【正文】 ??????? ????。 例 3 證明：若 A 是 正定 矩陣，則 ?A 也是 正定 矩陣。 解題技巧：要證矩陣正定時(shí)，應(yīng)先證其為對(duì)稱矩陣，然后在利用正定矩陣的判 定 條件來進(jìn)行證明。 對(duì)于抽象給出的矩陣 A 來說： 方法 1：利用定義：即對(duì)任意列向量 0?x ，恒有 二次型 0?xAxT ，則 A 為正定矩陣（當(dāng)證明若干個(gè)矩陣之和或積為正定矩陣時(shí)，常采用此法）。 解題技巧 :通過 觀察 A 可知其為實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣 Q ，使得 AQDQT ?或 DAT ? ，再將對(duì)角陣 D 寫成 20D ，即可得答案 TDX 0? 。 （ 2）可求得 ? ? ? ?412111211122 ?????????????? ?????? AE ， A 的特征值為 41 321 ??? ??? ， 。 實(shí)對(duì)稱矩陣 ? ?nnijaA ??正交相似于對(duì)角矩陣的計(jì)算方法 ： 第一步：求 A 的特征值和對(duì)應(yīng)的線性無關(guān) 特征向量?？汕?得正交陣 ，???????????? ??212121211P 使得 ???????? ?? 10 0311 APP T。 例 2 （中國科學(xué)院）求證：不存在正交 矩 陣 A ,B ，使 22 BABA ?? 。 由于 02?Q ， 所以 n??? ， ?21 為 BA ??1? 的特征值，也為 ABE?? 的實(shí)根。 （ 2）顯然有 TTT CCCCCCA????????????????????????????????????100010001010001000101000100010， 那么有對(duì)稱矩陣???????????????????????????????????????????910459104491022910449104591022910229102291081000100010TCCB， 使得 2BA? 成立 。 (法 2)可求得 ? ?? ?? ?142 ????? ???? AE ， 所以 A 的特征值為 412 321 ???? ??? ， 。 若 2?? 不是特征方程的二重根，則 a31882 ??? ?? 為完全平方，從而 16318 ?? a ，解得 32??a 。 由 10541321 ?????? ??? ，可得 63?? 。 第三步：當(dāng) A 可對(duì)角化時(shí)，把 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣 ? ?ttrttrr pppppppppP ，， ???? 212222111211 21? ， 則 ??????????????????trtrrEEEAPP????21211 。 由上式得 ? ? ? ? ? ?njigf ijij ， ?21?? ?? , 即有無窮多個(gè) ? 使上式成立，但 ? ? ? ??? ijij gf ， 都是多項(xiàng)式，從而上式對(duì)一切 ? 都成立 .特別令 0?? ，這時(shí)有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ??? ABABBAAB 0000 。 解 :由關(guān)系式 EXAAXA 311 ?? ?? , 可 得 ? ? AEAX 13 ??? 。 分析 :注意反證法的應(yīng)用。又由 EAAA?? 知 ? ? 1??? AAA ，可見求得 A 和 ? ?1??A 后即可得到 A 。 由于 BBAA TT ?? ， ，所以 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1111111111 ?????????? ????????? BABABABABA TTTTT ， 即是 ? ?11 ?? ?BA 對(duì)稱矩陣，故 ? ? AABE 1?? 是對(duì)稱矩陣。 求逆矩陣的例子 例 1 （清華大學(xué)） 設(shè) A 為主對(duì)角線元素為零的 4 階實(shí)對(duì)稱可逆矩陣， E 為 4 階單位陣。 矩陣可逆的條件 （ 1） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 0?A ； （ 2） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 ? ? nAr ? ； （ 3） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 A 可以通過 初等變換 （特別是只通過初等行（列）變換）化為 n 階單位矩陣 ； （ 4） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 A 可以寫成一些初等矩陣的乘積 ； （ 5）對(duì)于 n 階方陣 A ，若 存在 n 階方陣 B ，使得 EAB? （或 EBA? ） ，則 A 可逆 ，且 BA ??1 ； （ 6） n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 A 的 n 個(gè)特征值不為零 。同時(shí)，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強(qiáng)，不少題型反復(fù)出現(xiàn)，把這些反復(fù)出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間，對(duì)考生迎考大有幫助。 參考文獻(xiàn) ................................................... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 為了幫助考生加深對(duì)矩陣知識(shí)的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技巧，提高應(yīng)試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概念、定理 ，矩陣與矩陣的關(guān)系、性質(zhì) 和解題的技巧 方法 ，列舉出數(shù)學(xué)考研有關(guān)矩陣的典型例題。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 3 設(shè) 2 階方陣 ????????? 2221 1211 aaaaA ， 矩陣 A 的代數(shù)余子式 ? ?2211 aA ? ， ? ?1212 aA ?? ，? ?2121 aA ?? ， ? ?1122 aA ? 。 （ 2）當(dāng) ABE? 