【正文】 ??? 00Q P都是可逆的，且有 TQP ????????0 0 ???????? BA0 0 ????????? QP0 0 ???????? TTQP0 0 ???????? BA0 0 ????????? QP0 0 ????????? BAPP TT0 0 ???????? DC0 0 ， TQ P???????? 00 ???????? BA0 0 ????????? 00Q P ???????? 00TTQ P ???????? BA0 0 ????????? 00Q P ????????? APPB TT0 0 ???????? CD0 0 ， 故 ???????? BA0 0既合同于 ???????? DC0 0，又合同于 ???????? CD0 0。 矩陣合同的判定和證明 （ 1）兩個 n 元復二次型可通過復的可逆線性變換互化的充分必要條件是，二者有相同的秩 ； （ 2）兩個 n 階實對稱矩陣在實數域上合同的充分必要條件是，二者有相同的秩與符號差（實對稱矩陣 A 的符號差即二次型 xAxT 的符號差）。 第二章 幾種矩陣的判定和應用 21 例 9（武漢大學）若 A 是實滿秩矩陣，求證：存在正交矩陣 21 PP， ，使 ? ?ndiagAPP ?? ， ?1211 ?? ， ? ?nii ， ?210 ??? 。則 ? ?nii ， ?21110 ???? ? ① 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 20 又有 ? ? ???????? ??????? 11110011 ? ?? ?? nd ia gTAET ， ? 由式 ① 知 ? ?nii ， ?21011 0 ???? ? ? 故 AE ?? 為正定矩陣。 證： （ 法 1） 由于 A 正定，所以 0?A ，且對任意 0?x 有 0?xAxT 。 方法 2：利用特征值：當 A 的所有特征值大于零時， A 為正定矩陣（當證明矩陣 A 的各種運算，如數乘、方冪、逆矩陣、伴隨矩陣、多項式矩陣等為正廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 18 定矩陣，常用此法）。又 A 對應的特征值 121 ???? 的線性無關特征向量分別為 ? ? ? ?TT pp 101011 21 ， ???? ，將其正交化 ? ? TT ppp ?????? ???????? 1,2121][ ][011 111122211 ， ??? ??? ， 再單位化 Tq ?????? ??? 021211111 ，??, Tq ???????? ????626161222 ，??， A 對應的特征值 43?? 的特征向量為 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 16 ? ?Tp 1113 ，? ， 單位化得 Tppq ??????????3131311333 。 ① 又因為 ? ?? ?13 ???? ??? BE ， 所以 B 的特征值為 13 21 ??? ?? ， 。 解題技巧： 在解本題時，要用到正定矩陣和對稱矩陣的性質 。 又對應特 征值 412 321 ???? ??? ， 的特征向量分別為 ? ? ? ? ? ?TTT ppp 122212221 321 ， ?????? 。 可求得對應于特征值 221 ???? 的線性無關特征向量為 ? ? ? ?TT 101011 21 ， ??? ?? 。 對角矩陣 可對角化矩陣的定義 如果數域 P 上的 n 階矩陣 A 可相似于對角矩陣，則稱 A 可對角化。 證明 :首先證明 A 可逆，利用反證法。 解題技巧： 做本題（ 1）時，可運用可逆矩陣的充要條件 ： A 可逆 ? 0?A 。 求逆矩陣的方法 法 1：伴隨矩陣法： ?? ? AAA 11。 I 線數 考研 第一章 前 言 ............................................................... 1 第二章 幾種矩陣的判定和應用 ................................................. 2 .............................................................. 2 階矩陣可逆的定義 ............................................. 2 .................................................. 2 ................................................ 2 ................................................ 2 ................................................ 3 ............................................................ 6 ................................................ 6 ................................................ 6 ............................................ 6 ............................................................ 7 ............................................ 7 ...................................... 7 矩陣的例子 ........................................ 8 ........................................................... 12 ............................................... 12 ............................................... 12 ............................................... 12 ......................................................... 14 ............................................. 14 ............................................. 14 ? ?nnijaA ??正交相似于對角矩陣的計算方法： ............ 14 ......................................... 14 ........................................................... 17 ............................................... 17 ........................................... 17 ............................................... 17 ........................................... 17 ........................................... 18 第三章 矩陣與矩陣之間的關系和應用 .......................................... 22 ........................................................... 22 ............................................... 22 ..................................... 22 ......................................... 22 ........................................... 22 ........................................................... 25 ............................................... 25 ............................................... 25 ........................................... 25 ........................................... 25 ........................................................... 27 ............................................... 27 ......................................... 27 ........................................... 27 結束語 .................................................................... 30 致謝 ....................................................... 錯誤 !未定義書簽。 2 階方陣求逆矩陣： 2 階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元變號”的規(guī)律。 做本題（ 2）時，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若 A 是對稱矩陣，則 AAT? 。 若 A 不可逆，那么 A 的秩小于 n ，不妨設 ? ? nrAr ?? ，于是有可逆矩陣 P ,Q ， 使得 QOO OEPA r ?????????，取 ????????? ?? rnEOOOQC 1 ，顯然有 OAOO OOPAEO OOOO OEPA C Arnr ????????????????????????????? 1， 若存在 B 使得 AABA? ，那么對于矩陣 CB? ，也有 ? ? AOAA C AABAACBA ?????? ， 這與 B 的唯一性相矛盾。 對角 化 矩陣判定條件和方法 數域 P 上 n 階矩陣 A 可 對角 化的 判定條件 ： （ 1）充分必要條件： A 有 n 個線性無關的特征向量； 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 8 （ 2）充分必要條件： A 的所有重特征值對應的線性無關特征向量的個數等于其重數； （ 3）充分必要條件： A 的最小多項式沒有重根； （ 4）充分必要條件： A 的不變因子都沒有重根； （ 5） 充分條件： A 有 n 個互異的特征值； （ 6） 充分條件： A 是實對稱矩陣。 而對應于特征值 63?? 的特征向量為 ? ?T3213 ， ??? 。 單位化 得 TTT qqq ?????? ???????? ?????????? 313232323132323231 321 。 正交 矩陣 正交矩陣的定義 如果 n 階實矩陣 A 滿足 ? ?TTT AAEAAEAA ??? ? 1，或或 ，則 稱 A 為正交矩陣。也可求得正交陣 ，???????????? ??232121232P 使得 ???????? ?? 10 0322 BPP T。 故正交矩陣??????????????????????31620316121316121Q，使得 ?????????????400010001