陣 B ，使得AABA? ，證明： BBAB? 。 分析 :注意反證法的應(yīng)用。 證明 :首先證明 A 可逆，利用反證法。 若 A 不可逆，那么 A 的秩小于 n ，不妨設(shè) ? ? nrAr ?? ，于是有可逆矩陣 P ,Q ， 使得 QOO OEPA r ?????????，取 ????????? ?? rnEOOOQC 1 ，顯然有 OAOO OOPAEO OOOO OEPA C Arnr ????????????????????????????? 1， 若存在 B 使得 AABA? ，那么對(duì)于矩陣 CB? ，也有 ? ? AOAA C AABAACBA ?????? ， 這與 B 的唯一性相矛盾。 于是 A 必可逆，那么對(duì) AABA? 左乘 1?A ，右乘 B 即可得 BBAB? 。 伴隨矩陣 伴隨矩陣的定義 若 ? ?nnijaA ??，那么它的伴隨矩陣 ? ?nnijAA ?? ? (其中 ijA 表示矩陣中元素 ija 的代數(shù)余子 式 )。 注： ? ? ijjiij MA ??? 1 ， (其中 ijM 表示矩陣中元素 ija 的余子式 )。 伴隨矩陣 的性質(zhì) （ 1） EAAAAA ?? ?? ； （ 2） 若 A 可逆，則 ???? ?? AAAAAA 111，； （ 3） ? ? ??? ? ABAB （例 2） ； （ 4） 注 意 到 ?A 中的每個(gè)元素都是矩陣 A 的 1?n 階子式乘以某個(gè)值為 1或 1? 的常數(shù)，于是對(duì)于常數(shù) a ，有 ? ? ??? ? AaaA n 1 。 有關(guān)伴隨矩陣的例子 例 1 (天津大學(xué) )設(shè)矩陣 A 的伴隨矩陣 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 7 ?????????????????8030010100100001A ，且 EXAAXA 311 ?? ?? ，求矩陣 X 。 解 :由關(guān)系式 EXAAXA 311 ?? ?? , 可 得 ? ? AEAX 13 ??? 。 注意 到 A 是 4 階矩陣，有 1?? ? AAA ，而 3141 AAAAAA ??? ??? 。 注意到 8??A ，于是有 2?A ， 可得 12 ?? ? AA 。 在等式 12 ?? ? AA 的 兩邊取逆 ， 即有 ? ????????????????????410600202002000022 1AA ， 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算有 ? ??????????????????? ?102400606006000063 1 AEAX 。 例 2(吉林工業(yè)大學(xué)，吉林大學(xué) )設(shè) A ,B ，均為 n 階方陣，求證 ? ? ??? ? ABAB 。 證明：（ 1）當(dāng) 0?AB 時(shí)， 0?A 且 0?B ，由公式 ，1?? ? AAA 可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ??? ABAABBABABAB 111， （ 2） 當(dāng) 0?AB 時(shí)，考慮矩陣 ? ? ? ? EBBEAA ???? ???? ，由于 A 和 B 都最多只有有限個(gè)特征值，因此存在無(wú)窮多個(gè) ? ，使 ? ? 0??A ， ? ? 0??B 。 由上面（ 1） 的結(jié)論有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ABBA 。 令 ? ? ? ?? ? ? ?? ?nnijfBA ?? ? ???, ? ? ? ? ? ?? ?nnijgAB ??? ? ???。 由上式得 ? ? ? ? ? ?njigf ijij ，，， ?21?? ?? , 即有無(wú)窮多個(gè) ? 使上式成立，但 ? ? ? ??? ijij gf ， 都是多項(xiàng)式，從而上式對(duì)一切 ? 都成立 .特別令 0?? ，這時(shí)有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ??? ABABBAAB 0000 。 對(duì)角矩陣 可對(duì)角化矩陣的定義 如果數(shù)域 P 上的 n 階矩陣 A 可相似于對(duì)角矩陣，則稱 A 可對(duì)角化。 對(duì)角 化 矩陣判定條件和方法 數(shù)域 P 上 n 階矩陣 A 可 對(duì)角 化的 判定條件 ： （ 1）充分必要條件： A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問(wèn)題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 8 （ 2）充分必要條件： A 的所有重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)等于其重?cái)?shù)； （ 3）充分必要條件： A 的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根； （ 4）充分必要條件： A 的不變因子都沒(méi)有重根； （ 5） 充分條件： A 有 n 個(gè)互異的特征值； （ 6） 充分條件： A 是實(shí)對(duì)稱矩陣。 n 階矩陣 A 可 對(duì)角化 的 判定方法： 第一步：求 A 的全部特征值。設(shè) A 的所有互異特征值為 t??? ，， ?2,1 ，其重?cái)?shù)分別為 trrr ，， ?21 ，且 nrrr t ???? ?21 。若 nt? ，即 A 有 n 個(gè)互異的特征值，則 A 可對(duì)角化。 第二步：對(duì)每一特征值 i? ，解方程組 ? ? 0?? xAEi? 得對(duì)應(yīng) i? 的線性無(wú)關(guān)特征向量（即齊次方程組的基礎(chǔ)解系） ? ?tipppiisii ，，， ?? 2121 ?。 若某個(gè) ii rs? ，即對(duì)應(yīng) i? 的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)小于 i? 的重?cái)?shù)，則 A 不可對(duì)角化；若 ? ?tirs ii ，， ?21?? ，則 A 可對(duì)角化。 第三步：當(dāng) A 可對(duì)角化時(shí)，把 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣 ? ?ttrttrr pppppppppP ，，，，，， ???? 212222111211 21? ， 則 ??????????????????trtrrEEEAPP????21211 。 注：對(duì)角矩陣 ? 的對(duì)角線元素恰好是 A 的 n 個(gè)特征值，且特征值的順序與 P 的列向量 順序保持一致。 有關(guān)可對(duì)角化矩陣的例子 例 1 設(shè)矩陣??????????????5334111yxA ，已知 A 有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 2?? 是 A 的二重特征值。試求可逆矩陣 P ，使得 APP1? 為對(duì)角矩陣。 解：因?yàn)?A 有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 2?? 是 A 的二重特征值，所以 A 的對(duì)應(yīng)于 2?? 的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，故 ? ? 12 ??AEr 。由于 ???????????????????????????????0002011153321112 yxxyxAE 解得 22 ??? yx ， 。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 9 所以， 矩陣???????????????533242111A 。 設(shè) 321 ??? ， 是 A 的三個(gè)特征值 ， 由已知可知 221 ???? 。 由 10541321 ?????? ??? ，可得 63?? 。 可求得對(duì)應(yīng)于特征值 221 ???? 的線性無(wú)關(guān)特征向量為 ? ? ? ?TT 101011 21 ，，， ??? ?? 。 而對(duì)應(yīng)于特征值 63?? 的特征向量為 ? ?T3213 ， ??? 。故可逆矩陣 ?????????????310201111P ,使得 ????????????6000200021 APP 。 例 2 設(shè)矩陣??????????????51341321aA 的特征方程有一個(gè)二重根，求 a 的值，并討論 A 是否可相似對(duì)角化。 解： A 的特征多項(xiàng)式為 ? ?? ?aaAE 31882513413112 ????????????? ??????? 。 若 2?? 是特征方程的二重根，則有 0318162 2 ???? a，解得 2??a 。 當(dāng) 2??a 時(shí)， A 的特征值為 622， ，矩陣 ????????????????3213213212 AE 的秩為 1，故 2?? 對(duì)應(yīng)的線