可逆時(shí)，試證明 ? ? AABE 1?? 為對(duì)稱矩陣。像 ? ? AABE 1?? 是兩矩陣的乘積，應(yīng)將其化為一個(gè)矩陣，再利用對(duì)稱矩陣的定義來解決。 （ 1） 證明 : AA?2 （ 2） 證明 : nAAAEB ????? ?2是可逆矩陣， 并 求 1?B 這里 E 是 n 階單位矩陣 。 于是 A 必可逆，那么對(duì) AABA? 左乘 1?A ，右乘 B 即可得 BBAB? 。 在等式 12 ?? ? AA 的 兩邊取逆 ， 即有 ? ????????????????????410600202002000022 1AA ， 經(jīng)簡單計(jì)算有 ? ??????????????????? ?102400606006000063 1 AEAX 。 n 階矩陣 A 可 對(duì)角化 的 判定方法： 第一步：求 A 的全部特征值。試求可逆矩陣 P ，使得 APP1? 為對(duì)角矩陣。故可逆矩陣 ?????????????310201111P ,使得 ????????????6000200021 APP 。 解：（法 1 用配方法） A 所對(duì)應(yīng)的二次型為 ? ? 322222132222121 42442 xxxxxxxxxxxf ???????? 。 故可逆矩陣 (實(shí)際是正交矩陣 ) ? ????????????????12221222131321 qqqP ，使得 ?????????? ??? ?4000100021 APPAPP T 。 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 12 （ 2）證明 AB 的特征值都是實(shí)數(shù)。 正交矩陣的性質(zhì) （ 1）如果 A 是正交矩陣，則 1??A ； （ 2）如果 A 是正交矩陣，則 TA ， 1?A ， ?A ， kA 均是正交矩陣；而 lA 是正交矩陣的充分必要條件是 ： 1??l ； （ 3） 如果 A ,B 是 n 階正交矩陣，則 AB 也是正交矩陣； （ 4） n 階實(shí)矩陣 A 是正交矩陣 的充分必要條件是： A 的 n 個(gè)列（或行）向量是兩兩正交的單位向量。 類似可知 BA? 是正交 矩 陣，故有 ? ? ? ? ABBAEBABAE TTT ?????? 2， ? ? ? ? ABBAEBABAE TTT ?????? 2， 兩式相加得 EE 42 ? 。 ② 根據(jù)式 ① 和 ② 得 2211 BPPAPP TT ? ，從而 ? ? ? ? BPPAPP ??? 121112 。 第二步：當(dāng) 1?ir 時(shí)，將特征向量iirii ppp ， ?21用 Schmidt 方法正交化： ? ?ijijijijiijiiiiijijijii rjpppp ， ?? 2][ ][][ ][ 1,1,1,1,111111 ?????? ???? ??? ???? ??? ， 再單位化 ? ?iijijij rjq ， ?211 ?? ??， 如果 1?ir ，直接將 1ip 單位化 得111 1 iii ppq ?。 解題技巧 :要將實(shí)對(duì)稱矩陣 A 化為對(duì)角矩陣，應(yīng)先通過 0??AE? 來求 A 的特征值。 第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 17 正定矩陣 正定矩陣的定義 設(shè) ? ? xAxxxxf Tn ?, 21 ? 是 n 元 實(shí)二次型 （ A 為實(shí)對(duì)稱矩陣），如果對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù) nccc , 21 ? 都有 ? ? 0, 21 ?ncccf ? ，則 f 稱為正定二次型， A 為正定矩陣。 證：（這是要證明三個(gè)矩陣之積是正定的，可采用定義證之 ） 充分性：因?yàn)?? ? ABBBABABB TTTTT ?? ，所以 ABBT 為實(shí)對(duì)稱矩陣。證明： 2BA? 是正定矩陣。 （ 法 2） 因?yàn)?1?? ? AAA ， 所以 ? ? ? ? ? ? ????? ???? AAAAAAAA TTT 111 ，即 ?A 是實(shí)對(duì)稱矩陣。 注： 矩陣 A lA kA 1?A ?A TA APP1? 特征值 ? ?l k? 1?? ?A ? ? 例 5 （上海交通大學(xué)） A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣， E 為 n 階單位矩陣。 證：因?yàn)?? ? ? ? ? ? ABABABABABAB TTTTTT ????? ，所以 ABAB T? 是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣。 （ 法 2） 設(shè) n??? ， ?21 是 A 的特征值，由 A 正定知 ? ?nii ， ?210 ??? 。令 ? ?niii ， ?21?? ?? ， 再令 ? ?ndiagC ?? ，?1? ， 則由式 ① 有 ? ? 211 CPAAP TT ? ， 令 112 ?? CPAP T ,則 ? ?? ? ECCCCPAAPCCPAAPCPP TTTTT ???? ?????? 1211111111122 。 （ 2） 設(shè) A 為 n 階正定矩陣， B 是同階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在可逆矩陣 P ，使 ? ?nTT d ia gBPPEAPP ??? ， ?21?? ， 其中 ? ?nii ， ?21? 全是 BA1? 的特征值。 解：（法 1）由 A 寫出二次型，并用配方法得 ? ? 232221232322123322221 66224 yyyxxxxxxxxxxAxf T ???????????? ， 第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用 23 從而 A 的秩為 3，且正慣性指數(shù)為 2，與 ??B 中矩陣的秩和正慣性指數(shù)相同，故選??B 。因?yàn)? 廣東石油化工學(xué)院本科畢業(yè)論文：有關(guān)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用 24 ???????????????????????????????????1000100010121102121210???????EA?? ?? ??21 21 rr cc???????????????????????????????????PB1000110010123102123211???????， 所以可逆矩陣???????????100011001P ，使得 BAPP