【正文】 I 線數(shù) 考研 第一章 前 言 ............................................................... 1 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 ................................................. 2 .............................................................. 2 階矩陣可逆的定義 ............................................. 2 .................................................. 2 ................................................ 2 ................................................ 2 ................................................ 3 ............................................................ 6 ................................................ 6 ................................................ 6 ............................................ 6 ............................................................ 7 ............................................ 7 ...................................... 7 矩陣的例子 ........................................ 8 ........................................................... 12 ............................................... 12 ............................................... 12 ............................................... 12 ......................................................... 14 ............................................. 14 ............................................. 14 ? ?nnijaA ??正交相似于對角矩陣的計(jì)算方法： ............ 14 ......................................... 14 ........................................................... 17 ............................................... 17 ........................................... 17 ............................................... 17 ........................................... 17 ........................................... 18 第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用 .......................................... 22 ........................................................... 22 ............................................... 22 ..................................... 22 ......................................... 22 ........................................... 22 ........................................................... 25 ............................................... 25 ............................................... 25 ........................................... 25 ........................................... 25 ........................................................... 27 ............................................... 27 ......................................... 27 ........................................... 27 結(jié)束語 .................................................................... 30 致謝 ....................................................... 錯誤 !未定義書簽。 參考文獻(xiàn) ................................................... 錯誤 !未定義書簽。 第一章 前 言 1 第一章 前 言 隨著改革開放和現(xiàn)代 化 建設(shè)事業(yè)的需要，特別是“科教興國”、“知識經(jīng)濟(jì)”等戰(zhàn)略性措施日益廣泛實(shí)施，國家機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位以及各行各業(yè)對高素質(zhì)、高學(xué)歷人才的需求量越來越大。同時，隨著高等教育的大眾化，本科人才越來越多，相當(dāng)一部分 大學(xué)畢業(yè)生找不到理想工作，很多人希望取得更高的學(xué)歷，以增強(qiáng)自己的競爭實(shí)力，因此，近年來，“考研熱”持續(xù)升溫。研究生入學(xué)考試現(xiàn)已成為國內(nèi)影響最大、參加人數(shù)最多的國家級選拔高層次人才的水平考試。 然而 研究生入學(xué)考試 與在校大學(xué)生的期中或期末考試相比，其深度、廣度 與難度大大增加，試題綜合性強(qiáng)，著重知識的運(yùn)用，競爭激烈，淘汰率高。同時，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強(qiáng)，不少題型反復(fù)出現(xiàn)，把這些反復(fù)出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復(fù)習(xí)時間，對考生迎考大有幫助。 高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課 ，也是數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試的一門必考科目，矩陣問題在數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中占有相當(dāng)大的比例。而矩陣 不僅 是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是高等代數(shù)的很多分支研究問題的工具，它貫穿了整個高等代數(shù)的內(nèi)容。 為了幫助考生加深對矩陣知識的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技巧，提高應(yīng)試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概念、定理 ，矩陣與矩陣的關(guān)系、性質(zhì) 和解題的技巧 方法 ，列舉出數(shù)學(xué)考研有關(guān)矩陣的典型例題。 引導(dǎo)考生在較短時間內(nèi)掌握解 有關(guān)矩陣問 題 的 要領(lǐng)，并順利通過研究生入學(xué)考試。 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 2 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 逆矩陣 階 矩陣可逆的定義 設(shè) A 是數(shù)域 P 上的一個 n 階方陣，如果存在 P 上的 n 階方陣 B ，使得EBAAB ?? (E 為 n 階單位矩陣 )，則稱 A 是可逆的，又稱 B 為 A 的逆矩陣。當(dāng)矩陣 A 可逆時，逆矩陣由 A 惟一確定，記為 1?A 。 逆矩陣的性質(zhì) 設(shè) A ,B 是 n 階可逆矩陣，則 （ 1） ? ? AA ??? 11 ； （ 2） 若 0?k ，則 kA可逆，且 ? ? 11 1 ?? ? AkkA ； （ 3） AB 可逆，且 ? ? 111 ??? ? ABAB ； （ 4） TA 可逆，且 ? ? ? ?TT AA 11 ?? ? ； （ 5） kA 可逆，且 ? ? ? ?kk AA 11 ?? ? ； （ 6） 11 ?? ? AA ； （ 7） 如果 A 是 nm? 矩陣， G 是 m 階可逆矩陣， H 是 n 階可逆矩 陣，則? ? ? ? ? ? ? ?G A HrAHrGArAr ??? 。 矩陣可逆的條件 （ 1） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 0?A ； （ 2） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 ? ? nAr ? ； （ 3） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 A 可以通過 初等變換 （特別是只通過初等行（列）變換）化為 n 階單位矩陣 ； （ 4） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 A 可以寫成一些初等矩陣的乘積 ； （ 5）對于 n 階方陣 A ，若 存在 n 階方陣 B ，使得 EAB? （或 EBA? ） ，則 A 可逆 ，且 BA ??1 ； （ 6） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 A 的 n 個特征值不為零 。 求逆矩陣的方法 法 1：伴隨矩陣法： ?? ? AAA 11。 2 階方陣求逆矩陣： 2 階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元變號”的規(guī)律。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 3 設(shè) 2 階方陣 ????????? 2221 1211 aaaaA ， 矩陣 A 的代數(shù)余子式 ? ?2211 aA ? ， ? ?1212 aA ?? ，? ?2121 aA ?? ， ? ?1122 aA ? 。所以， 其伴隨矩陣 ????????? ???11211222 aa aaA 。 所以， ????????????112112221 1 aa aaAA 注：對 分塊矩陣 ???????? DC BA不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣 。 法 2：初等變換法： 矩陣的階大于或等于 3 的一般采用初等變換法 （ 1） ? ? ? ?1?AEEA ?? 初等行變換 （ 2） ???????????????? ?1AEEA 初等列變換 （ 3）當(dāng)矩陣 A 可逆時， 可利用 ? ? ? ?BAEBA 1??? 初等行變換 , ???????????????? ?1CAECA 初等列變換 優(yōu)點(diǎn)：不需求出 A 的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法，僅通過初等變換即可求出11 ?? CABA 或 。 法 3： 分塊對角矩陣求逆：對于分塊對角（或次對角）矩陣求逆可套用公式 ： ?????????????????????????????????11211121ss AAAAAA?? ， ??????????????????????????????????11111121AAAAAAsss?? ， 其中 ? ?siAi ,2,1 ?? 均為可逆矩陣。 求逆矩陣的例子 例 1 （清華大學(xué)） 設(shè) A 為主對角線元素為零的 4 階實(shí)對稱可逆矩陣， E 為 4 階單位陣。 ? ?0000000000000000????????????????? lklkB 。 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 4 （ 1）試計(jì)算 ABE? ，并指出 A 中元素滿足什么條件時， ABE? 為可逆矩陣。 （ 2）當(dāng) ABE? 可逆時，試證明 ? ? AABE 1?? 為對稱矩陣。 解： （ 1） 設(shè)???????????????0000342414342313242312141312aaaaaaaaaaaaA ，則????????????????lkalalakalakaABE343424231413001001001。 故 2341